“一線法”求二面角的平面角

摘 要：求二面角的平面角是高考立體幾何中解答題的重點(diǎn)題目。本文用“一線法”例舉了2012年全國(guó)各省市高考題中的求二面角的題目，供同行和廣大考生參考。

關(guān)鍵詞：二面角 平面角 一線法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）05（c）-0108-01

求二面角的平面角是高考立體幾何中解答題的重點(diǎn)題目。雖然利用向量法不用找二面角的平面角，降低了學(xué)生的空間想象力，但需要精確的計(jì)算，且計(jì)算量過(guò)大，考生稍一疏忽，就會(huì)算錯(cuò)，不能得分，十分可惜。本文給出一種方便可行的確定二面角的平面角的方法：“一線法”，供同行和廣大考生參考。

方法來(lái)源：二面角的平面角的定義：如圖1，在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的角叫做二面角的平面角。

在射線OA和OB上分別任取不同于O的兩點(diǎn)A、B，連接AB，則平面OAB，所以。

方法歸納：若過(guò)A點(diǎn)做，O為垂足，連接OB，則平面OAB，所以，則就是二面角的平面角。由此，我們可以得到確定二面角的平面角的一種方法：在兩個(gè)半平面內(nèi)分別找一點(diǎn)A、B，連接AB，若棱l，過(guò)其中一點(diǎn)A作棱l于點(diǎn)O，連接BO，則就是二面角的平面角。此法的關(guān)鍵是找到一條與棱垂直的直線，故此稱為“一線法”。

“一線法”確定二面角的平面角的方法過(guò)程：（1）在兩個(gè)半平面內(nèi)個(gè)各找一點(diǎn)A、B，使它們的連線AB垂直二面角的棱。（2）過(guò)點(diǎn)A做，O為垂足。（3）連接OB，則就是二面角的平面角。此法只需“一找、二作、三連”就能確定二面角的平面角，方便可行，易于操作。下面例舉2012年全國(guó)部分省市的高考題中求二面角的平面角的題目，供廣大考生和同行們共享。

例1：（2012年高考，新課標(biāo)理）如圖2，直三棱柱中，，D是棱的中點(diǎn)，

（1）證明：。

（2）求二面角的大小。

（1）證明：在中，得：。

同理：，即，又， 且，所以平面.

（2）解：面

取的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連接

，面面平面，又平面，又已知，所以點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，如圖3。

故是二面角的平面角

設(shè)，則，

即二面角的大小為30°。

縱觀近幾年全國(guó)各省市的高考題，幾乎都有求二面角平面角的解答題。向量作為一種工具，能夠計(jì)算立體幾何中的空間角和距離等問(wèn)題，學(xué)生只需建立空間直角坐標(biāo)系，找出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，求出法向量，再按各種公式計(jì)算就可以了，具有一定的模式化，像流水作業(yè)一樣，而立體幾何的重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，所以我們更應(yīng)重視利用幾何法確定二面角的平面角，然后在求解。上面的“一線法”不失為確定二面角的平面角的一種好的方法，方便可行。它只需“一找、二作、三連”，重點(diǎn)在于找一條與棱垂直且與兩個(gè)半平面都相交的直線，通過(guò)上例我們可以看出，在具體的實(shí)例中要找兩個(gè)點(diǎn)都是特殊點(diǎn)，如例1中的，是半平面中“三角形面”（平面是無(wú)限延展的，實(shí)例中都是平面的一部分，故此稱“三角面”）三角形的頂點(diǎn)，O是半平面中“四邊形面”中A的中點(diǎn)。只需我們細(xì)心觀察、猜測(cè)，然后加以證明。利用幾何法求二面角的平面角，與向量法比較，大大減少了計(jì)算，降低了計(jì)算的難度，提高了正確率。

參考文獻(xiàn)

[1]林風(fēng)嶺.二面角的平面角的一種定位方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（5）：20-22.

[2]2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：立體幾何[EB/OL].www.ks5u.com.