石英音叉陀螺多頻率激勵自啟動算法

付 雷，孟 磊，馮立輝，崔建民，湯 一，要彥清

（1.北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京 100081；2.北京晨晶電子有限公司，北京 100015）

石英陀螺以其體積小、可靠性高、成本低等優(yōu)點，在軍民領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，目前向著數(shù)字化、集成化、高精度方向發(fā)展。Cao Hui-liang等人通過多種正交誤差糾正方法將零偏穩(wěn)定性降低至 3 (°)/h[1]。Georgia Tech早在2008年就提出了零偏穩(wěn)定性為0.96 (°)/h的音叉陀螺[2]。Yang Cheng等人用同步積分解調(diào)器（SID）檢測弱信號，配合自動增益控制與鎖相環(huán)，零偏穩(wěn)定性可達0.2 (°)/h[3]。Norouzpour-Shirazi A利用數(shù)字相位解調(diào)算法提取角速度信號，系統(tǒng)具有0.55 (°)/h的零偏穩(wěn)定性[4]。Igor P.Prikhodko等人提出了實時溫度自感偏置漂移補償算法，將零偏穩(wěn)定性從0.6(°)/h 降低到 0.2 (°)/h[5]。眾多科研單位及企業(yè)如日本Epson公司、美國BEI公司已有商業(yè)化產(chǎn)品。美國SDI公司生產(chǎn)的SDD3000單軸精密數(shù)字陀螺儀，運行期間的零偏穩(wěn)定性小于 1 (°)/h，在對溫度、振動等環(huán)境穩(wěn)定性和噪聲要求苛刻的場合發(fā)揮出色。

數(shù)字化處理能提升音叉陀螺工作性能，本文從驅(qū)動頻率定位精度與穩(wěn)定性出發(fā)，在頻率跟蹤算法的基礎(chǔ)上，提出多頻率激勵算法，當(dāng)更換音叉或溫度變化時，音叉能快速自啟動，有利于提升陀螺穩(wěn)定性與適配性。

1 頻率跟蹤算法

石英晶體由于壓電效應(yīng)作用，驅(qū)動叉指受驅(qū)動信號激勵作恒頻穩(wěn)幅振動，敏感叉指產(chǎn)生微弱電荷信號，相關(guān)解調(diào)即可得到角速度大小。為了研制更高性能的石英陀螺，可利用數(shù)字電路對音叉進行驅(qū)動與檢測以進一步提高精度?，F(xiàn)有數(shù)字解調(diào)方法需采用穩(wěn)頻正弦信號作為驅(qū)動信號，調(diào)節(jié)頻率控制因子控制信號頻率。根據(jù)石英音叉陀螺的導(dǎo)納圓可知其存在多個諧振頻率點，串聯(lián)諧振頻率是最佳工作頻率。由于音叉陀螺品質(zhì)因數(shù)Q值很高，相當(dāng)于帶寬極窄的帶通濾波器，由電路不穩(wěn)定等因素導(dǎo)致的驅(qū)動信號頻率偏移將導(dǎo)致音叉無法起振。溫度變化時，音叉等效電學(xué)參數(shù)發(fā)生變化，會導(dǎo)致諧振頻率改變，若驅(qū)動信號頻率不能隨之變化，同樣會導(dǎo)致無法起振。

本文依據(jù)已有的“頻率跟蹤算法”[6]，通過檢測產(chǎn)生的附加相移來動態(tài)調(diào)整驅(qū)動信號頻率，使得驅(qū)動信號頻率與石英音叉諧振頻率的偏移最小，算法原理圖如圖1所示。

跟蹤算法中的閾值參考量會隨溫度變化而改變，不同音叉間該值也不同，導(dǎo)致更換音叉或工作溫度變化后音叉無法起振或獲取穩(wěn)定工作頻率。本文提出一種基于粒子群的多頻率激勵方法，可實現(xiàn)不同音叉的頻率自動匹配，實現(xiàn)更換音叉后無需更改驅(qū)動程序即可自啟動，同樣適用于溫度變化后的音叉工作頻率標(biāo)定。

圖1 頻率跟蹤算法示意圖Fig.1 Scheme of frequency tracking algorithm

2 音叉陀螺自啟動方法

頻率跟蹤算法需要閾值參考量才能對驅(qū)動信號進行頻率調(diào)控，該參考量可由自啟動方法提供。

串聯(lián)諧振頻率為石英音叉陀螺的最佳工作頻率，此時驅(qū)動信號幅度較大，驅(qū)動叉指可獲得較多能量，能夠提升陀螺靈敏度，且頻率變化產(chǎn)生的幅度抖動對該頻率影響最小。當(dāng)工作在串聯(lián)諧振頻率附近時，陀螺性能較好。

