不等式證明，還看放縮法

眾所周知，放縮法是不等式證明的一種非常重要的方法，在高考題和各地模擬題的壓軸題中屢見不鮮. 所謂放縮法即是從不等式的一邊著手，用不等式的傳遞性等性質(zhì)，舍去（或添上）一些正項或者負(fù)項，擴(kuò)大或縮小分式的分子、分母，逐漸適當(dāng)?shù)赜行Х糯蠡蚩s小到所要求的目標(biāo). 它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點，有極大的遷移性，對它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性. 放縮法可以和很多知識結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求. 因為放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞. 下面采擷近幾年的高考題及高考模擬題進(jìn)行分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

例1 （2008年遼寧高考）在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列（n∈N？鄢）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測數(shù)列{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；

綜上，原不等式成立.

點評 在數(shù)列求和型不等式證明中，一般來說有先放縮再求和或先求和再放縮兩種形式. 若數(shù)列易于求和，則選擇先求和后再放縮；若數(shù)列不易求和，要考慮先放縮后再求和的證明方法. 本例題選擇先放縮再求和，切記放縮后要易于求和且放縮得當(dāng)，若從第1項開始放大，則會放得過大，導(dǎo)致證明失敗，故在證明過程中選擇從數(shù)列第2項開始放大，恰到好處.

應(yīng)用迭代法進(jìn)行放縮

（1）取x0=5，a=100，計算x1，x2，x3的值（精確到0.01），歸納出xn，xn+1的大小關(guān)系；

解析 （1）x1=4.74，x2=4.67，x3=4.65，猜想xn+1

（2）用作差法不難得出結(jié)論.

（3）由（2）得：

構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮

例3 （2006年湖南高考）已知函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{an}滿足：0

證明：（1）0

解析 （1）證明略.

首先要說明它的單調(diào)性：由（1）知，當(dāng)0

又g（x）在[0，1]上連續(xù)，且g（0）=0，所以當(dāng)0g（0）=0成立.

點評 本例恰當(dāng)構(gòu)造“差函數(shù)”，先判斷“差函數(shù)“的單調(diào)性，然后在證明g（x）>0的過程中，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮，是本題證明的關(guān)鍵所在.

應(yīng)用題設(shè)或題問中的不等關(guān)系式進(jìn)行放縮

例4 （2011年廣東五校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=ex-mx.

（1）當(dāng)m=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；

解析 （1）當(dāng)m=1時， f′（x）=ex-1，令f′（x）=0得x=0. 當(dāng)x∈（-∞，0）時， f′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時， f′（x）>0，故當(dāng)x=0時， f（x）的最小值是1.

尋找解決問題的突破口，從而達(dá)到解決問題的目的.

應(yīng)用二項式展開后再進(jìn)行放縮

（1）令bn=2nan，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

可猜想當(dāng)n≥3時，2n>2n+1. 證明如下：2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+…Cnn-1+Cnn≥C0n+C1n+Cnn-1+Cnn=2n+2>2n+1.