解答中考數(shù)學(xué)中的“穿過型”問題

已知兩個幾何圖形，其中一個圖形保持靜止，另一個圖形沿著直線方向作勻速運(yùn)動，并且在運(yùn)動過程中會從靜止的圖形中穿過，我們把這類數(shù)學(xué)問題叫做“穿過型”中考題，它是“運(yùn)動型”問題的一個分支.

一、一個圓從另一個圓中穿過

：先求出兩圓外離和內(nèi)含時d的范圍.再根據(jù)“點(diǎn)P在直線L上”，利用垂線段最短，那么PO必然大于或等于點(diǎn)O到直線L的距離.

：由于兩圓的圓心沒有固定在一條直線上，因此如果兩圓沒有交點(diǎn)，除了要考慮兩圓外離和內(nèi)含兩種情況外，還要注意考慮利用垂線段最短，求出PO的最小值.

例2 （2013年湖南衡陽）如圖，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為是S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（）

：圓從左向右勻速穿過正方形時，可分五個階段：①圓與正方形剛好接觸；②圓的一部分開始穿進(jìn)正方形；③整個圓在正方形內(nèi)；④圓的一部分開始穿出正方形；⑤圓剛好完全穿出正方形.

：當(dāng)圓與正方形剛好接觸時，S等于正方形的面積，此時圖象與縱軸交于原點(diǎn)上方的一點(diǎn)；當(dāng)圓的一部分開始穿進(jìn)正方形時，由于圓占據(jù)正方形的面積逐漸增加，因此S逐漸減小，此時圖象是一條勻速下降的線段；當(dāng)整個圓在正方形內(nèi)時，S保持不變，圖象是一條水平的線段；當(dāng)圓的一部分開始穿出正方形時，由于圓占據(jù)正方形的面積逐漸減少，因此S逐漸增大，此時圖象是一條勻速上升的線段；當(dāng)圓剛好完全穿出正方形時，S仍然等于正方形的面積，此時圖象恢復(fù)最大值.據(jù)此答案選A.

：上述解法綜合考慮了圓運(yùn)動的所有情況.實(shí)際上我們也可以考慮圓運(yùn)動的部分情況并結(jié)合排除法求解，如根據(jù)圓與正方形剛好接觸時，S等于正方形的面積，據(jù)此可排除選項(xiàng)B、C；根據(jù)整個圓在正方形內(nèi)時，S保持不變，據(jù)此又可排除選項(xiàng)D，這樣也可選出正確選項(xiàng)A.另外請同學(xué)們思考：圓的半徑r與正方形的邊長a滿足什么關(guān)系時，S與t的大致圖像為選項(xiàng)D.

三、一個正方形從另一個正方形中穿過

例3 （2013年黑龍江牡丹江）如圖所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形.設(shè)穿過的時間為t，大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應(yīng)為（）

：本例同例2的不同之處在于，例2是圓穿過正方形，而本例是正方形穿過正方形.另外如果僅從線條的趨勢無法選出正確選項(xiàng)，還應(yīng)從兩個正方形邊長的具體數(shù)值考慮才能選出正確選項(xiàng).過程留給同學(xué)們完成.

：當(dāng)兩個正方形的邊長滿足什么關(guān)系時，s與t的大致圖象為選項(xiàng)D.

四、一個三角形從另一個正方形中穿過

例4 （2013年遼寧鐵嶺）如圖甲，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖甲所示的位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時停止運(yùn)動.設(shè)△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運(yùn)動時間為t，則S與t的圖象大致是（）

：三角形從左向右勻速穿過矩形時，可分五個階段：①三角形從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A；②三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形；③整個三角形在矩形內(nèi)；④三角形的一部分開始穿出矩形；⑤三角形剛好完全穿出矩形.

：當(dāng)三角形從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時，S等于零，此時圖象是x軸上的一條線段，據(jù)此可排除選項(xiàng)A、C；當(dāng)三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形時，S不斷增加，而且在單位時間內(nèi)增加的面積不相同.選項(xiàng)B、D都符合這個趨勢，不同之處在于：選項(xiàng)B在單位時間增加的速度慢，選項(xiàng)D在單位時間增加的速度快，到底是選擇B選項(xiàng)還是選擇D選項(xiàng)呢？如圖乙，我們可以設(shè)想Rt△EFG從圖乙所示位置出發(fā)做相同的運(yùn)動，通過對比，不難發(fā)現(xiàn)：如果Rt△EFG從如圖乙所示的位置出發(fā)，當(dāng)三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形時，S在單位時間增加的速度必然很快，故選D.

：本題的難點(diǎn)在于對選項(xiàng)B、D的判斷.正如解（證）幾何題作輔助線那樣，我們可以作輔助圖（如圖乙）.通過將原圖與輔助圖形進(jìn)行對比，我們巧妙地突破了難點(diǎn).本題如果不借助輔助圖，需要用字母表示出直角三角形的兩條直角邊長以及矩形的長AB，并求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，非常麻煩.