突破難點(diǎn) 掃除障礙

突破點(diǎn)1：一元一次方程概念的理解

例1 （黃岡市）關(guān)于x的一元一次方程（k2-1）xk-1+（k-1）x-8=0的解為_(kāi)______.

【分析】由一元一次方程的定義可知，原方程是一元一次方程，則有兩種情況：

①當(dāng)k-1=1，即k=2時(shí)，原方程3x+x-8=0，解之得x=2.

②當(dāng)k2-1=0且k-1≠0時(shí)，也就是當(dāng)k=-1時(shí)，原方程化為-2x-8=0，解之得x=-4.

所以原方程的解為x=2或x=-4，故答案為x=2或x=-4.

【解答】x=2或x=-4.

【點(diǎn)評(píng)】加深對(duì)一元一次方程概念的理解，才能在所給條件下根據(jù)概念具備的本質(zhì)特征得出相應(yīng)的結(jié)論（如本例中的k-1=1和k2-1=0且k-1≠0）.

突破點(diǎn)2：技巧性解法

例2 解下列方程：

（1） ■-■=1；

（2） ■■■x-■？搖-8=■x.

【分析】對(duì)于（1），將方程的兩邊同乘6，去掉分母；對(duì)第（2）題，不難看出，先用乘法分配律簡(jiǎn)化方程，再求解較容易.

【解答】（1） 去分母，得2（2x+1）-（5x-1）=6；去括號(hào)，得4x+2-5x+1=6；移項(xiàng)，得-x=3；系數(shù)化為1，得x=-3.

（2） 去括號(hào)，得■x-■-6=■x；移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得-x=■；系數(shù)化為1，得x=-■.

【點(diǎn)評(píng)】（1） ①去分母時(shí)，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)；②去分母后，分?jǐn)?shù)線起到括號(hào)的作用，尤其是分式前是負(fù)號(hào)的項(xiàng). （2） 技巧性解法的發(fā)現(xiàn)需要認(rèn)真觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，需要突破習(xí)慣性思維的束縛.

突破點(diǎn)3：方程的解的討論

當(dāng)方程中的系數(shù)是用字母表示時(shí)，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為ax=b的形式，繼續(xù)求解時(shí)，一般要對(duì)字母系數(shù)a、b進(jìn)行討論.

（1） 當(dāng)a≠0時(shí)，方程有唯一解，x=■；

（2） 當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解；

（3） 當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

例3 如果a，b為定值，關(guān)于x的方程■=1+■，無(wú)論k為何值，它的根總是1，求a，b的值.

【分析】仔細(xì)讀題，轉(zhuǎn)換角度，考慮將方程轉(zhuǎn)換成關(guān)于k的方程.

【解答】把x=1代入方程，得■-■=1；化簡(jiǎn)，得（2b-3）k=2-3a.

由于k可以取任何值，即關(guān)于k的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，于是得2b-3=0，2-3a=0.解得a=■，b=■.

【點(diǎn)評(píng)】若ax=b對(duì)于任何x的取值都成立，則必有a=0，b=0.

突破點(diǎn)4：與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題探究

例4 若a，b，c為整數(shù)，且a-b19+c-a99=1，試計(jì)算c-a+a-b+b-c的值.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義和已知條件a，b，c為整數(shù)，且a-b19+c-a99=1確定a、b、c的取值及相互關(guān)系，進(jìn)而在分情況討論的過(guò)程中確定c-a、a-b、b-c的值.

【解答】a，b，c均為整數(shù)，則a-b和c-a也應(yīng)為整數(shù)，且a-b19與c-a99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是

a-b19=0且c-a99=1，①

或a-b19=1且c-a99=0.②

由①知a-b=0且c-a=1，所以a=b，于是b-c=a-c=c-a=1；由②知a-b=1且c-a=0，所以c=a，于是b-c=b-a=a-b=1. 無(wú)論①或②都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)絕對(duì)值的定義和已知條件確定a、b、c的取值及關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意討論過(guò)程的全面性.

突破點(diǎn)5：列方程解應(yīng)用題過(guò)程中等量關(guān)系的尋找

例5 （2003·湖北襄樊）一牛奶制品廠現(xiàn)有鮮奶9 t. 若將這批鮮奶制成酸奶銷售，每加工1 t鮮奶可獲利1 200元；若制成奶粉銷售，則每加工1 t鮮奶可獲利2 000元. 該廠的生產(chǎn)能力是：若專門生產(chǎn)酸奶，則每天可用去鮮奶3 t；若專門生產(chǎn)奶粉，則每天可用去鮮奶1 t. 由于受人員和設(shè)備的限制，酸奶和奶粉兩產(chǎn)品不可能同時(shí)生產(chǎn)，為保證產(chǎn)品的質(zhì)量，這批鮮奶必須在4天內(nèi)全部加工完畢. 假如你是廠長(zhǎng)，你將如何設(shè)計(jì)生產(chǎn)方案，才能使工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】要確定哪種方案獲利最多，首先應(yīng)求出每種方案各獲得的利潤(rùn)，再比較即可.

【解答】生產(chǎn)方案設(shè)計(jì)如下：

（1） 將9 t鮮奶全部制成酸奶，則可獲利1 200×9=10 800（元）.

（2） 4天內(nèi)全部生產(chǎn)奶粉，則有5 t鮮奶得不到加工而浪費(fèi)，且利潤(rùn)僅為2 000×4=8 000（元）.

（3） 4天中，用x天生產(chǎn)酸奶，用4-x天生產(chǎn)奶粉，并保證9 t鮮奶如期加工完畢.

由題意得，3x+（4-x）×1=9.

解得x=2.5.

∴4-x=1.5（天）.

故在4天中，用2.5天生產(chǎn)酸奶，用1.5天生產(chǎn)奶粉，則利潤(rùn)為：2.5×3×1 200+1.5×1×2 000=12 000（元）.

答：按第三種方案組織生產(chǎn)能使工廠獲利最大，最大利潤(rùn)是12 000元.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)代生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)之一，同學(xué)們應(yīng)多留意生活中的規(guī)律，把數(shù)學(xué)與生活有機(jī)結(jié)合起來(lái). 對(duì)于方案三的銷售金額計(jì)算，不能按“問(wèn)什么設(shè)什么”的方法求解，如果設(shè)銷售金額為x元，則不易找到它與已知量的聯(lián)系，列方程將很困難. 列方程解應(yīng)用題時(shí)，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)很重要.