分類討論思想

分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來解決原問題的策略.實(shí)質(zhì)上，分類討論思想是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略，對(duì)發(fā)展人的邏輯思維有著重要的幫助.在分類討論時(shí)，需要遵循如下的原則：分類的對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；不重復(fù)，不遺漏；分層次，不越級(jí)討論.下面就讓我們通過分析引起分類討論的原因，結(jié)合例題，一起來領(lǐng)略一下分類討論思想的風(fēng)采！

■ 由概念引起的分類討論

某些概念、性質(zhì)、定理的分類定義會(huì)引發(fā)分類討論.常見的有：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底，二次函數(shù)的定義，直線斜率和截距的定義，兩圓相切的定義，不等式的定義，直線與平面所成的角等.

■ 函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大■，則a的值是________.

思路點(diǎn)撥 欲求指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值，需要先確定底數(shù)a與1的大小，所以需要分a>1和0

破解 當(dāng)a>1時(shí)，y=ax在[1，2]上遞增，故a2-a=■，得a=■；

當(dāng)0

故a=■或a=■.

■ 已知圓O1：x2+y2=m（m>0）和圓O2：x2+y2+6x-8y+21=0相切，則實(shí)數(shù)m的值為_______.

思路點(diǎn)撥 已知兩圓相切的位置關(guān)系，需要分外切和內(nèi)切兩種情況討論.

破解 圓O1：x2+y2=m的圓心為O1（0，0），半徑為r1=■；

圓O2：x2+y2+6x-8y+21=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）2+（y-4）2=4，故其圓心為O2（-3，4），半徑為r2=2.

故兩圓的圓心距為O1O2=5.

進(jìn)行分類討論：①若兩圓相外切，則O1O2=5=r1+r2=2+■，解得m=9；②若兩圓內(nèi)切，則O1O2=5=r1-r2=■-2，解得m=49.

綜上可得，實(shí)數(shù)m的值為9或49.

■

1. 已知直線l經(jīng)過P（2，3），且在x，y軸上的截距相等，則直線l的方程為________.

2. 設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=a-■■是R上的減函數(shù)；命題q：函數(shù)f（x）=x2-4x+3在[0，a]的值域?yàn)閇-1，3]. 若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求a的取值范圍.

■ 由運(yùn)算要求引起的分類討論

？搖？搖在一些數(shù)學(xué)運(yùn)算（如開偶次方運(yùn)算，不等式的變形，取對(duì)數(shù)運(yùn)算，去絕對(duì)值運(yùn)算，分段函數(shù)或數(shù)列求值等）中，根據(jù)運(yùn)算要求會(huì)引發(fā)分類討論.

■ 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S11，并求Sn的表達(dá)式.

思路點(diǎn)撥 由“分段”數(shù)列的通項(xiàng)公式可看出所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，但注意公差和公比均為4，而并非是2；然后利用分組求和法求和，注意弄清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，避免出錯(cuò).

破解 因?yàn)閍n=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，所以S11=3+22+7+24…+（2×9+1）+210+（2×11+1）=（3+7+…+23）+（22+24+…+210）=■+■=78+1364=1442.

由上面的求解可知，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=（3+7+…+2n-1）+（22+24+…+2n）=■+■=■+■；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=（3+7+…+2n+1）+（22+24+…+2■）=■+■=■+■. 綜上可得：Sn=■+■，n為奇數(shù)，■+■，n為偶數(shù).

■

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32n-n2，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Pn.

■ 由公式的限制引起的分類討論

許多數(shù)學(xué)公式都有一定的限制條件，使得在運(yùn)用這些公式解題時(shí)需要進(jìn)行分類討論. 常見的有：等比數(shù)列的求和公式中q=1和q≠1的區(qū)別，設(shè)直線方程時(shí)各種直線方程的使用條件，均值不等式的條件，等等.

■ 經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），且到點(diǎn)B（-1，1）的距離為3的直線的方程為_________.

思路點(diǎn)撥 有些同學(xué)可能會(huì)直接設(shè)所求直線方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0.

