應(yīng)用等價(jià)無窮小巧解考研高等數(shù)學(xué)試題

摘 要：在考研高等數(shù)學(xué)試題當(dāng)中，“極限”知識點(diǎn)所占考核比重逐年提升，對考生考試成績有著決定性的影響。掌握“極限”知識點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算方法，備受考生的關(guān)注與重視。在現(xiàn)階段，等價(jià)無窮小被證實(shí)能夠達(dá)到合理提高“極限”知識點(diǎn)相關(guān)題目解題精確性與速度的目的。本文在簡要分析等價(jià)無窮小解題方法的基礎(chǔ)之上，結(jié)合考研高等數(shù)學(xué)試題，就如何應(yīng)用等價(jià)無窮小解考研高等數(shù)學(xué)試題這一問題展開了較為詳細(xì)的分析與闡述，希望能夠引起各方人員的參考與關(guān)注，從而為考生解答相關(guān)試題題目提供一定的參考與借鑒。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無窮小 考研高等數(shù)學(xué) 解題 方法 分析

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（a）-0047-01

在數(shù)學(xué)分析，特別是求解考研高等數(shù)學(xué)試題的過程當(dāng)中，等價(jià)無窮小是比較常用的概念與方法之一。實(shí)踐研究結(jié)果證實(shí)：借助于對等價(jià)無窮小相關(guān)方法的合理應(yīng)用，能夠在很大程度上實(shí)現(xiàn)對計(jì)算流程的簡化。特別是在高等數(shù)學(xué)考研試題當(dāng)中，近年來，涉及到應(yīng)用等價(jià)無窮小方法進(jìn)行計(jì)算的題目越來越多，且所占分值也越來越多。如何在遇到這部分題型的過程當(dāng)中，合理應(yīng)用等價(jià)無窮小方法進(jìn)行作答，在確保計(jì)算精確性的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對解題時(shí)間的合理控制，這一問題備受考生、以及教師的特別關(guān)注與重視。本文試針對以上相關(guān)問題做詳細(xì)分析與說明。

1 等價(jià)無窮小基本概念分析[1]

數(shù)學(xué)分析研究的最核心對象為函數(shù)，而在有關(guān)函數(shù)研究的過程當(dāng)中，最主要的方法是極限。通過對極限方法的應(yīng)用，能夠達(dá)到研究函數(shù)連續(xù)性、可微性、可積性的目的。從而極限在分析數(shù)學(xué)試題中有著至關(guān)重要的地位。在相關(guān)數(shù)學(xué)題，特別是極限問題的求解過程當(dāng)中，借助于對等價(jià)無窮小方法的應(yīng)用，能夠通過代換方式使問題變得更加的簡單化，從而使極限值更加容易求出。常規(guī)意義上來說，在x→0的狀態(tài)下，常見的等價(jià)無窮小定理包括以下幾項(xiàng)內(nèi)容：

（1）sin x～ x；

（2）arc sin x～ x

（3）tan x～ x

（4）In（1+x）～ x

（5）（1+x）1/n-1～ x/n

（6）ex-1～ x

2 等價(jià)無窮小方法在考研高等數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用分析

（1）以2010年度，全國碩士研究生入學(xué)考試中“數(shù)學(xué)三”中的某選擇題題目為例：若定義[1/x-（1/x-a）ex]=1。則可以計(jì)算得出a取值為（）。該選擇題當(dāng)中給出了如下四個(gè)基本選項(xiàng)：A選項(xiàng)為0；B選項(xiàng)為1；C選項(xiàng)為2；D選項(xiàng)為3?？忌谇蠼庠擃}目的過程當(dāng)中，就可以應(yīng)用等價(jià)無窮小方法完成對該題目的解答。具體的求解方式為：

對于該等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通過拆分“a”數(shù)值的方式，將整個(gè)等級進(jìn)行拓展。拓展后的等式為：[1/x（1-ex）+aex]=1。進(jìn)一步拆分該等式，可按照如下步驟，得出有關(guān)a取值的等式。

[1/x（1-ex）+aex]=1

（拆分中括號中未知數(shù)，構(gòu)建兩個(gè)聯(lián)立lim式）

1/x（1-ex）+aex

（前半部分為lim式保持不變，對后半部分式進(jìn)行拓展處理）

1/x·（-x）+a

（進(jìn)一步推定可直接簡化為有關(guān)a取值的等式）

-1+a=1

由此可以推定a取值應(yīng)當(dāng)為2。故在此過程當(dāng)中，選擇C答案為正確答案。在上述解題過程當(dāng)中不難發(fā)現(xiàn)：之所以能夠僅通過五次操作步驟，得出正確的答案，就在于解題過程當(dāng)中充分應(yīng)用了等價(jià)無窮小的基本定理：即在x→0的狀態(tài)下，ex-1～x。由此達(dá)到了簡化解題步驟的目的。

（2）以2005年度，全國碩士研究生入學(xué)考試中“數(shù)學(xué)三”中的某選擇題題目為例：求解極限x sin2x/x2+1的具體數(shù)值?？忌谇蠼庠擃}目的過程當(dāng)中，就可以通過應(yīng)用等價(jià)無窮小基本定義的方式，完成對該式最終答案的計(jì)算。具體的解題思路，以及計(jì)算方式如下所示。

對于該式x sin2x/x2+1而言，為更加簡便的實(shí)現(xiàn)對其取值數(shù)值的計(jì)算，則需要按照拆分式中未知數(shù)的方式完成解題。首先，可以通過對sin的簡化，將原式轉(zhuǎn)化成為：x 2x/x2+1。進(jìn)一步解題方式為：

x 2x/x2+1

（變化該表達(dá)式當(dāng)中x的求解位置，可構(gòu)建如下式）

2 x/x2+1

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)：對于待求解式：x sin2 x/x2+1而言，在借助于等價(jià)無窮小方法對該式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)之上，原式等價(jià)為：2 x/x2+1，即最終計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)為2。顯然：在解題過程當(dāng)中，通過對等價(jià)無窮小基本定理“在x→0的狀態(tài)下，sin2 x/x2+1～2 x/x2+1”的應(yīng)用，能夠更簡便的計(jì)算出結(jié)果。

3 結(jié)語

在考研高等數(shù)學(xué)解題作答的過程當(dāng)中，應(yīng)用等價(jià)無窮小方法進(jìn)行相關(guān)題目的解題，直接關(guān)系著考生考試成績的高低。等價(jià)無窮小解題方法中的替換有著極為突出的優(yōu)勢，充分認(rèn)識，并掌握此種解題方法的基本性質(zhì)，能夠使大量復(fù)雜的題目變得更加的簡單化，在保障解題精確性的同時(shí)，確保解題時(shí)間的最短化?？偠灾疚尼槍τ嘘P(guān)應(yīng)用等價(jià)無窮小解答考研高等數(shù)學(xué)試題過程中所涉及到的相關(guān)問題做出了簡要分析與說明，希望能夠引起各方特別關(guān)注與重視。

參考文獻(xiàn)

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