“幾何直觀”的內(nèi)涵及教育教學價值

對于“幾何直觀”的含義及其意義，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《數(shù)學課標》）是這樣論述的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！睆膰栏褚饬x上講，雖然這只是對幾何直觀內(nèi)涵的一種描述性解釋，但是卻給了我們進行教學思考的基本依據(jù)。

幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”。幾何直觀是《數(shù)學課標》新增加的核心概念之一，其教育教學價值在于，一方面要培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，另一方面也能培養(yǎng)學生的直觀思考能力。在“圖形與幾何”的學習過程中，對實物或圖形進行觀察，形成表象并進行思考和想象，都蘊含著豐富的幾何直觀因素。很多數(shù)學概念又都具有“數(shù)”與“形”兩方面的特征，要透徹地理解它們的本質(zhì)意義，必須從“數(shù)”“形”兩個視角去認識和把握它們。因此，學會用圖形思考和想象問題是學習數(shù)學的基本能力，在數(shù)學學習領(lǐng)域，要重視培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

一、對圖形的理解可以寬泛些

幾何直觀的本質(zhì)是憑借圖形進行數(shù)學思考。我們在教學時，對于圖形的理解可以稍為寬泛些。對于小學生來說，只要有利于他們的思考和理解，就不必囿于規(guī)范的幾何圖形。比如，利用倒推策略解決問題，順著把數(shù)量變化的過程表達清楚，倒推才有依據(jù)。此時，可指導學生用箭頭圖描述數(shù)量變化的過程，雖然這會擠占學生一定的解題時間，但不應(yīng)該被認為是多此一舉的事情。此外，圖形可以是有形可視的，也可以是無形的想象。教學到了一定階段，有的學生能憑借想象，在腦子里“畫”出圖形來幫助思考。此時只要學生思考順暢，就不必要求學生必須畫出圖形來。

二、圖形更為重要的是表達關(guān)系

“4件上衣、3條褲子，一共有多少種不同的衣服搭配方法？”對于這道題，要求學生畫圖來嘗試解答時，總有一部分學生畫出上衣和褲子的實物圖來。由此可見，對小學生來說，幾何直觀教學的首要任務(wù)是讓學生學習如何用圓（圈）或三角形等幾何圖案替代實物，畫出題目所述情境的示意圖。這個描述題意的過程，關(guān)注的是幾何圖案與具體實物之間的一一對應(yīng)，從實物圖到示意圖，學習的是用幾何圖形去表征數(shù)量的多少。這個過程雖然抽象，但是終究還是簡單的。重要的是，逐步讓學生體會到幾何直觀更需要關(guān)注如何表達不同數(shù)學對象之間的關(guān)系，而量本身的表達反而可以粗疏些。比如，從左往右數(shù)和從右往左數(shù)，小青都是排在第5個位置。用幾何直觀表達便是（見圖1）：

圖1

圖2

如果把“小青都是排在第5個位置”改成“小青都是排在第15個位置”，畫圖的時候是否必須在表示小青的圓的前面畫14個三角形呢？答案是否定的，重要的是表達出量的重疊，而量的直觀表達完全可以簡練些（見圖2）。隨著學生年級的升高，這樣的數(shù)量關(guān)系還可以用交叉的韋恩圖來表征，量本身的表達可以更為簡約。

三、要看到圖形的直觀性，更要看到圖形的抽象性

數(shù)學中的抽象與直觀是相對的，一個數(shù)學對象的幾何直觀對這個對象來說，是一種直觀，但對第一次接觸這個直觀方式的學生來說，有可能就是一種抽象。數(shù)學問題的表達可以有3種語言形態(tài)，比如：用自然語言表達“一把尺子6元，3把尺子18元”“一個小組4人，3個小組12人”這樣的數(shù)量間的關(guān)系，用數(shù)學符號語言表達就是a和3a，用幾何直觀的圖形語言表示便是（見圖3）：

圖3

這樣的圖示，同樣可以用來表示世界上所有的量與量之間具有3倍關(guān)系的兩個量。借助圖形直觀地把握數(shù)學對象，進行數(shù)學思考，首先需要把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把研究的問題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問題，有利于學生更好地進行直觀的思考與分析。

