空間角

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空間角常指線線角、線面角、二面角，是描述空間元素之間關(guān)系的重要參數(shù)，也是年年高考的必考內(nèi)容. 此類考題往往以多面體或旋轉(zhuǎn)體為依托，在選擇題、填空題、解答題中均會出現(xiàn)，需用到方程、三角、平幾等知識.

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運(yùn)用幾何推理求空間角的一般步驟為：一作、二證、三算.

求異面直線所成的角：①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條為相交直線；②求值：作出相應(yīng)的三角形，求解三角形；③注意：當(dāng)求出的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為所求的兩條異面直線所成的角.

求直線與平面所成的角：①作垂直：過直線上一個(gè)點(diǎn)向平面引垂線；②連線：連結(jié)垂足與直線和平面的交點(diǎn)，所得直線與已知直線所成的角即為直線與平面所成的角；③求解：在所成的直角三角形中求之.

二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為平面角求之；②面積射影法：利用面積射影公式S射=S原·cosθ，其中θ為平面角的大小.對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法.

在具體操作時(shí)，平移（找平行線）異面直線使之相交是求異面直線所成角的主要技巧；利用平面垂線找到線面角、面面角是處理線面角和面面角的重要技巧.

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■ （1）如圖1，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，過頂點(diǎn)A1作底面ABC的垂線，若垂足為BC的中點(diǎn)，則異面直線CC1與AB所成的角的余弦值為_______.

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圖1

（2）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)，則直線CD與平面ADMN所成的角的正弦值為（ ）

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圖2

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

破解思路 對于涉及空間角的選擇題、填空題，由于計(jì)算量的限制一般不宜用向量坐標(biāo)法處理. 本例題（1）求線線角可直接采用平移法，構(gòu)成三角形后再通過余弦定理求解. 題（2）求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常要用到面面垂直的性質(zhì)定理，所以要進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€面轉(zhuǎn)換；若線面角確實(shí)不太好作出，還可通過等積法求點(diǎn)到面的距離，再由直角三角形解出.

經(jīng)典答案 （1）不妨設(shè)該幾何體的邊長為2，則可求得點(diǎn)A1到底面ABC的距離為1，所以A1B=■；又因?yàn)楫惷嬷本€CC1與AB所成的角就是∠A1AB，所以由余弦定理可知cos∠A1AB=■=■=■.

（2）PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD. 又∠BAD=90°，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面PAB，所以PB⊥AD.△PAB為等腰直角三角形，且N為PB的中點(diǎn)，所以PB⊥AN，所以PB⊥平面ADMN. 取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，NG，則BG∥CD，所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等. 在Rt△BGN中，sin∠BGN=■=■，所以選B.

■ 如圖3，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點(diǎn).

（1）求PA與底面ABCD所成角的大??；

（2）求證：PA⊥平面CDM；

（3）求二面角D-MC-B的余弦值.

破解思路 本題是一道常規(guī)的立幾考題.

第（1）問較容易，可由面面垂直的基本知識，作出垂直于底面的垂線，從而得出直線PA與底面ABCD所成角.

第（2）問要證直線PA與平面CDM垂直，只要證線與面上兩相交直線垂直，其中PA⊥CD易證，另一線線垂直則需轉(zhuǎn)化，屬常規(guī)題.

第（3）問求二面角的平面角需通過三垂線定理尋求，有一定難度. 計(jì)算時(shí)需注意二面角的大小有時(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角，因此在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”.

經(jīng)典答案 （1）取DC的中點(diǎn)O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC.

又平面PDC⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD于O. 連結(jié)OA，則OA是PA在底面ABCD上的射影.

所以∠PAO就是直線PA與底面ABCD所成角. 因?yàn)椤螦DC=60°，由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=■.

所以∠PAO=45°，所以PA與底面ABCD所成角的大小為45°.？搖？搖

（2）取AP的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，由（1）知，在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，則AO⊥CD，又PO⊥CD，則CD⊥平面APO，即CD⊥PA.

又在△PAB中，中位線MN■■AB，CO■■AB，則MN■CO，則四邊形OCMN為平行四邊形，所以MC∥ON.

在△APO中，AO=PO，則ON⊥AP，故AP⊥MC，而MC∩CD=C，？搖則PA⊥平面MCD.

（3）由（2）知MC⊥平面PAB，則∠NMB為二面角D-MC-B的平面角.

在Rt△PAB中，易得PA=■，PB=■=■=■，cos∠PBA=■=■=■，cos∠NMB=cos（π-∠PBA）= -■. 故所求二面角的余弦值為-■.

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1. 如圖4，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB？奐α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________.

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圖4

2. 如圖5，在三棱錐A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6■，BC=CD=6，設(shè)頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為E.

（1）求證：CE⊥BD；

（2）設(shè)點(diǎn)G在棱AC上，且CG=2GA，試求二面角C-EG-D的余弦值.

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圖5