題目變了，解題方法變了嗎

在八年級(jí)上冊(cè)《與三角形有關(guān)的角》一節(jié)的習(xí)題綜合運(yùn)用中，有一道題，它主要考察同學(xué)們對(duì)與三角形有關(guān)的角的理解與運(yùn)用.下面針對(duì)這道題，或改變題目的條件，或改變題目的圖形，請(qǐng)同學(xué)們看一看，題目變化后，解題方法變了嗎？一起來動(dòng)動(dòng)腦筋，尋找這類題目的規(guī)律吧.

原題回放 如圖1，∠1=∠2，∠3=∠4.∠A=100°，求[x]的值.

解：由[∠A=100°]，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，得[∠ABC+∠ACB=80°].

由[∠1=∠2]，[∠3=∠4]，

得[∠2+∠4=40°].

∴ x°=180°-（∠2+∠4）=180°-40°=140°

一、 改變題目的條件與問題

如圖2，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A = 60°，求∠O的度數(shù).

（2）若∠O = 120°，∠A 又是多少度？

（3）請(qǐng)求出∠O與∠A之間的關(guān)系.

【分析】 題目中的條件“BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB”與原題中“[∠1=∠2]，∠3=∠4”是等價(jià)的. 問題（1）由原題的解法很容易解得：當(dāng)∠A = 60° 時(shí)，∠O = 120°.

問題（2）與（1）的條件、所求正好相反，也很容易求解，同學(xué)們請(qǐng)自己動(dòng)手試一試.

問題（3）由[∠A+∠ABC+∠ACB=180°]，[∠ABC=2]∠OBC，[∠ACB=2]∠OCB，得[∠A]+2[∠OBC]+2[∠OCB][=180°]，即[∠OBC]+[∠OCB]=[90°]-[12][∠A]. 由[∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）]，可推出[∠O]=[90°]+[12∠A].

【總結(jié)】 此題的解題關(guān)鍵就在解問題（3）得到的關(guān)系式“[∠O=90°+12∠A]”，通過這一關(guān)系式，前兩個(gè)問題可轉(zhuǎn)化為“當(dāng)∠A = 60°時(shí)，[∠O=90°+12×60°=120°]”“當(dāng)∠O = 120°時(shí)，120°=90°+[12]∠A，即[∠A=60°]”.

二、 改變題目的圖形

【變式一】 O為∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線的交點(diǎn).

如圖3，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)O.

（1）若∠A = 60°，求∠O的度數(shù).

（2）若∠O = 60°，∠A又是多少度？

（3）請(qǐng)求出∠O與∠A之間的關(guān)系.

【分析】 由上一題的解題經(jīng)驗(yàn)可知，如果求出了∠O與∠A之間的關(guān)系，（1），（2）小題就迎刃而解.因此我們先討論∠O與∠A之間的關(guān)系.

由 BO和CO分別平分∠ABC和∠ACE可得[∠ABC=2∠2]，∠ACE=2∠3=2∠4.由[∠A=][∠ACE]-[∠ABC]，得[∠A=2∠4-2∠2]，所以[∠4=12∠A+∠2].由[∠O=∠4-∠2]，得[∠O=12∠A].

由此關(guān)系式，可算出（1）的答案為∠O = [12]× 60° = 30°；（2）的答案為∠A =2∠O =120°.

【變式二】 O為∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交點(diǎn).

如圖4，在△ABC中，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)O.

（1）若∠A =100°，求∠O的度數(shù).

（2）若∠O =80°，∠A的度數(shù)又是多少？

（3）請(qǐng)求出∠O與∠A之間的關(guān)系.

【分析】 此題我們同樣先討論∠O與∠A之間的關(guān)系.

由BO和CO分別平分∠MBC和∠NCB可得[∠MBC=2∠2]，[∠NCB=2∠3]. 再由[∠A=180°]-[∠ABC-∠ACB=180°-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）]，即∠2+∠3=90°+[12]∠A.由[∠O=180°][-][∠2-∠3]，得[∠O=90°-12∠A].

由此關(guān)系式，可算出（1）的答案為[∠O=90°-12×100°=40°]；（2）的答案為∠A =20°.

【總結(jié)】 通過對(duì)以上三題的分析可看出，此類題目可分為以下三種情況：

一、如圖2，若O點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠O= 90° +[12]∠A；

二、如圖3，若O點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則[∠O=12∠A]；

三、如圖4，若O點(diǎn)是外角∠CBM和∠BCN的角平分線的交點(diǎn)，則∠O= 90°-[12]∠A.

“∠A”與“∠O”已知其中一個(gè)的值，即可求另一個(gè)的值，兩角的大小與∠ABC和∠ACB無關(guān).

以上三種情況所得到的關(guān)系式不同，但解題方法和思路基本相同，所用到的知識(shí)點(diǎn)都是“三角形內(nèi)角和等于180°”和“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”.

找到了這一類題目的規(guī)律后，聰明的你能利用這一規(guī)律解決下面的問題嗎？

三、 延伸運(yùn)用

1.如圖5，已知∠MON = 90°，點(diǎn)A和B分別在射線OM和ON上移動(dòng)，∠OAB的平分線與∠OBA的外角平分線交于點(diǎn)C. 試猜想：隨著A和B點(diǎn)的移動(dòng)，∠ACB的大小是否變化？說明理由.

2.如圖6，△ABC中，∠A = 80°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于A2，依此類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于A5，則∠A5的度數(shù)為多少？再畫下去，∠An的大小呢？

【延伸運(yùn)用答案】

1.∠ACB只與∠MON的大小有關(guān).[∠ACB=][12∠MON=45°]，即無論A點(diǎn)和B點(diǎn)怎樣移動(dòng)，∠ACB的大小是不變的.

2.∠A1 =[12]∠A；∠A2 =[12]∠A1 =[122]∠A； ∠A3 =[12]∠A2 =[123]∠A；∠A4 =[12]∠A3 =[124]∠A； ∠A5 =[12]∠A4 =[125]∠A. 所以 ∠A5 =[125]∠A =[8025]； ∠An =[802n].

結(jié) 語

本文從一道課本題目出發(fā)，討論了一類題目的解法.在今后的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們?nèi)缒苌朴谒伎?，大膽猜想，勤于?yàn)證，就可以學(xué)一道題，會(huì)一類題.