路在腳下，法由“線”定

應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分，也是難點(diǎn)所在. 列方程解應(yīng)用題一般步驟為：（1） 審題：理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的相等關(guān)系；（2） 設(shè)未知數(shù)：用字母表示題目中的未知數(shù)，并用這個(gè)字母和已知數(shù)一起組成表示各數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式；（3） 列方程；（4） 解方程；（5） 答：檢查所求的解是否使方程成立，是否使實(shí)際問題有意義，寫出答案.

列方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意靈活設(shè)未知數(shù). 一般情況用直接設(shè)元法設(shè)出未知數(shù)，但有時(shí)為了解題的方便，采取間接設(shè)元法；要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際情況，對于不符合題意的解，一定要寫明舍去的理由；還要注意答案的書寫要明確完整，不能過于簡單或省略不寫.

現(xiàn)在就常見的行程問題與大家一起探討.

1. 基本量是：路程、速度和時(shí)間.

2. 基本關(guān)系是：

①路程= 速度×?xí)r間；

②時(shí)間=■；

③速度=■.

3. 基本類型：相遇問題；相背問題；追及問題；行船（風(fēng)速）問題；環(huán)形跑道問題.

4. 解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，常常借助畫線段圖進(jìn)行分析，理解行程問題.

5. 行船（風(fēng)速）問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：

①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；

②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度-水流速度（風(fēng)速）.

下面就讓我們一起進(jìn)入行程問題的世界：

例1 A、B兩地相距1 260千米，慢車以50千米/小時(shí)的速度從A地出發(fā)，同時(shí)一列快車以70千米/小時(shí)的速度從B地出發(fā)相向而行，當(dāng)兩車相距60千米時(shí)，兩車行駛了（ ）.

A. 9.5小時(shí) B. 10小時(shí)

C. 11小時(shí) D. 10小時(shí)或11小時(shí)

【分析】題中兩車相距60 km，沒有說明是在兩車相遇前相距60 km，還是在兩車相遇后背向行駛時(shí)相距60 km，所以此題有兩種情況. 可以借助線段圖理清情況，并列出方程解答.

解：設(shè)當(dāng)兩車相距60 km時(shí)，兩車行駛的時(shí)間為x小時(shí)，1 260-60=50x+70x或1 260+60=50x+70x.

得到兩種情況的結(jié)果分別是10小時(shí)和11小時(shí)，答案選擇D.

例2 如圖所示， 兩人沿著邊長為90 m的正方形， 按A→B→C→D→A……的方向行走. 甲從A點(diǎn)以65 m/min的速度、乙從B點(diǎn)以74 m/min的速度行走， 當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)， 將在正方形的______邊上.

【分析】此題類似于環(huán)形跑道問題，也是一個(gè)追及問題. 要充分把握好兩者出發(fā)時(shí)的相距路程以及追及過程中路程與時(shí)間的關(guān)系. 雖說是環(huán)正方形的行程問題，但我們也可以在線段圖中體現(xiàn)出等量關(guān)系. 值得注意的是，本題不適合直接設(shè)元，應(yīng)間接設(shè)乙從出發(fā)到追上甲所用的時(shí)間為x min . 求出時(shí)間后再解決問題.

解：設(shè)當(dāng)乙從出發(fā)到追上甲所用時(shí)間為x min，74x-65x=270，x=30，30×74÷360=■，相當(dāng)于乙走了6圈多60 m，從解答可知當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，將在正方形的BC邊上.

例3 汽車以72千米/時(shí)的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員撳一下喇叭，4秒后聽到回響，這時(shí)汽車離山谷多遠(yuǎn)？已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒. 設(shè)聽到回響時(shí)，汽車離山谷x米，根據(jù)題意，列出方程為（ ）.

A. 2x+4×20=4×340

B. 2x-4×72=4×340

C. 2x+4×72=4×340

D. 2x-4×20=4×340

【分析】此題相當(dāng)于是一個(gè)相遇問題，撳喇叭后汽車還在向前行駛，而聲音的速度快，聲音到達(dá)山谷后又“回來”與汽車“相遇”. 可以從線段圖中這樣理解，在4 s的時(shí)間內(nèi)，聲音“所走的路程”與汽車行駛的路程總和等于汽車撳喇叭時(shí)離山谷的距離的二倍. 但這里也有要注意的地方：第一，問題中的x米是聽到回響時(shí)汽車離山谷的路程；第二，條件中兩個(gè)單位不統(tǒng)一，要化為一致后才能列方程.

72千米/時(shí)=20米/秒

解：設(shè)聽到回響時(shí)，汽車離山谷x米.

2x=4×340-4×20.

通過比較可以得到答案應(yīng)該選擇A.

例4 張老師騎摩托車的速度為每小時(shí)45千米，學(xué)生步行的速度是每小時(shí)5千米，學(xué)校與車站相距15千米. 如果2名學(xué)生要在55分鐘內(nèi)從學(xué)校到車站，請張老師用摩托車送，但摩托車后座只能坐一人，學(xué)生不能駕車，請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案（學(xué)生只能步行或乘摩托車，上下摩托車的時(shí)間不計(jì)），使2名學(xué)生能在55分鐘內(nèi)全部到達(dá)車站，并用方程的有關(guān)知識說明理由. （如果方案能使2名學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)全部到達(dá)車站，時(shí)間少于47分鐘可得7分，時(shí)間在47～55分鐘的可得5分. ）

你的方案是：_____________________

理由及解答：_____________________

【分析】完成這題時(shí)，可能有同學(xué)會覺得應(yīng)該把第一名同學(xué)送到車站后再去接第二名同學(xué)，但這樣做的時(shí)間是不符合要求的；也有同學(xué)會想到把第一名同學(xué)送到中途再去接第二名同學(xué)，但估計(jì)在計(jì)算時(shí)會遇到困難. 我們可以這樣考慮：一人先步行，一人乘車，然后乘車的人中途下車，車回來接步行的人，最后二人一同到達(dá)車站. 完成本題的關(guān)鍵在于，要使二人同時(shí)到達(dá)車站，則二人步行的距離相同，乘車的距離也相同.

可以設(shè)張老師將第一名學(xué)生送到距離學(xué)校x千米的地方返回，接另外一位步行的學(xué)生，張老師帶后來的學(xué)生與先送的學(xué)生同時(shí)到車站.

解：設(shè)張老師將第一名學(xué)生送到距離學(xué)校x千米的地方返回，接另外一位步行的學(xué)生，張老師帶后來的學(xué)生與先送的學(xué)生同時(shí)到車站. 張老師從開始到接到第二名同學(xué)的時(shí)間與第二名同學(xué)步行的時(shí)間是一樣的，這樣就可以列出方程了.

■=■，x=12.5.

所以兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)車站的時(shí)間為：■+■=■（小時(shí)），相當(dāng)于46分鐘40秒.

通過以上幾道例題的講解，我們能夠看出解行程問題的主要方法就是畫出線段圖，分析其中的等量關(guān)系，如果同學(xué)們在解應(yīng)用問題時(shí)都能找到合適的方法梳理出等量關(guān)系，應(yīng)用問題就會迎刃而解.