由題設(shè)，點(diǎn)B（-1，1）到此直線的距離為3，即■=3，解得k=■，于是所求直線的方程為y+1=■（x-2），即5x-12y-22=0. 事實(shí)上，直線的點(diǎn)斜式方程只適用于斜率存在的直線，對(duì)斜率不存在的情形應(yīng)單獨(dú)討論.

破解 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，則由題設(shè)，點(diǎn)B（-1，1）到此直線的距離為3，即■=3，解得k=■，于是所求直線的方程為y+1=■（x-2），即5x-12y-22=0.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，也適合題意. 故本題所求直線方程為x=2或5x-12y-22=0.

■ 求數(shù)列{（2n-1）an}的前n項(xiàng)和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

思路點(diǎn)撥 本題屬于數(shù)列求和問題，表面上看符合錯(cuò)位相減法，但是前提條件是a≠0. 因此，首先需要分a=0和a≠0進(jìn)行討論. 而當(dāng)a≠0時(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和，又需要分a=1和a≠1進(jìn)行討論. 因此，總體上可分a=0，a=1，a≠0且a≠1三種情況討論.

破解 若a=0，則Sn=0.

若a=1，則Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2.

若a≠0且a≠1時(shí)，Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an ①；

兩邊同時(shí)乘以a，得：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）a■ ②.

將①式減去②式可得：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-（2n-1）a■=■-（2n-1）a■-a. 所以Sn=■-■.

綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，Sn=0；當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n2；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn=■-■. 即Sn=n2，a=1，■-■，a≠1.

■

1. 給出定點(diǎn)A（a，0）（a>0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C. 求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.

2. 在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an=■（n≥2），求通項(xiàng)公式an.

■ 由圖形的不確定性引起的分類討論

當(dāng)圖形的位置或形狀不確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，例如某些函數(shù)在不同的區(qū)間上有不同的圖象特征，某些立體幾何不同的展開方式，圓錐曲線的類型或焦點(diǎn)位置不確定，點(diǎn)、線、面的位置不確定等. 解決此類問題時(shí)，一定要分析所有可能的位置關(guān)系，避免漏解.

■ 離心率為■，且過點(diǎn)A（2，0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.

思路點(diǎn)撥 根據(jù)題意，無法確定橢圓焦點(diǎn)所在的位置，所以應(yīng)該對(duì)橢圓焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論.

破解 若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1（a>b>0），則a=2，再由e=■得c=■，所以b=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+y2=1.

若橢圓焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1（a>b>0），則b=2，再由e=■=■得a=2b=4，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1.

故所求橢圓的方程為■+y2=1或■+■=1.

■ 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是________.

思路點(diǎn)撥 欲求圓柱的體積關(guān)鍵是確定圓柱的底面邊長和高，由題意需要確定4和2哪個(gè)是底面的周長、哪個(gè)是高，故需要分類討論.

破解 若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則V柱=π■■·2=■；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則V■=π■■·4=■. 故圓柱的體積是■或■.

■

1. 已知線段AB在平面α外，A，B兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面α的距離為_______.

2. 求圓錐曲線■+■=1的焦距，其中m≠0，m≠1.

■ 由參數(shù)的變化引起的分類討論

含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或?qū)Σ煌膮?shù)值需要不同的求解或證明的方法. 此類問題主要包含：①含參數(shù)的不等式的求解；②含參數(shù)的方程根的求解；③對(duì)于解析式中含有參數(shù)的函數(shù)，求最值和單調(diào)性問題；④一元二次方程表示的曲線問題等.

■ 解不等式■>0a為常數(shù)，a≠-■.

思路點(diǎn)撥 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a+1的符號(hào)和兩根-4a，6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0，a=0，-■

破解 當(dāng)2a+1>0時(shí)，a>-■；當(dāng)-4a<6a時(shí)，a>0. 所以分以下四種情況討論：

當(dāng)a>0時(shí)，（x+4a）（x-6a）>0，解得：x<-4a或x>6a；

當(dāng)a=0時(shí)，x2>0，解得：x≠0；

當(dāng)-■0，解得：x<6a或x>-4a；

當(dāng)a<-■時(shí)，（x+4a）（x-6a）<0，解得：6a

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<-4a或x>6a；當(dāng)a=0時(shí)，x≠0；當(dāng)-■-4a；當(dāng)a<-■時(shí)，6a

■ 已知函數(shù)f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.

