改進共形FDTD算法及其在RCS計算中的應用

【摘要】本文首先提出一種結合了三角近似與改進局部網(wǎng)格的共形FDTD算法，然后將該算法應用于金屬目標的雷達散射截面計算。實驗結果表明，該算法簡單高效，不需要通過減小時間步長的方式就能得到較高精度的穩(wěn)定解。

【關鍵詞】改進局域網(wǎng)格共形時域有限差分法雷達散射截面

傳統(tǒng)的時域有限差分法（FDTD）以Yee[1]網(wǎng)格為基礎，對Maxwell微分方程直接差分離散，由于算法簡單，可擴展性強，已廣泛地應用于目標散射、天線、電磁兼容等的模擬分析與計算中。由于使用Yee網(wǎng)格，在對復雜電磁結構建模時，常常會遇到電磁邊界不能和傳統(tǒng)網(wǎng)格體系共形的情況。對于介質(zhì)曲面來說，曲面突變導致的階梯近似誤差并不明顯，往往通過簡單的對電參數(shù)取平均的方式來減少計算誤差，而對于金屬曲面來說，階梯誤差的表現(xiàn)非常突出，雖然可以通過減小網(wǎng)格尺寸的方法來提高計算精度，但這無疑會增大內(nèi)存需求和運行時間，并不適合于工程應用，使用曲面共形技術是種不錯的選擇。

一種簡單的共形方法稱為對角近似，這種方法的缺點是：為了得到穩(wěn)定解，F(xiàn)DTD的時間步長必須減小到原來的一半。1992年，T.Jurgens和A.Taflove等人提出了Contour-Path方法[2]，求解電場和磁場的法拉第環(huán)路圍繞著物體邊界。這種方法精度較高，缺點是：計算復雜，同時也必須減小時間步長，遞推過程中還可能導致解的不穩(wěn)定。1997年，S.Dey和R.Mittra提出新的共形技術[3]。只要求修改求解磁場的法拉第環(huán)路，算法的實現(xiàn)仍需減小時間步長，同樣也可能導致不穩(wěn)定解。本文采用文獻[4]的方法對金屬曲面作共形處理。下面，首先給出曲面共形的基本原理，然后以金屬球的RCS計算為例，對算法的有效性進行驗證。

為了進一步減少由于計算曲面積分而帶來的時間消耗，采用三角近似法處理曲面邊界，即，將彎曲曲面近似為直線。算法中，對滿足共形條件的網(wǎng)格（圖1（a））采用常規(guī)的共形處理方案（CFDTD），即磁場的計算只考慮處于理想導體外的電場貢獻；對于那些不滿足條件的變形網(wǎng)格（見圖1（b）），積分區(qū)域沿整個網(wǎng)格進行，采用插值修正鄰近電場的方式對磁場進行修正。當磁場計算完后，電場仍按照一般的FDTD遞推公式進行迭代，不做任何的修改。下面，以Hz的迭代為例，具體給出兩種變形網(wǎng)格的共形處理方案。

二、數(shù)值結果與討論

分別以半徑為0.75m、1.5m、3m的金屬球的后向散射單站RCS計算為例，入射波最大頻率為300MHz，水平極化，垂直入射。網(wǎng)格步長為Δs=0.05m，時間步長為Δt=Δs/2c。

圖2為半徑是1.5m的金屬球的后向散射單站RCS曲線，圖2的數(shù)據(jù)結果顯示，未使用共形技術前，金屬球的RCS曲線在0～200MHz的中低頻部分出現(xiàn)較大的計算誤差，使用共形技術后，這種誤差有了明顯的改善。

表1列出了三種不同尺寸金屬球的RCS在使用共形技術前后的誤差比較。對于半徑0.75m的金屬小球，離散網(wǎng)格的數(shù)量不足以精確模擬球體形狀，對角近似的應用并不能夠有效改善梯形近似引起的誤差，甚至會增大這種誤差[5]。而對于半徑1.5m、3.0m的金屬球來說，算法本身所帶來的梯形近似誤差表現(xiàn)明顯，且隨著球體尺寸的增大而增加，這時，曲面共形技術的應用將中低頻部分（0～200MHz）的計算誤差進一步減小了（30%～70%）；在提高計算精度的同時，共形技術的使用并沒有縮短時間步長，盡管計算時間有所增加，但在同樣的迭代步數(shù)下就可以得到穩(wěn)定解；比較兩種方法發(fā)現(xiàn)，共形技術的使用并沒有引起計算內(nèi)存的大幅增加，內(nèi)存增幅不超過30%，因此，結合了對角近似的改進局域網(wǎng)格共形技術適合于曲面結構電磁目標的散射場計算。

四、結論

本文將傳統(tǒng)的三角近似法與改進局部網(wǎng)格的共形技術相結合，建立了簡單高效的金屬曲面共形FDTD算法。實驗結果表明，該算法不需要通過減小時間步長的方式就能得到穩(wěn)定解；相較普通的FDTD算法，共形技術的使用極大提高了曲面散射體在中低頻部分的計算精度，誤差減小幅度可達70%而內(nèi)存的增加幅度只是30%，因此，結合了對角近似的改進局域網(wǎng)格共形技術適合于實際的工程應用。

參考文獻

[1] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media. IEEE Trans Antennas Propag， 1966， 14（3）： 320-307.

[2] Jurgens T G， Taflove A， Umashankar K et al. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces [J]. IEEE Trans Antennas Propag， 1992， 40（4）： 357-366.

[3] Dey S， Mittra R. A locally conformal finite-difference time-domain（FDTD） algorithm for modeling three-dimensional perfectly conducting objects. IEEE Microwave Guided Wave lett [J]. 1997， 7（9）： 273-275.

[4]李龍、張玉、梁昌洪.波導寬邊縫隙天線的改進共行FDTD分析[J].電子學報. 2003， 31（6）： 860-863.

[5]張曉燕.地下目標電磁散射的時域有限差分計算[D].北京：中國科學院電子學研究所，2007.