當(dāng)驅(qū)動電路自激振蕩時，石英音叉部分等效

電學(xué)模型與放大電路如圖2所示[6]，其中C1為動態(tài)電容，L1為動態(tài)電感，C0為靜態(tài)電容，R1為等效串聯(lián)電阻。Cf與Rf為放大電路中的反饋電容與反饋電阻。

則石英晶體的等效導(dǎo)納為：

圖2 石英音叉等效電路與放大電路Fig.2 Equivalent circuit of quartz tuning fork and the amplifying circuit

驅(qū)動信號經(jīng)過音叉與放大電路后放大倍數(shù)為：

對式(2)進行化簡，

等式左右兩邊取平方并移項化簡，可得：

進一步化簡，并令等式左邊為S，可得：

式(5)中C0、C1、R1、L1這4個音叉電學(xué)參數(shù)作為未知數(shù)，利用DSP內(nèi)正弦波信號發(fā)生器生成諧振頻率附近多個頻率正弦信號去激勵音叉，同時用AD采集不同頻率下的驅(qū)動信號幅值，計算出放大倍數(shù)A,從而得到S。由4個方程求得 4個電學(xué)參數(shù)，再根據(jù)串聯(lián)諧振頻率可得到參考頻率 f，計算頻率跟蹤算法中的閾值參考量，當(dāng)更換音叉或溫度變化時都能進行準(zhǔn)確的頻率跟蹤，實現(xiàn)音叉起振。

當(dāng)音叉未起振時，AD端采集信號多為噪聲，方程不具有真實性，解得結(jié)果亦無效。故需要通過跳頻進行預(yù)處理，使音叉大致工作在諧振頻率附近，跳頻法示意圖如圖3所示。通常石英陀螺的驅(qū)動頻率在11 kHz到12 kHz范圍內(nèi)，間隔100 Hz對音叉進行10次激勵，當(dāng)音叉響應(yīng)最大時，AD采集到的驅(qū)動信號幅度最大，對應(yīng)頻率最接近諧振頻率。第二次跳頻以第一次結(jié)果為中心頻率，間隔10 Hz進行。持續(xù)進行多次跳頻，使頻率更加精確，直到最終頻率范圍鎖定到 5Hz，此時可認(rèn)為音叉已經(jīng)起振，但不是最佳工作點，再進行數(shù)據(jù)采集與解方程運運算，并認(rèn)為得到的結(jié)果符合精度要求。

圖3 跳頻法示意圖Fig.3 Scheme of frequency scanning

實際應(yīng)用中，音叉啟動時間要求很短，而該算法運行時間較長，無法滿足實際要求?？刹捎靡淮螛?biāo)定，二次啟動的方法，針對一個新的音叉，先利用自啟動程序進行標(biāo)定，計算出所需閾值參考量，并儲存在DSP芯片ROM中，進行二次啟動時，直接從ROM中讀取參考值，并完成音叉的頻率跟蹤與自啟動。當(dāng)需要對新音叉進行驅(qū)動時，程序會對音叉重新標(biāo)定，并在ROM中存儲新音叉的參數(shù)值，以便二次迅速自啟動。通過這種二次啟動的方式，提高了自啟動算法的實用性。

3 跳頻與粒子群算法

方程組求解的精度與速度影響了頻率定位的精度與速度，所求方程為多元非線性方程組，無法求出解析解，只能通過迭代法求出滿足一定精度的數(shù)值解。常見求解方法有二分法、弦截法等，這些方法都不需要求解導(dǎo)數(shù)值，計算效率更高，但收斂速度慢；牛頓迭代法作為最基本最核心的方法，至少二次收斂到單根，收斂速度有保證，但其關(guān)鍵問題是收斂性受初值影響大，初值選取不當(dāng)將效率低下，甚至發(fā)散，無法得到解。

本文采用基于跳頻法預(yù)處理的粒子群算法對方程組進行求解，迭代800次左右，上位機運行只需0.5 s即可得到所需解，求解精度可達10-20。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是Kennedy和Ebe通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種基于群體智能的全局隨機搜索算法。PSO算法容易理解，參數(shù)少易于調(diào)整，對非線性、多峰問題具有較強的全局搜索能力，并且不受初值影響[7-8]。

