三角函數與導數、積分

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三角函數具有比較完備的函數性質，針對這一特點每年都有利用導數解決三角函數問題的高考試題，這是今后考查三角函數的一個重要方向，也是高考的重點. 一般地，這類題目常以填空題和解答題的形式出現，難度中等偏上.

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三角函數是特殊的函數，解決此類問題的要點是理解求導的幾何意義并熟記三角函數的求導公式，依照導數解決函數的策略來處理三角函數問題. 要注意把握好導數與函數的單調性的關系：①f ′（x）>0能推出f（x）為增函數，但反之不一定；②當f ′（x）≠0時，f ′（x）>0是f（x）為增函數的充分必要條件；③f ′（x）≥0是f（x）為增函數的必要不充分條件. 在實際應用中遇到端點的討論問題，要謹慎處理.

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■ 設函數f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

破解思路 對于第（1）問，討論單調性的關鍵是看導函數f ′（x）=a-sinx正負號變化的臨界位置，借助三角函數y=sinx的有界性，分類討論a的取值范圍，求解單調區(qū)間即可. 對于第（2）問，不等式ax+cosx≤1+sinx在x∈[0，π]恒成立的問題可以轉化為不等式cosx-1≤sinx-ax在x∈[0，π]恒成立的問題. 一般的解法是：若x=0，則0≤0，不等式成立；若x≠0，則不等式化為a≤■，原問題轉化為求函數f（x）=■在區(qū)間（0，π]的最值問題. 這里介紹一種特殊值法：可先取特殊情況x=π，得到a的取值范圍是a≤■，然后構造與不等式cosx-1≤sinx-ax所對應的函數g（x）=sinx-■x，轉化為求函數的最值問題.

經典答案 （1）f ′（x）=a-sinx.

①當a≥1時， f ′（x）≥0，且僅當a=1，x=■時， f ′（x）=0，此時f（x）在[0，π]上是增函數；

②當a≤0時， f ′（x）≤0，且僅當a=0，x=0或x=π時， f ′（x）=0，此時f（x）在[0，π]上是減函數；

③當00， f（x）是增函數；當x∈（x1，x2）時，sinx>a， f ′（x）<0，f（x）是減函數；當x∈（x2，π]時，sinx0， f（x）是增函數.

（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，所以a≤■. 令g（x）=sinx-■x0≤x≤■，則g′（x）=cosx-■. 當x∈0，arccos■時，g′（x）>0，當x∈arccos■，■時，g′（x）<0. 又g（0）=g■=0，所以g（x）≥0，即■x≤sinx0≤x≤■. 當a≤■時，有f（x）≤■x+cosx.

①當0≤x≤■時，■x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②當■≤x≤π時， f（x）≤■x+cosx=1+■x-■-sinx-■≤1+sinx.

綜上，a的取值范圍是-∞，■.

■ 函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0）的導函數y=f ′（x）的部分圖象如圖1所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點.

（1）若已知φ=■，點P的坐標為0，■，則ω=_______；

（2）若在曲線段■與x軸所圍成的區(qū)域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為_________.

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圖1

破解思路 本題的導數只是一個載體，求導之后獲得一個新函數f ′（x）=ωcos（ωx+φ），已知條件都是圍繞這個新函數給出的，于是利用點P在圖象上可以求解第（1）問. 第（2）問是測度為面積的幾何概型，根據定義，分別算出三角形的面積及曲邊形的面積，代入公式求解即可.

經典答案 （1）由已知，y=f ′（x）=ωcos（ωx+φ），當φ=■，點P的坐標為0，■時，ωcos■=■，所以ω=3.

（2）由圖知AC=■=■=■，S△ABC=■AC·ω=■. 設A，B的橫坐標分別為a，b，曲線段■與x軸所圍成的區(qū)域的面積為S，則S=∫■■ f ′（x）dx=f（x）■■？搖=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2，由幾何概型知該點在？搖△ABC內的概率為P=■=■=■.

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函數y=sin■+cos■在（-2π，2π）內的遞增區(qū)間是_______.