深悟概念 巧妙解題

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的靈魂，也是同學(xué)們必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一. 在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和理解數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，是提高解題能力的關(guān)鍵. 下面就本章所涉及的概念給大家梳理一下.

一、 錐體

1. 棱錐

棱錐：如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐（如圖1）.

棱：在棱錐中相鄰兩個(gè)面的交線叫做棱. （如圖1中的棱PA，棱AB）

棱錐的側(cè)面： 棱錐中除底面以外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面. （如圖1中的面PAB）

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱. （如圖1中PA、PB等都是棱錐的側(cè)棱）

棱錐的頂點(diǎn)：棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn). （如圖1中P是各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)，所以P是棱錐的頂點(diǎn)）

注：棱錐的側(cè)面都是三角形，并且它們有公共的頂點(diǎn).

2. 圓錐

圓錐：以直角三角形（如Rt△PAO）的一條直角邊（PO）所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊（PA、OA）旋轉(zhuǎn)所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐（如圖2）. 該直角邊（PO）所在直線叫圓錐的軸. 圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，只有下底為圓，所以從正上方（俯視圖）看是一個(gè)有圓心的圓，從側(cè)面看（主視圖、左視圖）都是等腰三角形.

圓錐的面：它的側(cè)面是曲面，底面是平面.

二、 柱體

1. 棱柱

棱柱的側(cè)面：它的側(cè)面是平面且都是平行四邊形，而直棱柱的側(cè)面都是長(zhǎng)方形（如圖3）.

棱柱的底面：它的上、下底面是全等的多邊形.

棱柱的頂點(diǎn)：棱柱的棱與棱之間的交點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).（如圖3中點(diǎn)A，點(diǎn)B）

例1 正方體有_____條棱，_____個(gè)面，_____個(gè)頂點(diǎn)，這些面的形狀都是_____.

【分析】根據(jù)已學(xué)過(guò)的正方體的概念即可得到正確答案.

解：根據(jù)正方體的特征知，它有12條棱、6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)，這些面的形狀都是正方形.

【點(diǎn)撥】本題考查正方體的知識(shí)，較為簡(jiǎn)單. 正方體是實(shí)際生活中很常見(jiàn)的幾何體，要注意掌握它的特性.

2. 圓柱

圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱（如圖4）.

圓柱的面：側(cè)面是一個(gè)曲面，展開(kāi)是一個(gè)矩形，上、下底面是平行且全等的圓. 所以從正上方看（俯視圖）是一個(gè)圓，從側(cè)面看（主視圖、左視圖）都是矩形.

三、 球體

半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面. 球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球. 球體是一個(gè)連續(xù)曲面的立體圖形.

例2 如圖5，將下列幾何體分類，錐體有_____，柱體有_____，球體有_____，由平面圍成的幾何體有_____，帶有曲面的幾何體有_____（填序號(hào)）.

【分析】幾何體可以按以下情況進(jìn)行分類. ①按柱、錐、球進(jìn)行分類；②按圍成這些幾何體的面有無(wú)曲面進(jìn)行分類. 最后根據(jù)圖示即可進(jìn)行解答.

解：柱體一般分為圓柱和棱柱，所以圖示所給的柱體有：（1）、（2）、（3）；錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有（5）；球體有（4）. 若是依據(jù)幾何體面的組成分類，都是平面圍成的幾何體有：（1）、（3）；帶有曲面的幾何體有：（2）、（4）、（5）.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何體的不同分類，幾何體一般分為柱體、錐體和球，或根據(jù)組成幾何體的面進(jìn)行分類.

四、 三視圖的有關(guān)內(nèi)容

1. 三視圖的概念

我們從不同的方向觀察某一物體時(shí)可能看到不同的圖形，其中，把從正面看到的圖形叫做主視圖，從左面看到的圖形叫做左視圖，從上面看到的圖形叫做俯視圖.

2. 三視圖的位置關(guān)系

以主視圖為準(zhǔn)，左視圖在主視圖的右邊，俯視圖在主視圖的下面.

3. 三視圖之間的關(guān)系

物體一般有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸. 如果把它的左右方向的長(zhǎng)度稱為長(zhǎng)，前后方向的長(zhǎng)度稱為寬，上下方向的長(zhǎng)度稱為高，那么主視圖將能反映出物體的長(zhǎng)度和高度，左視圖能夠反映出物體的寬度和高度，而俯視圖則反映出了物體的長(zhǎng)度和寬度. 綜上可歸納出：主、俯長(zhǎng)相等，主、左高平齊，俯、左寬相等.

例3 如圖6是由五塊完全一樣的正方體搭成的積木，你能畫出這個(gè)圖形的主視圖、左視圖和俯視圖嗎？

【分析】我們只需畫出從正面、左面、上面看到的圖形即可. 從正面看由左往右共有2列，正方形的個(gè)數(shù)依次為3和1；從左面看由左往右共2列，正方形的個(gè)數(shù)依次為3和1；從上面看由左往右共2列，正方形的個(gè)數(shù)依次為2和1. 此時(shí)畫出平面圖形即可.

解： 如圖7.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了同學(xué)們對(duì)三視圖概念的理解以及對(duì)三視圖的位置關(guān)系的掌握程度.

例4 圖8表示一個(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)，則該幾何體的主視圖為（ ）.

【分析】俯視圖中的每個(gè)數(shù)字是該位置小立方體的個(gè)數(shù)，分析其中的數(shù)字，得主視圖共三列，從左到右的小立方體的個(gè)數(shù)分別是4、3、2.

解：選C.

【點(diǎn)撥】本題靈活考查了同學(xué)們對(duì)圖形的想象力、對(duì)三種視圖之間的關(guān)系以及視圖和實(shí)物之間的關(guān)系的理解程度.

例5 用小立方塊搭一個(gè)幾何體使得它的主視圖和俯視圖如圖9所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最少需要多少個(gè)小立方塊？最多需要多少個(gè)小立方塊？

【分析】由幾何體的俯視圖可知，該幾何體的最底層有7個(gè)小立方塊，由于主視圖的第一列有3個(gè)正方形，所以俯視圖第一列上每個(gè)正方形所在位置最多均可有3個(gè)小立方塊，最少只有1個(gè)正方形所在位置有3個(gè)小立方塊，其余2個(gè)正方形上只有1個(gè)小立方塊；主視圖的第二列有2個(gè)小正方形，所以俯視圖第二列每個(gè)小正方形所在位置上最多均可有2個(gè)小立方塊，最少只有1個(gè)正方形所在位置有2個(gè)小立方塊，其余2個(gè)正方形上都只有1個(gè)小立方塊；主視圖的第三列只有1個(gè)小正方形，它所在位置只能有1個(gè)小立方塊. 所以這樣的幾何體不止一種.

解：這樣的幾何體不止一種擺法. 最少需要3+1×2+2+1×2+1=10（個(gè)）小立方塊，最多需要3×3+2×3+1=16（個(gè)）小立方塊.

【點(diǎn)撥】本題考查的是由主視圖和俯視圖來(lái)判斷幾何體的構(gòu)成.