四、幾何直觀是一種意識，也是一種技能與能力，更是一種思維方式

時任北京師范大學周玉仁教授在考察低年級學生解決問題的思維水平時，出了這樣一道變式題：二年級有兩個班，這個學期（1）班轉(zhuǎn)走了5人，（2）班轉(zhuǎn)來8人，這個學期二年級人數(shù)比上學期（ ）（ ）人（只填空，不列式）。調(diào)查結(jié)果顯示，該題的正確率為43%，有一部分學生認為，題中沒有給出上學期（1）班、（2）班原有的人數(shù)，無法解答。然而，有一個學生不僅解答正確，還結(jié)合圖形生動地講述了他的思考過程（見圖4）。

圖4

這個學生想到了用圖畫出題意，并且畫出數(shù)量變化的過程。而與此形成鮮明對比的是，在實際教學中，不少學生遇到數(shù)學問題時，寧可托著下巴冥思苦想，也不知道畫畫圖，嘗試畫一畫、算一算，在試探中尋找解題思路。在數(shù)學教學中，幾何直觀首先表現(xiàn)為一種意識——面對數(shù)學問題能想到用畫圖來幫助思考；其次表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫出圖來。學生借助圖形進行思考的經(jīng)歷和體驗，表現(xiàn)為一種能力，并通過想不想用圖、會不會畫圖來解決問題，形成正向的動力定型，最后逐步形成一種當遇到抽象理性的問題時，主動地退到適合的直觀層面上去推動思維展開的思維方式。

值得注意的是，不要把幾何直觀簡單地等同于能用圖形描述問題的技能，幾何直觀更為深遠的意義表現(xiàn)為能夠借助圖形去思考問題的能力。比如：從甲地到乙地，已經(jīng)行駛了全程的75%，還剩50千米，請問已經(jīng)行駛了多少千米？根據(jù)題意畫出線段圖（如圖5）：

圖5

從圖中可以知道，剩下的50千米路程相當于全程的（1-75%），因此已經(jīng)行駛了：50÷（1-75%）×75%=150（千米）。明晰了這樣的常規(guī)解題思路還只是幾何直觀價值的一個方面，能體現(xiàn)幾何直觀深遠意義的是，畫圖時得琢磨一下：表示行駛路程的線段和剩余路程線段間的長短關(guān)系，這一琢磨就可以跳過常規(guī)思路的按部就班，從整體上直接把握這兩個量之間的關(guān)系，直接用“50×3=150（千米）”這個方法來解答此題。正如美國著名數(shù)學家克萊因所言，直觀是對概念、證明的直接把握。也就是說，直觀是一種直接把握事物間關(guān)聯(lián)關(guān)系的洞察能力，而非一般的技能技巧。也正因為如此，數(shù)學邏輯和數(shù)學直觀對于數(shù)學發(fā)展來說，都非常重要。

五、幾何直觀承載的數(shù)學教育目標

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》對空間觀念的特征之一表述為：“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考?！边@恰恰是《數(shù)學課標》中“幾何直觀”的主要含義。幾何直觀和空間觀念，由于共同的“幾何圖形”元素，兩者之間相互依賴、相互支撐。小學階段的數(shù)形結(jié)合，主要是借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，這又與幾何直觀難以區(qū)分。在這樣的情況下，需要我們慎思的是，舊詞就足以表達的意思，為什么在新課標中要凸顯幾何直觀呢？

《數(shù)學課標》在學科培養(yǎng)目標中明確提出讓學生“人人獲得良好的數(shù)學教育”。“良好”意味著學生對所學知識能感悟理解而非死記硬背，而理解必須要借助直觀。例如，1.50末尾的“0”不能去掉，因為1.50比1.5的精確度更高。根據(jù)四舍五入法，1.5的取值范圍是1.450～1.549，1.50的取值范圍是1.495～1.504，也可以用幾何直觀表示出來（如圖6）。借助圖形，學生對“精確度更高”的體會才更深刻。把握幾何直觀的價值，不僅僅在于“有助于探索解決問題的思路”，更為重要的是“幫助學生直觀地理解數(shù)學”。對于數(shù)學教學來說，有學者將幾何直觀的表現(xiàn)形式體現(xiàn)為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀。在以往的教學中，老師們經(jīng)常使用的直觀手段都放在幾何直觀的范疇里，其意義在于凸顯數(shù)學教育要靈活地運用各種幾何直觀形式，加強直觀，突出理解，以達成“良好的數(shù)學教育”。在教學中，教師不是要創(chuàng)造新的數(shù)學概念，而是要引導學生對數(shù)學的理解，即幫助學生把抽象的數(shù)學意義轉(zhuǎn)換成易于理解和運用的具體感受和直觀形式。在數(shù)學教學中，定義不是最重要的，引導學生形成各種直觀的概念意象才是更重要的。從這個視角來看，幾何直觀與空間觀念和數(shù)形結(jié)合相比較，其意義和價值更為深遠，從舊詞中獨立出來，也更能凸顯其內(nèi)涵。

