函數(shù)與不等式

（1）根據(jù)含參數(shù)不等式的解的情況或其他條件，確定參數(shù)的取值范圍問題，雖然在教材中沒有作專門介紹，但由于這類問題非常適合用于考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，所以在近幾年各地的試卷中均有所涉及.

（2）函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識，一直是高考的熱點(diǎn)問題，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，通過原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)把函數(shù)的單調(diào)性問題化歸為不等式問題，這種命題模式得到各地命題專家的青睞；雖然試題各不相同，但解決問題的思想方法基本相同，即以導(dǎo)數(shù)為橋梁，以不等式為工具研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的其他性質(zhì).

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（1）明確用分離變量的方法把問題化歸為求函數(shù)的最值問題是解決“求不等式中的參數(shù)范圍問題”最行之有效的方法.

（2）明確不等式是解決有關(guān)函數(shù)問題的最重要的工具，在解決有關(guān)函數(shù)的問題時(shí)千萬不要忘記它.

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■ 設(shè)x，y∈（0，2），xy=2，且6-2x-y>a（2-x）（4-y）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

破解思路 注意到從原不等式可以分離出參變量a，即原不等式等價(jià)于a<■，故問題就化歸為求二元函數(shù)F（x，y）=■的值域. 由于xy=2，所以還可以把求二元函數(shù)F（x，y）值域的問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的一元函數(shù)的值域問題.

經(jīng)典答案 因?yàn)閤，y∈（0，2），所以（2-x）（4-y）>0，6-2x-y>a（2-x）（4-y）？圳a<■？圳a<■？圳2a<■？圳2a<1+■？圳2a<1+■.

令f（x）=5-2x+■，由于x∈（0，2），且y=■∈（0，2），所以1x）=5-2x+■（1

■ 若已知函數(shù)f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R）在區(qū)間[0，2]上的最大值是2，求a的取值范圍.

破解思路 （1）當(dāng)a的值確定時(shí)， f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值也隨之確定，從理論上講，其最大值可以表示成關(guān)于a的函數(shù)h（a），解方程h（a）=2可得到a的值. 但這個(gè)想法有以下兩方面的不足：其一，求函數(shù)h（a）的解析式是一件很不容易的事，所以沒有可操作性；其二，照理可求出a值，而問題所要的結(jié)論是求a的取值范圍（“對于這個(gè)問題，元芳你怎么看？”），因此題目中可能還隱藏著其他“機(jī)關(guān)”（“此事必有蹊蹺！”）.

（2）注意到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值只可能在邊界點(diǎn)的函數(shù)值及在這個(gè)區(qū)間上的極值點(diǎn)的函數(shù)值中產(chǎn)生，因此必有f（0）≤2， f（2）≤2成立，由此可縮小“包圍圈”. 在操作過程中不必真的求出其最大值，只需在區(qū)間[0，2]上的極值點(diǎn)的函數(shù)值不大于2且可以取到2即可.

（3）若能發(fā)現(xiàn)“暗藏機(jī)關(guān)”：f（2）=2，則問題即化歸為“0≤x≤2時(shí)， f（x）≤f（2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”. 運(yùn)用分離變量法，把問題化歸為求函數(shù)的最值，是求解不等式中的參數(shù)范圍最常用的方法之一，所以我們要有運(yùn)用分離變量法解決問題的“沖動”，而不是看到題目就想扔卷子的沖動.

經(jīng)典答案 法1（分類討論，各個(gè)擊破）：由已知，f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R），所以可得f ′（x）=3（1-2a）x2+2（9a-4）x+（5-12a）=（x-1）[3（1-2a）？搖x-（5-12a）].

記t=■其中a≠■，由t=1可得a=■. 由題意可知f（0）=4a≤2，得a≤■. 又因?yàn)?？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤■.

①當(dāng)0≤a<■時(shí)，0<1

②當(dāng)■≤a<■時(shí)，t≤0<1<2， f（x）是[0，1]上的減函數(shù)，是[1，2]上的增函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上的最大值為max{f（0）， f（2）}=2.

