中國古代數(shù)學(xué)的排列組合問題

鑒于中國數(shù)學(xué)記法具有一般矩陣的性質(zhì)，有人會(huì)想到棋盤問題是從中國傳到歐洲的，當(dāng)然，鑒于印度創(chuàng)造了現(xiàn)代形式的棋子，也會(huì)有人認(rèn)為是從印度傳去的。有些棋盤問題牽涉到級(jí)數(shù)，另一些則牽涉到排列、組合和概率。歐洲中世紀(jì)的一個(gè)著名的問題是關(guān)于在棋盤上放谷粒的問題：在第一個(gè)方格里放一粒，第二個(gè)方格放兩粒，第三個(gè)方格放四粒，照這樣按幾何級(jí)數(shù)一直放下去，問從理論上說，總共可以放多少谷粒？答案是：總數(shù)等于264-1。

另一個(gè)著名的問題是瓦卡曾經(jīng)討論過的，它與8世紀(jì)唐代僧一行的名字有關(guān)。沈括在《夢(mèng)溪筆談》中寫道：

小說：唐憎一行曾算棊局都數(shù)，凡若干局盡之。予嘗思之，此固易耳。但數(shù)多，非世間名數(shù)可能言之。今略舉大數(shù)。凡方二路，用四子，可變八十一局。方三路，用九子，可變一萬九千六百八十三局。方四路，用十六子，可變四千三百四萬六千七百二十一局。方五路，用二十五子，可變八千四百七十二億八千八百六十萬九千四百四十三局。方六路，用三十六子，可變十五兆九十四萬六千三百五十二億九千六百九十九萬九千一百二十一局。方七路以上，數(shù)多無名可記。盡三百六十一路，大約連書萬字五十二。

（據(jù)講故事的人說，僧一行有一次計(jì)算了可能擺出的棋局的總數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)他能夠絲毫沒有遺漏地計(jì)算出來。我再三思考了這件事，最后得出結(jié)論說，這是很容易辦到的。不過，這時(shí)所牽涉到的數(shù)字不能用一般使用的數(shù)字名稱來表達(dá)。在這里，我主要只提一提計(jì)算中需要用到的大數(shù)。用兩路和四個(gè)棋子，可以擺出81種不同的可能棋局。用三路和九個(gè)棋子，總數(shù)是19683。用四路和十六個(gè)棋子，總數(shù)是43046721。用五路和二十五個(gè)棋子，總數(shù)是847288609443?！狡呗芬陨?，總數(shù)就大得無法用現(xiàn)有的數(shù)字名稱來表達(dá)了。當(dāng)361個(gè)棋子全部用上時(shí)，總數(shù)達(dá)到10000^52的數(shù)量級(jí)。）

沈括接著又解釋一行的方法說，他們能夠計(jì)算出在棋盤上出現(xiàn)的一切可能的變換和移動(dòng)的數(shù)目。看來，“上驅(qū)”“搭因”“重因”等就是這些計(jì)算的名稱。

一提到中國對(duì)排列和組合的研究，人們立即就會(huì)想到《易經(jīng)》和其中的八卦及六十四卦。我們大概可以想到，它曾引導(dǎo)人們?nèi)?duì)一切可能的排列進(jìn)行某些數(shù)學(xué)研究，并且，如果說這種研究的結(jié)果不能明顯地看到的話，那么也有理由認(rèn)為，它們是被某些教派（大概是道教）當(dāng)作秘傳的教義保藏起來了。在這一方面，公元190年的《數(shù)術(shù)記遺》及其無可懷疑的道教背景是值得注意的。在這部書中提到幾種與占卜有明顯關(guān)系的計(jì)算方法，例如“八卦算”和“龜算”，這里的卦是按不同的方法在八個(gè)方位上排列起來的，而“把頭算”可能與骰子的投擲有關(guān)。在討論算盤的起源時(shí)，我們有機(jī)會(huì)描述《數(shù)術(shù)記遺》中提到過的幾種計(jì)算工具，其中的珠子（有時(shí)是不同顏色的）是放在記數(shù)的或刻度的坐標(biāo)上的。如果這

些工具僅僅是為了記數(shù)，那么，它們的價(jià)值就不太大了，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們?cè)趹?yīng)用算籌方面已經(jīng)十分熟練。因此，我們可以設(shè)想，它們的真正用途是研究排列和組合。例如，當(dāng)我們?cè)谔宜阒锌吹桨迳嫌浻袛?shù)字9183時(shí)，那么，我們似乎有理由假定，這種算具有助于回答“從9183能組合出多少個(gè)不同的數(shù)來”這樣一個(gè)問題?？梢约俣?，第一、第三、第八和第九道的珠是可以交換的。同樣，三才算可能是企圖回答一些這樣的問題：“如果九個(gè)字母當(dāng)中三個(gè)是a，三個(gè)是b，三個(gè)是c，那末，它們一共有多少種排列方法？”而八卦的問題，則和“八個(gè)人圍著一張圓桌坐，共有多少種不同坐法”這個(gè)問題相類似。

這里，必須提起11世紀(jì)邵雍所作的《易經(jīng)》六十四卦的排列。萊布尼茨認(rèn)為這種排列不是別的，而是把從l到64這些數(shù)字用二進(jìn)位記法寫出來。六十四卦也啟發(fā)了一個(gè)日本封建領(lǐng)主藤原通憲，他在公元1157年前后寫成一部日本早期數(shù)學(xué)著作《計(jì)子算》，雖然這部著作已經(jīng)失傳，但后人知道，其中包含有六十四卦組合的數(shù)學(xué)研究。

我相信，如果有一個(gè)漢學(xué)家兼通數(shù)學(xué)，那么，通過對(duì)隱晦難解的中國中世紀(jì)占卜術(shù)著作的探索，他在這方面是會(huì)大有收獲的。秦九韶在公元1247年的《數(shù)書九章》的自序中說，數(shù)學(xué)學(xué)派有三十余家，其中有的是建立在討論太一壬甲（算卦）三式的著作的基礎(chǔ)上的，但他們都是屬于內(nèi)算（秘傳的數(shù)學(xué)）。在他們留下的大量著作中能不能發(fā)現(xiàn)一些對(duì)排列組合理論有價(jià)值的早期貢獻(xiàn)，這是一個(gè)值得進(jìn)一步研究的問題。鑒于歐洲在伊士拉（Abrabam ben Ezra，1140年）以前，印度在巴斯卡拉（Bhāskara，1150年）以前，在這方面的發(fā)現(xiàn)極端貧乏，因此，這種研究是很有意義的。直到15世紀(jì)末帕喬利的時(shí)代，排列和組合的問題才有了真正的進(jìn)步，關(guān)于它的第一部著作——伯努利（Jakob Bernoulli）的《猜度術(shù)》（Ars Conjectandi）——直到1713年才問世。