多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的記憶技巧

摘 要：指出多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t可以通過樹形圖來記憶。

關(guān)鍵詞：多元復(fù)合函數(shù) 鏈?zhǔn)椒▌t 樹形圖

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-9795（2013）06（a）-0046-01

在理工類數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中，一般都有關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的介紹。眾所周知，多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一。由于其涉及的基礎(chǔ)理論知識(shí)較多，中間變量或自變量的個(gè)數(shù)不止一個(gè)，使求導(dǎo)公式復(fù)雜化，增加了記憶的困難，很多初學(xué)者在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)感到繁瑣困難，不僅沒有任何幾何直覺感，而且記憶理解不深刻，經(jīng)過較短時(shí)間之后就會(huì)忘記定理內(nèi)容和公式。

基于這種情況，本文介紹了多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的樹形記憶法[1]。這一法則在我國主要來自教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的數(shù)學(xué)老師。并且在最近幾年國外出版的經(jīng)典高等數(shù)學(xué)教科書（例如Calculus，James Stewart著）中[1]，已經(jīng)將樹形記憶法當(dāng)做教材內(nèi)容的一部分?？梢娺@一學(xué)習(xí)記憶技巧的重要性與實(shí)用性。但是在我國，多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的樹形記憶法還是主要靠口口相傳，例如國內(nèi)很多高校的高等數(shù)學(xué)教材[2]，甚至數(shù)學(xué)分析[3]教材，在介紹這一部分內(nèi)容時(shí)，只給出了定理和公式，并沒有介紹這一記憶法則。這就很容易使初學(xué)者感到邊際未及，其底難觸，大大增加了學(xué)習(xí)的難度。所以我們希望通過本論文，能將多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的樹形記憶法在我國推廣，使更多的數(shù)學(xué)愛好者受益。

定理[3]：設(shè)和都在點(diǎn)可導(dǎo)，而在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且有公式：

（1）

另外，我們還可以得出如下結(jié)論：設(shè)和在點(diǎn)對(duì)于的偏導(dǎo)數(shù)，都存在，而在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)對(duì)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

（2）

一般地，我們有結(jié)論：設(shè)在點(diǎn)對(duì)于≤≤的偏導(dǎo)數(shù)都存在，在對(duì)應(yīng)的可微，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)對(duì)于的偏導(dǎo)數(shù)必存在，且

（3）

我們看到，在這個(gè)定理中，由于變量間的關(guān)系復(fù)雜，求導(dǎo)公式抽象冗長，記憶起來很困難。

為了記住上述公式，免去死記硬背之苦，我們以公式（2）為例來畫一個(gè)樹形圖（如圖1所示）。在公式（2）中，和是自變量，和是中間變量，因變量是關(guān)于中間變量和的函數(shù)，中間變量和分別是關(guān)于自變量和的函數(shù)。

我們從因變量z 起，畫出兩個(gè)分支和，這表示z是關(guān)于和的函數(shù)。接著我們分別從中間變量和畫出自變量和兩個(gè)分支，這表示中間變量和分別是關(guān)于自變量和的函數(shù)。然后在每個(gè)分支上，我們寫下相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。這樣就直觀地表示出了變量之間的關(guān)系，使復(fù)雜的變量關(guān)系變得一目了然。

例如，為了找到的表達(dá)式，我們需要先找到從z 到的每條路，然后將每條路上的偏導(dǎo)數(shù)相乘，然后將這些乘積相加，我們就得到的表達(dá)式：；同樣地，可以通過從到的路找到：（見圖1）。

對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)，只要明確多元復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，一般來說還是多元復(fù)合函數(shù)，利用上述的辦法，列出變量關(guān)系之間的樹形圖，也不難求出所要的結(jié)果來。

利用變量關(guān)系樹形圖寫出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式的做法，從多年的高等數(shù)學(xué)從教經(jīng)驗(yàn)來看，達(dá)到了化難為易的目的，學(xué)生們普遍反映這個(gè)辦法好，容易接受，便于理解。但是我們也必須認(rèn)識(shí)到，要想真正掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，必須要做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，才能真正鞏固。

參考文獻(xiàn)

[1]James Stewart.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]費(fèi)祥歷，亓健，馬銘福.高等數(shù)學(xué)[M].山東：中國石油大學(xué)出版社，2009.

[3]郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2000.