圖形類難點(diǎn)問(wèn)題例析

例1 如圖1，是由幾個(gè)小正方體所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置上小正方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫出相應(yīng)幾何體的主視圖和左視圖.

【解析】主視圖的畫法：“看列，選最高層”. 第①列最高層是1層，就豎著畫1個(gè)正方形；第②列最高層是2層，就豎著畫2個(gè)正方形；第③列最高層是1層，就豎著畫1個(gè)正方形（如圖2）. 左視圖的畫法：“看行，選最高層”. 第（1）行最高層是2層，就豎著畫2個(gè)正方形；第（2）行最高層是2層，就豎著畫2個(gè)正方形（如圖3）.

變式 圖4是由棱長(zhǎng)為1的正方體搭成的積木的三視圖，則積木中棱長(zhǎng)為1的正方體的個(gè)數(shù)是多少？

【解析】此種類型的問(wèn)題，可以由主視圖和左視圖的形狀入手，在俯視圖的各個(gè)位置標(biāo)出小正方體的個(gè)數(shù). 主視圖的第1列只有1個(gè)正方形，則在俯視圖的第1列兩個(gè)位置都只有1個(gè)正方體，即a=1，d=1；主視圖的第2列只有一個(gè)正方形，則在俯視圖的第2列的一個(gè)位置只有1個(gè)正方體，即b=1；主視圖的第3列有2個(gè)正方形，則在俯視圖的第3列兩個(gè)位置至少有一個(gè)位置有2個(gè)正方體；由左視圖的第1列有2個(gè)正方形，則d和e至少有1個(gè)為2，而d=1，所以e=2；左視圖的第2列有1個(gè)正方形，所以a、b、c應(yīng)該都為1. 所以此積木中，每個(gè)位置的小正方體的個(gè)數(shù)為1+1+1+1+2=6，即小正方體的個(gè)數(shù)為6.

例2 小林根據(jù)如圖5所示的平面展開圖做了一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子，他想給盒子加上一個(gè)蓋子，所以要在原來(lái)的展開圖上加一個(gè)正方形，請(qǐng)你幫小林在圖中畫上一個(gè)正方形，并想一想，這個(gè)正方形有幾種可能的位置？

【解析】根據(jù)正方體的展開圖，當(dāng)四個(gè)正方形連在一起時(shí)，需要上下兩側(cè)各有一個(gè)正方形，所以可以在圖中上方的四個(gè)位置添加一個(gè)正方形，即有四種位置（如圖6）.

例3 如圖7，有一腰長(zhǎng)為5 cm、底邊長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形紙片，沿著底邊上的中線將紙片剪開，得到兩個(gè)全等的直角三角形紙片，用這兩個(gè)全等的直角三角形紙片拼成的平面圖形中有幾個(gè)不同的四邊形？

【解析】將剪開的兩個(gè)全等的直角三角形相等的兩邊拼接在一起，可以得到如圖8的四個(gè)四邊形. 其中，兩條斜邊拼接在一起的有兩個(gè)圖形，最后一個(gè)圖形容易被同學(xué)們忽略.

變式 把圖9中的直角三角形和直角梯形相等的邊拼合在一起，可以拼成幾個(gè)不同的平面圖形？

【解析】將邊長(zhǎng)為2的邊拼到一起可得到等腰梯形、平行四邊形、有一個(gè)角是直角的四邊形、有一個(gè)角是直角的五邊形（如圖10）；將邊長(zhǎng)為1的邊拼到一起可以得到一個(gè)三角形（如圖11）；將另外兩條相等的邊拼在一起可以得到正方形和有三個(gè)角是直角的五邊形（如圖12）.

例4 如圖13，一圓柱形的樹上A處有一只螳螂，它想偷襲停在它正下方B處的蜘蛛，為了防止被蜘蛛發(fā)現(xiàn)，螳螂必須快速繞樹一周才有可能偷襲成功，請(qǐng)你畫出螳螂偷襲的最短路線.

【解析】螳螂從A點(diǎn)到B點(diǎn)，爬行的路線一定要在圓柱的表面上. 我們知道，在平面上連結(jié)兩點(diǎn)的線段是最短的，那么就應(yīng)該讓A點(diǎn)和B點(diǎn)在同一平面內(nèi). 因此我們可以把圓柱展開，再畫連接A、B兩點(diǎn)的線段. 如圖14，把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，展成平面圖形——長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形的對(duì)角線AB即為所求的最短路線.

例5 如圖15是一個(gè)上下底密封的紙盒的三視圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算這個(gè)密封紙盒的側(cè)面積為_____cm2.

【解析】由三視圖計(jì)算立體圖形的面積或體積時(shí)，要善于將三視圖轉(zhuǎn)化為立體圖形. 根據(jù)本題的三視圖可知這是一個(gè)正六棱柱盒子，它的側(cè)面是由6個(gè)面積相同的長(zhǎng)方形組成，由三視圖可知盒子的高為12cm，紙盒的底面為正六邊形，它的對(duì)角線長(zhǎng)為10 cm，三條對(duì)角線把正六邊形分成了六個(gè)相同的等邊三角形（如圖16）. 所以，正六邊形的底面邊長(zhǎng)為5 cm，其側(cè)面積為6×5×12=360（cm2）.