探究立方組合體與三視圖的關(guān)系

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 根據(jù)實物的形狀作出三視圖，由三視圖想象實物的形狀，進行幾何體與其三視圖之間的轉(zhuǎn)化是課程標(biāo)準(zhǔn)的要求. 在學(xué)習(xí)三視圖時，同學(xué)們應(yīng)通過動手操作和實驗，對這類問題進行探究.

探究方案：

方案一：用小立方體搭一個幾何體.根據(jù)所搭幾何體，作出它的三視圖，并在小組內(nèi)交流.

方案二：根據(jù)三視圖，用小立方體搭出幾何體，并確定小立方體的個數(shù).

方案三：根據(jù)兩個視圖想象幾何體的形狀，并確定小正方體的個數(shù)（最多、最少幾個）.

探究活動：

活動一：6塊相同的小正方體方塊搭成的幾何體如圖1所示，請作出它的三視圖.

這個問題主要是讓同學(xué)們從不同的方向觀察同一個幾何體，體會主視圖、左視圖、俯視圖的含義.

（1） 作主視圖時，大家應(yīng)站在小立方體組合體的正面看，看幾何體有幾列，則主視圖便有幾列，看到的小立方體組合體對應(yīng)列的層數(shù)就是主視圖中每列正方形的個數(shù).（2） 作左視圖時，大家應(yīng)站在小立方體組合體的左面看，畫法同作主視圖一樣.（3） 作俯視圖比較簡單，就是幾何體最底層所對應(yīng)的平面圖形. 這樣就畫出了這個幾何體的三視圖，如圖2.

活動小結(jié)：三視圖的畫法

先作主視圖，在主視圖正下方作出俯視圖，注意與主視圖“長對正”，在主視圖正右方作出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

活動二：（1） 由若干個小立方體搭成的幾何體的三視圖如圖3，你能搭出相應(yīng)的幾何體嗎？這個幾何體共有幾個小立方體？

依照三視圖構(gòu)建幾何體實物模型，對同學(xué)們的空間想象能力的要求比較高. 同學(xué)們可自己搭建幾何體來尋找答案，用手中的小立方體根據(jù)三視圖搭出相應(yīng)的幾何體.在三個視圖中，俯視圖最重要，它可以直接確定底層正方體的分布，再由主視圖、左視圖確定有幾層，每層有幾個，搭出相應(yīng)的幾何體，如圖4所示.最后得到答案，這個幾何體是由5塊小正方體搭成的.

活動小結(jié)：這類問題也可以按下列步驟進行操作：

1. 如圖5，在俯視圖的下方、左方分別標(biāo)上主視圖、左視圖所看到的小正方體的最高層數(shù).

2. 若方格所對應(yīng)的橫豎方向上的數(shù)字相同，那么取相同的數(shù)字填入方格，如在橫豎方向?qū)?yīng)的數(shù)都是2，則填入2；若方格所對應(yīng)的橫豎方向上的數(shù)字不一樣，那么取較小的數(shù)字填入方格，如在橫豎方向?qū)?yīng)的分別是2、1，則填入1.

通過上面的兩步，我們就能確定每一個方格中的數(shù)字（方格中的數(shù)字代表所在位置的正方體的個數(shù)，從而確定這個幾何體所需要的小正方體的塊數(shù)）.

活動三：由兩個視圖確定小正方體的塊數(shù).

根據(jù)兩個視圖想象實物形狀時不像由實物到三視圖那樣能唯一確定，但可以確定搭成這樣的幾何體最多需要多少塊，最少需要多少塊.

（1） 由主視圖、俯視圖確定小正方體的塊數(shù).

如圖6所示，是由一些正方體搭成的幾何體的主視圖、俯視圖.它最多需要多少塊？最少需要多少塊？

同學(xué)們在操作時可先用立方體擺出俯視圖，因為俯視圖可以確定底層哪些位置一定有立方體，然后根據(jù)俯視圖和主視圖的列相等，在俯視圖與主視圖對應(yīng)的列上，每一個方格都搭上與主視圖等高的立方體，這時最多需要12個立方體，如圖7. 在每一列上留一個方格搭上與主視圖等高的立方體，其余的位置都搭1個，這時最少需要8個立方體，如圖8.

（2） 由左視圖、俯視圖確定小正方體的塊數(shù).

如圖9所示是由一些正方體搭成的幾何體的左視圖、俯視圖，它最多需要多少塊？最少需要多少塊？

同學(xué)們在操作時先用立方體擺出俯視圖，因為俯視圖可以確定底層一定要有的立方體，然后根據(jù)俯視圖和左視圖的行相等，在俯視圖與左視圖對應(yīng)的行上，每一個方格都搭上與左視圖等高的立方體，這時最多需要9個立方體，如圖10. 在每一行上留一個方格搭上與左視圖等高的立方體，其余的位置都搭1個，這時最少需要6個立方體，如圖11.

（3） 由主視圖、左視圖確定小正方體的塊數(shù).

如圖12所示的是由一些正方體搭成的幾何體的主視圖、左視圖，它最多需要多少塊？最少需要多少塊？

由這兩個視圖來確定小正方體的塊數(shù)是最難的. 同學(xué)們可通過小組合作交流得到啟發(fā)，同時要大膽動手操作. 根據(jù)俯視圖的行數(shù)同左視圖的列數(shù)一樣，其列數(shù)與主視圖的列數(shù)一樣，可以確定俯視圖是2行3列，再根據(jù)主視圖和左視圖對應(yīng)的最高層，搭出幾何體，這時最多需要7個立方體，如圖13.在不改變主視圖和左視圖的情況下去掉一部分立方體，如圖14，最少需要5個立方體.

活動小結(jié)：

這樣的問題對同學(xué)們空間想象能力的要求比較高，具有很大的挑戰(zhàn)性. 大家可通過合作交流的方式，進行分工協(xié)作、動手操作，努力搭出符合條件的幾何體.解決這類問題如果沒有掌握正確的方法，僅僅依靠空間想象去解決，不僅難度很大，還很容易出錯. 通過三視圖確定幾何體的小正方體的個數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個幾何體共有幾行、幾列，每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，再按照上面介紹的方法，計算小正方體個數(shù)的問題就迎刃而解了.