（1）當(dāng)a=■時(shí)，求f（x）的極值；

（2）若f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路點(diǎn)撥 第（1）小題，直接利用f ′（x）=0求出極值點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性求出極值即可.

第（2）小題，已知f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f ′（x）≥0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，化為含參數(shù)不等式恒成立問題去處理.

破解 （1）f ′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），當(dāng)a=■時(shí)，f ′（x）=2（x+2）（x-1）2，所以f（x）在（-∞，-2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極小值，所以f（x）的極小值是f（-2）=-12.

（2）因?yàn)閒（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，所以f ′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上恒成立，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立.

①當(dāng)a=0時(shí)，不等式3ax2+3ax-1≤0，即-1≤0，顯然成立；

②當(dāng)a>0時(shí)，要使不等式3ax2+3ax-1≤0恒成立，則需3a·12+3a·1-1≤0，解得0

③當(dāng)a<0時(shí)，要使不等式3ax2+3ax-1≤0恒成立，則需-■a-1≤0恒成立，解得-■≤a<0.

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-■，■.

■

1. 解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.

2. 已知函數(shù)f（x）=ax3-■x2+1（x∈R），其中a>0.

（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（2）若在區(qū)間-■，■上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

■ 由實(shí)際應(yīng)用問題引發(fā)的分類討論

很多實(shí)際應(yīng)用問題需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分類討論，如排列組合問題、概率統(tǒng)計(jì)問題、實(shí)際應(yīng)用題等.

■ 若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ）

A. 60種 B. 63種

C. 65種 D. 66種

思路點(diǎn)撥 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確. 本題可以根據(jù)取出的4個(gè)數(shù)中偶數(shù)和奇數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論.

破解 從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的取法分為三類；第一類是取四個(gè)偶數(shù)，即C■■=5種方法；第二類是取兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)，即C■■C■■=60種方法；第三類是取四個(gè)奇數(shù)，即C■■=1種方法. 故有5+60+1=66種方法，選D.

■

1. 有4個(gè)標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的紅球和4個(gè)標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的白球，從這8個(gè)球中任取4個(gè)球排成一排. 若取出的4個(gè)球的數(shù)字之和為10，則不同的排法種數(shù)是________.

2. 2010年云南遭受歷史罕見的旱災(zāi)后，本省各市紛紛采用價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的. 某城市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+排污費(fèi)，若每月水量不超過最低限量a m3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每月定額排污費(fèi)c元；若用水量超過a m3時(shí)，除了付給同上的基本費(fèi)和排污費(fèi)外，超過部分每立方米付b元的超額費(fèi). 已知每戶每月的排污費(fèi)不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：

■

根據(jù)以上規(guī)定，解決如下問題：

（1）求每戶每月水費(fèi)y（元）與月用水量x m3的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試分析該家庭一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求a，b，c的值.

■ 參考答案

1 由概念引起的分類討論

1. 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為■+■=1，又過P（2，3），所以■+■=1，求得a=5，所以直線方程為x+y-5=0. 當(dāng)截距為0時(shí)，即直線過（0，0）時(shí)，此時(shí)斜率為k=■=■，所以直線方程為y=■x. 綜上可得，所求直線方程為x+y-5=0或y=■x.

2. 若p為真，則04，解得■

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是■

2 由運(yùn)算要求引起的分類討論

an=Sn-Sn-1=33-2n（n≥2），又a1=S1=31，所以an=33-2n（n≥1）.

當(dāng)n≤16時(shí)，an>0，當(dāng)n≥17時(shí)，an<0. 所以當(dāng)n≤16時(shí)，Pn=a1+a2+…+an=Sn=32n-n2；

而當(dāng)n≥17時(shí)，Pn=（a1+a2+…+a16）-（a17+a18+…+an）=S16-（Sn-S16）=2S16-Sn=2（32×16-162）-（32n-n2）=512-32n+n2.

綜上，Pn=32n-n2，1≤n≤16，512-32n+n2，n≥17.