幾何直觀雖然在解題中發(fā)揮著重要的作用，但是對于數(shù)學學習來說，更為重要的意義在于利用幾何直觀促進數(shù)學的學習。在《數(shù)學課標》中，幾何直觀作為數(shù)學思考的一種方式提出，這進一步印證了其價值在于“幫助學生直觀地理解數(shù)學”。因此，教學時教師要具有良好的幾何直觀的課程意識，具體表現(xiàn)為：在圖形與幾何知識的學習中，讓學習者參與觀察和對圖形替代物的折、疊、截、拼、展開等各種活動，以及畫圖表示出自然語言敘述的幾何內(nèi)容的空間形式與位置關(guān)系。學生積累的幾何活動經(jīng)驗越豐富，他們具有的幾何直觀水平就會越高，表現(xiàn)在學習其他領(lǐng)域知識時，便越能充分地挖掘和呈現(xiàn)數(shù)學知識中固有的幾何直觀因素，創(chuàng)造貼切的幾何直觀來理解所學的知識。這方面我們已經(jīng)有了很多經(jīng)典的案例，比如：用移多補少來體會平均數(shù)的意義、用求組合矩形（同寬的矩形組成一個大矩形）的面積來感悟乘法分配律、用能不能擺成多個矩形來體會素數(shù)與合數(shù)的意義、用各種幾何直觀的形式來理解計算的算理。然而，對于小學生的數(shù)學學習來說，我們需要更多的合適的幾何直觀滲透在數(shù)學學習的各個環(huán)節(jié)，這樣學生對幾何直觀價值的感受才會更真切、更清晰。例如，判斷325能不能被3整除，只要看各數(shù)位上數(shù)字之和能不能被3整除，原因是325用計數(shù)單位畫出來，每個“百”都分成了99和1，每個“十”都分成了9和1，因此，一個數(shù)能不能被3整除，關(guān)鍵要看所有多余的1能不能被3整除（如圖7）。

用幾何直觀的方式來說明數(shù)學的內(nèi)在道理，深入淺出，在引導學生對數(shù)學的深度理解方面具有重要的意義。只有直觀上弄懂了，才是真正的懂，這也正如數(shù)學家張廣厚所言：“數(shù)學無疑是一門高度抽象的學科，需要人們具有高度抽象思維的能力，而這同樣需要很強的幾何直觀能力。抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，說明還沒有把握住問題的實質(zhì)?！?/p>

圖7

當前，我們熱議幾何直觀，是因為以往我們對數(shù)學的理解有失全面和辯證，總以為數(shù)學就是抽象理性、周密嚴謹，看不到數(shù)學發(fā)生發(fā)展過程中的直觀形象、曲折錯誤，進而我們的數(shù)學教學也忽視了直觀的價值。把握了這一點，也便知道了對于數(shù)學學習來說，直觀終究是直觀，它不可能是目的，要獲得更多的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，必須在直觀的基礎(chǔ)上進行周密的分析和思考。此外，我們也要防止因特殊位置的幾何直觀所帶來的對有關(guān)概念和結(jié)論本質(zhì)認識的干擾和誤讀。面對圖形不能只問：你看到了什么？更為重要的是去追問：你思考了什么？聯(lián)想（想象）到了什么？發(fā)現(xiàn)了什么？依據(jù)是什么？與此同時，即便是要發(fā)揮直觀對于數(shù)學學習的價值，幾何直觀也不是萬能的。作為教師，要善于根據(jù)學習內(nèi)容和學生學習數(shù)學的實際，靈活選擇更易于學生理解的方式。

（責編 歐孔群）