縱向挖掘 橫向延伸

我們?cè)谛W(xué)階段已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐，并且會(huì)求它們的表面積與體積. 這些幾何體還蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，《豐富的圖形世界》一章中我們將主要學(xué)習(xí)生活中常見(jiàn)的幾何體的形狀、展開與折疊、截面圖及三視圖等知識(shí). 本章內(nèi)容在中考中占有一定的比重，同學(xué)們應(yīng)予以重視.

一、 幾何體的分類

例1 如圖1，將下列幾何體分類，并說(shuō)出分類的依據(jù).

【分析】分類時(shí)要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重不漏. 分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，結(jié)果也不同.

解：按柱、錐、球劃分. 柱體：（1）、（3）、（4）、（5）、（7） ；錐體：（2）；球體：（6）.

按組成面是曲面或平面劃分. 全由曲面組成：（6）；全由平面組成：（3）、（4）、（5）、（7）；既有曲面又有平面：（1）、（2）.

按有無(wú)頂點(diǎn)劃分. 有頂點(diǎn)：（2）、（3）、（4）、（5）、（7）；無(wú)頂點(diǎn)：（1）、（6）.

【點(diǎn)撥】此題意在發(fā)散思維，培養(yǎng)大家靈活多變、一題多解的能力. 此題還采用了分類的數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們要掌握每一類幾何體的特征，找出共性，選取不同的分類標(biāo)準(zhǔn)將得到不同的組合，注意同一問(wèn)題中分類標(biāo)準(zhǔn)要一致.

二、 平面與幾何體的截面

例2 用一個(gè)平面去切正方體，會(huì)得到哪些截面圖形？

【分析】在初次解這類題時(shí)，可用橡皮泥制作一個(gè)正方體，用小刀動(dòng)手切切看，再作答.

解：能截出四種截面圖形：三角形、四邊形、五邊形、六邊形. 具體圖形見(jiàn)圖2.

【點(diǎn)撥】“化空為實(shí)”，把復(fù)雜空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為眼手能及的實(shí)驗(yàn)操作. 注意考慮問(wèn)題要全面，不要遺漏. 明確用平面去截幾何體，所得的截面是這個(gè)平面與幾何體每個(gè)面相交的線所圍成的圖形. 按邊的順序逐個(gè)截出多邊形. 因?yàn)檎襟w只有六個(gè)面，所以得到的截面最多只有六條邊，即最多為六邊形.

三、 幾何體的展開與折疊

例3 如圖3，是一些幾何體的平面展開圖，試說(shuō)出這些幾何體的名稱.

【分析】根據(jù)幾何體展開圖的形狀，聯(lián)想圍成的立體圖形，通過(guò)綜合比較，想象出立體圖形. 也可用折疊的方法將展開圖還原，再判斷其名稱.

解：（1） 圓柱 （2） 六棱柱 （3） 四棱錐 （4） 圓錐 （5） 三棱柱 （6） 五棱錐

【點(diǎn)撥】動(dòng)手操作是解決此類問(wèn)題的最佳手段，通過(guò)實(shí)際操作，逐步培養(yǎng)空間想象能力. 正確判斷一個(gè)幾何體的表面展開圖，除了要掌握常見(jiàn)幾何體的特征，還要多觀察、多動(dòng)手、多動(dòng)腦.

四、 利用展開圖解決實(shí)際問(wèn)題

例4 如圖4（1），一只螞蟻從圓柱上的點(diǎn)A繞圓柱一周，爬到點(diǎn)B，你能畫出它爬行的最短路線嗎？

【分析】在平面上，兩點(diǎn)之間線段最短，如何畫出圓柱上表示點(diǎn)A繞圓柱一周到點(diǎn)B的最短路線呢？只需將點(diǎn)A、點(diǎn)B轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)即可解決問(wèn)題了. 將立體圖形展開成平面圖形，連接AB′. 如圖4（2）.

解：沿圓柱上的線段AB剪開得到一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)B與點(diǎn)B′是圓柱上的同一點(diǎn)，連接AB′. 線段AB′為螞蟻爬行的最短路線.

【點(diǎn)撥】在研究立體圖形表面上兩點(diǎn)之間的最短路線（距離）問(wèn)題時(shí)，往往是先把立體圖形展開成平面圖形，再根據(jù)“平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)解決. 在平面圖形上問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單，解決此類題的關(guān)鍵是明確有關(guān)圖形展開前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

五、 判斷幾何體的相對(duì)面

例5 圖5是一個(gè)幾何體的展開圖，每個(gè)面內(nèi)都標(biāo)注了字母，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1） 如果面A在幾何體的底部，那么哪一個(gè)面在頂部？

（2） 如果面F在前面，從左面看是面B，那么哪一個(gè)面會(huì)在頂部？

（3） 從右面看是面C，面D在后面，那么哪一個(gè)面會(huì)在頂部？

【分析】這是一個(gè)長(zhǎng)方體展開圖，共6個(gè)面，根據(jù)所處的面可知，面A和面F相對(duì)，面C和面E相對(duì)，面B和面D相對(duì). 在（1）中，面A在底部，面F在頂部；在（2）中，面F在前面，面B在左面，那么面A在后面，面D在右面，面E在底部，面C在頂部；在（3）中，面C在右面，面E在左面，面D在后面，面B在前面，面F在底部，面A在頂部.

解：（1） 面F （2） 面C （3） 面A

【點(diǎn)撥】此題考查了同學(xué)們對(duì)立體圖形與它的平面展開圖之間的關(guān)系的掌握程度. 解答時(shí)，注意尋找各面之間的內(nèi)在聯(lián)系，并加以想象、推理后得出結(jié)論.

六、 根據(jù)俯視圖中正方體的數(shù)字確定另外兩個(gè)視圖

例6 如圖6，是由幾塊完全相同的小正方體搭成的立體圖形的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置的小正方體的個(gè)數(shù). 請(qǐng)你畫出它的主視圖和左視圖.

【分析】方法一：實(shí)際操作，先按條件擺出幾何體，畫出它的主視圖和左視圖.

方法二：俯視圖中分左中右三列，從左到右每列中最大的數(shù)分別為2、1、4，因此對(duì)應(yīng)的主視圖共有三列，第一列畫2個(gè)正方形，第二列畫1個(gè)正方形，第三列畫4個(gè)正方形. 俯視圖中分上中下三行，從上到下每行中最大的數(shù)分別為1、2、4，因此對(duì)應(yīng)的左視圖共有三列，第一列畫1個(gè)正方形，第二列畫2個(gè)正方形，第三列畫4個(gè)正方形.

解：如圖7.

【點(diǎn)撥】由俯視圖確定主視圖、左視圖的列數(shù)及每列方塊的個(gè)數(shù)，細(xì)心觀察可得如下規(guī)律：

①主視圖和俯視圖的列數(shù)相同，且每列的方塊數(shù)是俯視圖中該列的最大數(shù)字. ②左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列的方塊數(shù)是俯視圖中該行的最大數(shù)字.