3 由公式的限制引起的分類討論

1. 依題意，記B（-1，b）（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx. 設(shè)點(diǎn)C（x，y），則有0≤xHxPd5qDaiHLypkerH///2oJ27j8fgVRjuOqnI4AEVHw=得y=■ ①.

依題設(shè)點(diǎn)C在直線AB上，故有y= -■（x-a）. 由x-a≠0，得b=-■ ②.

將②式代入①式，得y2[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2]=0.

若y≠0，則（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0

若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式.

綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0

（i）當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x（0≤x<1） ③，此時(shí)方程③表示拋物線弧段.

（ii）當(dāng)a≠1，軌跡方程化為

■+■=1（0≤x

所以當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段.

2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=■，所以2SnSn-1=-Sn+Sn-1. 兩邊同除以SnSn-1，得■-■=2（n≥2）. 又a1=S1=1，則■=1. 所以數(shù)列■是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 故■=1+（n-1）·2=2n-1，Sn=■. an=Sn-Sn-1=■-■=-■. 又當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，顯然不適合上式. 所以綜上可得an的通項(xiàng)公式為an=1，n=1，-■，n≥2.

4 由圖形的不確定性引起的分類討論

1. 分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決. 答案為1或2.

2. 當(dāng)m<0時(shí)，方程表示雙曲線■-■=1，其中a2=m2，b2=-m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2■.

當(dāng)m>0時(shí)，該圓錐曲線表示橢圓，但有的同學(xué)直接就認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上了，這其實(shí)是錯(cuò)誤的. 因?yàn)閙2和m的大小還沒有確定，所以焦點(diǎn)到底在哪個(gè)軸也不能確定，因此我們還得比較m2和m的大小，才能下結(jié)論.

當(dāng)m>0且m≠1時(shí)，方程表示橢圓. 若m2m，即m∈（1，+∞）時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，此時(shí)a2=m2，b2=m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2■.

5 由參數(shù)的變化引起的分類討論

1. 當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為-x+1<0，所以x>1；當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式化為a（x-1）x-■<0. 若a<0，則原不等式化為（x-1）x-■>0，因?yàn)閍<0，所以■<1. 所以不等式的解為x<■或x>1. 若a>0，則原不等式化為（x-1）x-■<0，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解為■1，不等式的解為11？搖；當(dāng)a=0時(shí)，解集為{xx>1}；當(dāng)01時(shí)，解集為x■

2. （1）當(dāng)a=1時(shí)， f（x）=x3-■x2+1，所以f（2）=3且f ′（x）=3x2-3x，所以f ′（2）=6，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3= 6（x-2），即y=6x-9.

（2）f ′（x）=3ax2-3x=3axx-■，令f ′（x）=0，解得x=0或x=■. 以下分兩種情況討論：

①若0

■

當(dāng)x∈-■，■時(shí)， f（x）>0等價(jià)于 f-■>0， f■>0，解不等式組得得-5

②若a>2，則0<■<■，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

■

當(dāng)x∈-■，■時(shí)， f（x）>0等價(jià)于 f-■>0， f■>0，解不等式組得■

綜合①和②，可知a的取值范圍為0

6 由實(shí)際應(yīng)用問題引發(fā)的分類討論

1. 若取出的球的標(biāo)號(hào)為1，2，3， 4，則共有C12C12C12C12A44=384種不同的排法；若取出的球的標(biāo)號(hào)為1，1，4， 4，則共有A44=24種不同的排法；若取出的球的標(biāo)號(hào)為2，2，3，3，則共有A44=24種不同的排法. 由此可得取出的4個(gè)球數(shù)字之和為10的不同排法種數(shù)是384+24+24=432.

2. （1）根據(jù)題意可知水費(fèi)與用水量是一個(gè)分段函數(shù)的關(guān)系式，設(shè)每月用水量為x m3，支付費(fèi)用為y元，則y=8+c，0≤x≤a，8+b（x-a）+c，x>a.

（2）由題意知0a，將x=8，y=9代入y=8+2（x-a）+c中，得9=8+2（8-a）+c，得2a=c+15，顯然與前面的等式矛盾，所以一月份用水量不超過最低限量. 又因?yàn)閥=8+c，所以9=8+c，c=1. 所以a=10，b=2，c=1. ■