③當(dāng)■

又因?yàn)閒（t）=■+4a， f（t）<2？圳（5-12a）2（2-3a）<54（1-2a）3？圳9a<4. 由于■

④當(dāng)a=■時(shí)， f（x）是[0，1]上的減函數(shù)，是[1，2]上的增函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上的最大值為max{f（0）， f（2）}=2成立.

⑤當(dāng)a=■時(shí)， f ′（x）=（x-1）2≥0是[0，2]上的增函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上的最大值為f（2）=2.

由①②③④⑤可知a的取值范圍是0≤a≤■.

評注 這種解法的指導(dǎo)思想是分類討論思想，即把需要論證的問題分解成若干個(gè)小問題，然后各個(gè)擊破，故總的解題思路顯得很自然. 在操作過程中注意利用x=1是其中的一個(gè)極值點(diǎn)，邊界點(diǎn)的函數(shù)值f（0）≤2，先把a(bǔ)的取值范圍壓縮到0≤a≤■，但后面的論證過程顯得比較繁雜. 若能大膽猜想0≤a≤■就是a的取值范圍，則可據(jù)此對其論證過程作必要的修正，如通過改變主元的方法，簡化證明過程.

法2（大膽猜想，小心論證）：根據(jù)題意可知f（0）=4a≤2，得a≤■. 又因?yàn)?？坌a∈R， f（2）=2恒成立，由f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤■. 下面證明：？坌x∈[0，2]，？坌a∈0，■有f（x）≤f（2）=2恒成立.

由于f（x）=g（a）=（-2x3+9x2-12x+4）a+x3-4x2+5x，因此要證明：？坌a∈0，■，g（a）≤2恒成立，只需證明：g（0）≤2，g■≤2成立.

令h（x）=g（0）=x3-4x2+5x，易知h（x）是[0，1]和■，2上的增函數(shù)，1，■上的減函數(shù)，所以h（x）在[0，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g（0）≤2成立.

令s（x）=g■=■（x-1）2+■，s（x）在[0，2]上的最大值為max{s（0），s（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g■≤2成立.

綜上可得，g（0）≤2，g■≤2恒成立，故a的取值范圍是0≤a≤■.

評注 本解法的關(guān)鍵是能注意到f（2）=2，且x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，從而大膽猜想a的取值范圍是0≤a≤■，多數(shù)考生沒有這樣的直覺和膽識. 這種解法過程簡結(jié)，確實(shí)令人拍案叫絕，但其缺點(diǎn)也很明顯，即思路不是很自然.

法3（分離變量，再求最值）：根據(jù)題意可知f（0）=4a≤2，得a≤■，又因?yàn)椋扣衋∈R， f（2）=2恒成立，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是2？圳0≤x≤2時(shí)， f（x）≤f（2）恒成立？圳0≤x≤2時(shí)，（x-2）[（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1]≤0恒成立？圳0≤x<2時(shí)，（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1≥0恒成立？圳0≤x<2時(shí)，a（2x2-5x+2）≤x2-2x+1恒成立？圳0≤x<■時(shí)，a≤■恒成立；且■LV9zcnULFHhgKcDMiRL8GZ2szT0gVaOLtv8OMpPhHIY=a≥■恒成立.

令g（x）=■0≤x<■，則可得g（x）=2-■-■■0≤x<■，其值域?yàn)椋?，2]，所以■=■的最小值為■，所以a≤■. 當(dāng)■

評注 以函數(shù)的思想為指導(dǎo)，運(yùn)用分離變量的方法求解參數(shù)的范圍，顯得思路自然，唯一要擔(dān)心的是實(shí)施分離變量后所得目標(biāo)函數(shù)的最值能否順利求得. 注意到x=2是關(guān)于x的方程f（x）=f（2）的解，所以可以預(yù)見關(guān)于x的三次不等式f（x）≤f（2）必可化簡為關(guān)于x的二次不等式（可以消去因式x-2），因此上述擔(dān)心是多余的，用分離變量法便具有了可操作性.

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1. 已知函數(shù)f（x）=ex-■-ax-1，當(dāng)x≥■時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_____.

2. 已知函數(shù)f（x）=lnx-■x+■-1，g（x）=x2-2bx+4. 當(dāng)a=■時(shí)，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.