錯(cuò)題引領(lǐng)成功之路

《走進(jìn)圖形世界》是同學(xué)們?cè)诔踔须A段學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)的第一個(gè)章節(jié)，是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)單基礎(chǔ)圖形知識(shí)的延伸. 本章的內(nèi)容主要包括生活中常見(jiàn)的幾何體的形狀、展開(kāi)與折疊、截面圖及三視圖. 本章內(nèi)容在中考中占有一定的比重. 請(qǐng)看同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

一、 多面體表面展開(kāi)圖問(wèn)題

例1 如圖1（1）～（4），是一些立體圖形的平面展開(kāi)圖，請(qǐng)說(shuō)出它們的名稱.

錯(cuò)解：圖1（1）是三棱錐；圖1（2）是四棱柱；圖1（3）是五棱柱；圖1（4）是六棱錐.

【點(diǎn)評(píng)】圓柱、圓錐、棱柱和棱錐的平面展開(kāi)圖形狀必須記清楚. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)長(zhǎng)方形，所以平面展開(kāi)圖是1個(gè)長(zhǎng)方形+2個(gè)圓. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)扇形，所以平面展開(kāi)圖是1個(gè)扇形+1個(gè)圓. 棱柱的側(cè)面都是長(zhǎng)方形，棱錐的側(cè)面都是三角形. 下面我們通過(guò)表格來(lái)分析一下棱柱和棱錐的平面展開(kāi)圖.

通過(guò)上面的表格我們不難看出：

圖1（1）由3個(gè)長(zhǎng)方形、2個(gè)三角形組成；圖1（2）由4個(gè)三角形、1個(gè)四邊形組成；圖1（3）由5個(gè)三角形、1個(gè)五邊形組成；圖1（4）由6CdKrIOuyfFq9gca1L6I9zIXaz01FevOOntCG0+mcnVU=個(gè)長(zhǎng)方形、2個(gè)六邊形組成. 正確答案：圖1（1）三棱柱；圖1（2）四棱錐；圖1（3）五棱錐；圖1（4）六棱柱.

二、 利用展開(kāi)圖解決實(shí)際問(wèn)題

例2 如圖2（1）所示，長(zhǎng)方體（ABB′A′為正方形）頂點(diǎn)A處有一只蜘蛛，長(zhǎng)方體頂點(diǎn)C′處有一只蚊子，請(qǐng)你幫蜘蛛想個(gè)辦法，找出一條讓它沿著長(zhǎng)方體表面爬行捉住蚊子的最短路徑.

【錯(cuò)解】連接AC′，則線段AC′就是所求路徑.

【點(diǎn)評(píng)】這道題是求最短距離問(wèn)題，在立體圖形表面上研究?jī)牲c(diǎn)之間的最短距離時(shí)，我們通常把立體圖形展開(kāi)成為平面圖形，這樣可將立體圖形上兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離，在平面圖形上問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單. 例如我們可以將點(diǎn)A和點(diǎn)C′所在面展開(kāi)，再畫(huà)連接A、C′兩點(diǎn)的線段.

【答案】如圖2（2）中AC′是一條最短路徑.

三、 四棱柱對(duì)面問(wèn)題

例3 有一個(gè)正方體，在它的各個(gè)面上分別標(biāo)有字母a，b，c，d，e，f，如圖3（1）、圖3 （2）、圖3 （3），用三種不同的方法擺放這個(gè)正方體，看到了不同的結(jié)果，你能說(shuō)出b的對(duì)面是什么字母嗎？

【錯(cuò)解】b的對(duì)面是f.

【點(diǎn)評(píng)】這道題從三種不同的擺放情況不能直接找到b的對(duì)面. 我們可以先把a(bǔ)，d的對(duì)面字母找到，然后用“排除法”確定b的對(duì)面字母. 由圖3（1）、圖3（3）可知與面a相鄰的面是b，d，c，f，通過(guò)排除法可知a的對(duì)面是e. 由圖3（1）、圖3（2）可知與面d相鄰的面是a，b，c，e，通過(guò)排除法可知d的對(duì)面是f. 所以面a與面e相對(duì)，面d與面f相對(duì)，那么面b只能與面c相對(duì).

【答案】面b的對(duì)面是c.

四、 小立方體最多最少問(wèn)題

例4 用小立方體搭成一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖4所示，試指出搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體？最少需要多少塊小立方體？

【錯(cuò)解】搭建這樣的幾何體最多有8塊小立方體，最少有6塊小立方體.

【錯(cuò)因】對(duì)主視圖、俯視圖的概念模糊.

【點(diǎn)評(píng)】主視圖反映幾何體的上下層數(shù)和搭建的列數(shù)，俯視圖反映幾何體的前后行數(shù)和列數(shù). 本題可以根據(jù)主視圖，在俯視圖的每個(gè)小正方形上標(biāo)出它所在處可以擺放的小立方體的數(shù)目，再把這些數(shù)字按照要求相加，從而得到搭成幾何體需要的小立方體的個(gè)數(shù). 通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，主視圖從左到右第1列有3層，所以我們?cè)诟┮晥D的第1列的2行都標(biāo)上3，這是俯視圖的第1列小立方體最多的情況. 同樣的方法標(biāo)出第2列和第3列小立方體最多的情況，如圖5（1）所示，然后把數(shù)字相加就得到搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體. 在解答最少有多少塊小立方體組成時(shí)，俯視圖的第1列的2行有1行標(biāo)3，其他行標(biāo)1，這就是第1列小立方體最少的情況. 同樣的方法標(biāo)出第2列和第3列小立方體最少的情況，如圖5（2）、圖5（3）、圖5（4）所示. 這時(shí)可能出現(xiàn)的幾何體不止一種，在解題時(shí)要注意到這一點(diǎn).

【答案】搭建這樣的幾何體最多需要11塊小立方體，最少需要8塊小立方體.

五、 利用三視圖求表面積問(wèn)題

例5 有14個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的小正方體擺成如圖6（1）所示的幾何體，現(xiàn)在想把這個(gè)幾何體的表面全部涂上紅色，問(wèn)涂上紅色的總面積為多少.

【錯(cuò)解】33 cm2.

【錯(cuò)因】有的同學(xué)把最下層小正方體底面9個(gè)面的面積漏掉導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

【點(diǎn)評(píng)】把這個(gè)幾何體的表面都涂上紅色，也就是說(shuō)從前、后、左、右、上、下看這個(gè)幾何體都要是紅色. 從前和后、左和右、上和下看這個(gè)幾何體的圖形分別相同，而從前、左、上看這個(gè)幾何體剛好就是這個(gè)幾何體的三視圖. 所以此題可以轉(zhuǎn)化成求三視圖的面積問(wèn)題. 三視圖如圖6（2）所示，所以總面積即為三視圖的面積和乘2.

【答案】42 cm2.