在粒子群算法中，最優(yōu)值問題的潛在解是搜索空間中的一只鳥，稱之為粒子，由優(yōu)化函數(shù)可計算每個粒子的適應(yīng)度值（Fitness Value），每個粒子都有自己的速度決定下次前進的方向和距離，所有粒子追隨著當(dāng)前最優(yōu)粒子在解空間中不斷探索，直到全部收斂于最優(yōu)解。

粒子群初始化為一群隨機粒子，計算他們的適應(yīng)度值，通過迭代來更新并記錄最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過兩個值來更新自身，一是粒子本身的最優(yōu)值，稱為個體極值，二是整個種群中的最優(yōu)值，稱為全局極值。

粒子群算法的速度更新公式如式(6)所示[9-10]：

從一次速度更新后，相應(yīng)的粒子位置也要做更新，如式(7)所示：

方程求解問題可等效為尋找函數(shù)零點問題，同時滿足四個函數(shù)值最接近0的解即為期望解。將適應(yīng)度函數(shù)定義為四個函數(shù)值絕對值之和，故解方程問題轉(zhuǎn)化為求適應(yīng)度函數(shù)的最小值，依據(jù)適應(yīng)度值確定粒子群的個體最優(yōu)與群體最優(yōu)，確定所有粒子最優(yōu)值與群體最優(yōu)值后，進行速度與位置更新，更新完畢后，用新的粒子進行下一次迭代，直到適應(yīng)度滿足要求，達到4×10-20。此時得到的解滿足精度要求，可用其計算諧振頻率，并得到頻率跟蹤算法中的閾值參考量。

4 實驗結(jié)果

為探究該自啟動算法在實際應(yīng)用中的可行性，對跳頻法和跳頻法與粒子群法兩種方法在 DSP平臺下進行實驗，硬件開發(fā)原理示意圖與硬件開發(fā)平臺圖如圖4～5所示。

圖4 硬件開發(fā)原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of hardware development

圖5 硬件開發(fā)平臺圖Fig.5 Hardware development platform

對于同一驅(qū)動電路，未加入自啟動算法時，更換音叉后，音叉無法起振，系統(tǒng)工作異常。當(dāng)加入自啟動算法后，音叉能正常起振，驗證了多頻率激勵算法的可行性。由于諧振頻率處，經(jīng)AD采集得到的驅(qū)動信號幅值接近最大值，可用該值判斷頻率是否為諧振頻率，即反映了頻率定位精確度。

對兩個音叉通過兩種方法進行一次標(biāo)定與二次啟動，記錄啟動時間、諧振頻率值與AD采集值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，實驗結(jié)果如表1、表2所示。將AD采集值作圖，結(jié)果如圖6所示。

圖6 AD采集值結(jié)合法與跳頻法結(jié)果對比Fig.6 Comparison between two methods of the acquisition value of AD

由表1與表2數(shù)據(jù)可得，使用粒子群與跳頻結(jié)合方法得到的AD采集值標(biāo)準(zhǔn)偏差小，說明驅(qū)動端幅度穩(wěn)定性較強，音叉工作狀態(tài)良好，故粒子群與多頻率激勵結(jié)合的方法在音叉自啟動中可行。

對比同一音叉的兩種啟動方式可知，使用粒子群與跳頻結(jié)合方法啟動時間比跳頻法短3 s左右，AD采集值比跳頻法大，說明頻率定位更精確，標(biāo)準(zhǔn)偏差也更小，比跳頻法結(jié)果穩(wěn)定性提高了一倍左右。

表中時間為一次標(biāo)定啟動時間，該時間與硬件性能相關(guān)。當(dāng)進行一次標(biāo)定確定參考值后，二次啟動可1.5 s內(nèi)完成，與實際應(yīng)用中的需求相符。

表1 音叉一兩種方法啟動結(jié)果Tab.1 Results of the first gyroscope by the two methods

表2 音叉二兩種方法啟動結(jié)果Tab.2 Results of the second gyroscope by the two methods

5 總結(jié)展望

石英音叉陀螺驅(qū)動信號的頻率穩(wěn)定性對系統(tǒng)性能有很大影響，在頻率跟蹤算法的基礎(chǔ)上，通過粒子群算法與多頻率激勵結(jié)合方法，實現(xiàn)了音叉更換時系統(tǒng)自動進入工作狀態(tài)。實驗探究了跳頻法和跳頻與粒子群結(jié)合兩種方法，表明兩種方法都可以用于石英音叉陀螺的自啟動，但跳頻與粒子群結(jié)合法啟動速度比跳頻啟動更快，頻率定位更精確，驅(qū)動端工作更穩(wěn)定，有利于提高系統(tǒng)適配性與工作效率。