植根基礎(chǔ) 開拓思路

摘 要：在近幾年中考命題中，屢次出現(xiàn)一類求最小值題型，得分率很低。原于學(xué)生對(duì)相關(guān)的幾何知識(shí)：“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短?！钡睦斫狻⒕C合應(yīng)用能力欠缺，使得學(xué)生在解決這類問題時(shí)頗感困惑，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的背景中創(chuàng)造性的使用這一原理解決問題，就需要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真分析、積極思維、敢于創(chuàng)新、勇于探索，構(gòu)建模型，完成對(duì)新問題的轉(zhuǎn)化，從而提煉出解決這類問題的方法。

關(guān)鍵詞：題型探究 本源的問題 最小值 思維能力 建模 創(chuàng)造性思維 動(dòng)態(tài)變化

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）05（c）-0093-02

在數(shù)學(xué)中考試題中，常見到一類求最大值或最小值的問題，這類題在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中都有涉及，學(xué)生得分率較低。通常是學(xué)生初看題目就感到無處下手，胡亂寫個(gè)答案，或者干脆放棄。其實(shí)，這類題無論背景多么繁雜，其所用知識(shí)點(diǎn)都是最基本的。就拿求最小值來說，在與圖形有關(guān)的題目中，所用知識(shí)點(diǎn)無非是“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。”或“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短?！币话銇碚f，學(xué)生頭腦中只要有這兩個(gè)關(guān)于最短的公理，遇到具體題目，能在化歸思想的指導(dǎo)下進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，此類題便不難求解。本文擬從歷年來各省市的幾個(gè)中考試題說起，淺談這類試題的求解思路。

1 兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題

例1：（北師大版七年級(jí)下冊(cè)第七章《簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形》課后問題解決）要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站建在何處才能使從A，B到它的距離之和最短？

問題1：若居民區(qū)A，B分布于街道兩側(cè)時(shí)，奶站應(yīng)建在何處？

問題2：若居民區(qū)A，B分布于街道同側(cè)時(shí)，奶站應(yīng)建在何處？

分析：?jiǎn)栴}1，如圖1，直接用線段公理。

問題2，則要轉(zhuǎn)化為問題1的情形，即把A、B轉(zhuǎn)化為在直線L的異側(cè)。此時(shí)，只需作點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)即可。

如圖2，若居民區(qū)A，B分布于街道同側(cè)時(shí)，則作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A`，連接A`B交直線L于點(diǎn)P，則奶站應(yīng)建在P處。

理由：在直線L上取異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)P`，連接AP`，A`P`，由對(duì)稱性易得：AP`=A`P`在ΔA`P`B中，P`A+P`B=A`P`+P`B>A`B（A`B=PA+PB）。因此PA+PB最短。

這個(gè)在定直線上找一點(diǎn)使它到該直線同側(cè)兩定點(diǎn)距離之和最短的問題可作為求解最短類問題的題根，以下各題可看作是對(duì)其進(jìn)行的一系列衍生。學(xué)生在這一系列變化中尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“變”中的“不變”，從而找到該系列問題的根本解決辦法，達(dá)到“解一題，通一類”的目的，下面我們共同探究在不同背景下此類問題的解法。

例2（2010濱州）：如圖3，在等邊ΔABC中，AB=2，E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的最小值，并求其最小值。

分析：此題背景較復(fù)雜，但如注意到點(diǎn)B、E為定直線AD同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，便不難轉(zhuǎn)化為例1中的問題2的模式。而等邊三角形恰好是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)C，連接CE交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求作使BP+PE最小值的點(diǎn)。顯然其值為。

上述類型的題目，學(xué)生深感困惑。要求我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)剝?nèi)ヮ}目華麗的外衣，揭示題目的本質(zhì)，向“題根”化歸。教學(xué)中，應(yīng)著重啟發(fā)學(xué)生關(guān)注此類題目中顯明的“對(duì)稱”背景，如“正方形，矩形，菱形，角及其平分線，等腰或等邊三角形，圓，拋物線……”這些關(guān)鍵詞可視為“題眼”，再結(jié)合所熟悉的題根，學(xué)生便不難掌握解題思路，且有舉一反三，觸類旁通之效。

2 兩個(gè)定點(diǎn)和兩條定直線

例3：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（1，2），B（4，2）在x軸，y軸上各有一動(dòng)點(diǎn)P，Q，要使四邊形ABPQ的周長(zhǎng)最小，求作P，Q的位置，并求周長(zhǎng)的最小值。

分析：盡管是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，我們還是嘗試性地作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A`（-1，2），作B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)B`（4，-2），連接A`B`與y軸、x軸分別交與點(diǎn)P，Q，連接AQ，QP，PB，AB，則四邊形AQBP的周長(zhǎng)最短。

理由：在x軸上任取異于P的點(diǎn)P`，在y軸上任取異于Q的點(diǎn)Q`，連接AQ`，Q`P`，P`B的到一任意四邊形AQ`P`B，連接A`Q`，B`P`，由對(duì)稱性易得QA=QA`，Q`A=Q`A`，PA=PA`，P`B`=P`B，四邊形AQBP的周長(zhǎng)為：AB+AQ+QP+PB=AB+A`Q+QP+PB`=AB+A`B`，而四邊形AQ’P’B的周長(zhǎng)為：AB+AQ`+Q`P`+P`B=AB+A`Q`+Q`P`+P`B`>AB+A`B`，因此，四邊形AQBP的最小周長(zhǎng)為：AB+A`B`=3+

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最短距離時(shí)，可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間線段最短，或點(diǎn)到直線之間垂線段最短的問題。

3 動(dòng)線段問題

例4：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)。若E，F(xiàn)為OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小值時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

分析：要使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小，由于CD、EF均為定值，只需求DE+CF的最小值即可，結(jié)合矩形性質(zhì)，我們可以把動(dòng)線段EF平移到CG位置（EF=CG），從而確定G，在利用對(duì)稱性找E位置，再確定F位置。

解：如圖5，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D`，在CB邊上截取CG=2，連接D`G與c軸交于點(diǎn)E，在上截取EF=2。

∵CG∥EF，CG=EF

∴四邊形GEFC為平行四邊形，∴GE=CF

又DC、EF的長(zhǎng)為定值，

∴此時(shí)得到的點(diǎn)使四邊形的周長(zhǎng)最小，

∵OE∥BC

∴RtΔD'OE∽R(shí)tΔD'BG，有。

∴.

∴OF=OE+EF=+2=

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）

綜上所述，在我們的學(xué)習(xí)和生活中處處存在這類最小值問題。解決此類問題的關(guān)鍵是合理有效使用幾何中的對(duì)稱性化“曲為直”，然后在構(gòu)造的直角三角形中求得最小值。

浩如煙海的題目同根共源，猶如一棵枝繁葉茂的大樹，都源自同一根系，解一題可以破萬題。只要我們將教學(xué)根植于最原始的數(shù)學(xué)基本概念、圖形和原理，再?gòu)淖畋驹吹膯栴}出發(fā)，讓題目類型化，模型化，數(shù)學(xué)教學(xué)就可以走出題海戰(zhàn)術(shù)，減負(fù)將不再是空談。

參考文獻(xiàn)

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[2]黃永革，宋文，沈雅玲.平面幾何的最值問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1987（2）.