解析幾何與不等式知識的融合

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不等式在解析幾何中的應用主要體現(xiàn)在幾何和代數(shù)兩個方面，幾何上可用不等式判斷點、直線與曲線的位置關(guān)系；代數(shù)上可作為一種求最值、范圍時的工具（類似函數(shù)）.

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（1）掌握點與直線、點與二次曲線的位置關(guān)系的判斷方法. 如點（x0，y0）在直線y=kx+b的上方？圳y0>kx0+b；點（x0，y0）在橢圓■+■=1內(nèi)？圳■+■<1；判別式Δ>0？圯直線與二次曲線有兩個相異交點等.

（2）求目標函數(shù)最值、范圍問題時，將目標函數(shù)構(gòu)造為均值不等式模型是常用的變形手段. 如將目標函數(shù)寫成f（x）+■（f（x）>0，a>0），f（x）·（a-f（x））（a>0，07ksl/3MV3y3LjpaUPjp0eg==等形式.

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■ 如圖1，已知拋物線C：y2=4x的準線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A，B兩點，問：是否存在這樣的k使得拋物線C上總存在點Q（x0，y0）滿足QA⊥QB，若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由.

破解思路 本題是解析幾何中常見的探索（存在）性問題，解決的方法是先假設(shè)滿足條件的點Q（x0，y0）存在，然后建立關(guān)于x0，y0的方程（組），若方程有解則存在，否則就不存在.

經(jīng)典答案 由已知，假設(shè)存在點Q■，y0（y0∈R）滿足條件，設(shè)點A■，y1，B■，y■，則kQA·kQB=-1（顯然QA，QB的斜率均存在），代入坐標得■·■=-1，即y■y■+y■（y■+y■）+y■■+16=0 ①.

易知M（-1，0），設(shè)直線l的方程為x=my-1（m∈R），代入拋物線C并消去x得y2-4my+4=0，由題意知直線l與拋物線C有兩個相異交點，所以判別式Δ1=16m2-16>0，即m2>1 ②.

將y■+y■=4m，y■y■=4代入①得y■■+4my■+20=0 ③. 又Q■，y0點存在，所以方程③有實數(shù)解，故其判別式Δ2=16m2-80≥0，即m2≥5④.

由②④得m2≥5，又直線l的斜率k=■，所以可得：當k∈-■，0∪0，■時，拋物線C上總存在Q點滿足條件.

■ 如圖2，已知P為拋物線C：y=■x2-2上的動點，l為C在P點處的切線，O為坐標原點，求O到l距離的最小值.

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圖2

破解思路 設(shè)出P點的坐標，將點O到切線l的距離表示為關(guān)于P點坐標的目標函數(shù)，然后求其最值.

經(jīng)典答案 由題意設(shè)P（x0，■x■■-2）（x0∈R），原點O到l的距離為d. 則曲線C在點P處切線l的斜率k=y′■= ■x0，所以l的方程為y-■x■■+2=■x0（x-x0），即2x0x-4y-x■■-8=0. 所以d=■=■■+■≥2，顯然當x■■=0，即x0=0時取等號，所以O(shè)到l距離的最小值為2.

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1. 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若■的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）

A. （1，+∞）B. （1，2]

C. （1，■]D. （1，3]

2. 已知橢圓■+■=1（a>b>0），P（x，y），Q（x′，y′）是該橢圓上的兩點，有下列四個結(jié)論：

①a2+b2≥（x+y）2；②■+■≥■+■■；③■+■≥4；④■+■≤1. 其中正確的個數(shù)為（ ）

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個