勾股定理的逆定理應(yīng)用探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）在課程“目標(biāo)與內(nèi)容”七學(xué)段～九學(xué)段中指出：“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實際問題?！惫垂啥ɡ砑捌淠娑ɡ硎浅踔袛?shù)學(xué)中非常重要的定理，華羅庚把它稱為“茫茫宇宙星際交流的語言”，西方一些國家把它稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想。勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的重要依據(jù)，而且是各省市中考必考的知識點，同時在實際生活中的應(yīng)用也十分廣泛。這里我們不探索勾股定理的應(yīng)用，只探索勾股定理的逆定理的應(yīng)用。筆者在長期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有許多學(xué)生在涉及到判斷三角形的形狀、計算圖形的面積時，還是不知道應(yīng)該如何利用勾股定理的逆定理來解決問題。由于勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系，也就是把幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合在一起了。因此，我們應(yīng)用勾股定理的逆定理抽象出數(shù)學(xué)方程模型或者進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)化是判斷三角形的形狀、計算圖形的面積問題的一種行之有效的方法。在應(yīng)用勾股定理的逆定理解決問題的時候，一定要讓學(xué)生去思考、討論、交流甚至是探究，讓他們經(jīng)歷解題的過程，最終樹立“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和方法，正如《課標(biāo)》所說：“它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法?！毕旅?，筆者就勾股定理的逆定理的應(yīng)用談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一、利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀

例1：已知在三角形中，a、b、c分別是它的三邊，并且a+b=10，ab=18，c=8，判斷三角形的形狀。

分析：由于題目中涉及兩邊之和與兩邊的積，所以先結(jié)合完全平方公式得出a2+b2的值，再檢驗a2+b2與c2的大小，就可以得出相應(yīng)的結(jié)論。

所以，凡是給出三角形的三邊或者邊之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，都應(yīng)考慮應(yīng)用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷。

變式訓(xùn)練：如圖l所示，已知：在△ABC中，AB=13，BC=l0，BC邊上的中線AD=12。求證：△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理與勾股定理結(jié)合計算圖形的面積

例2：如圖2所示，已知在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。求四邊形ABCD的面積。

分析：由于這是不規(guī)則的四邊形，所以不能直接計算面積，可根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特征，聯(lián)想勾股數(shù)，先連接AC，轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積之差，并判斷兩個三角形的形狀，就可以實現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化，得出相應(yīng)的結(jié)論。所以，計算不規(guī)則的四邊形的面積，一般要通過構(gòu)造直角三角形再利用三角形的面積的和或差進(jìn)行計算。

變式訓(xùn)練：如圖3所示，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

以上我們討論了利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀以及利用勾股定理的逆定理與勾股定理結(jié)合的方式計算圖形的面積的問題，利用這種方法應(yīng)該說是一種比較簡捷、有效的方法。我們在引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理的逆定理解決實際問題時，一定要讓學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，并進(jìn)行一題多解、一題多練，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。同時，我們還要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生主動地去發(fā)現(xiàn)問題、探究問題進(jìn)而解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力?！墩n標(biāo)》指出：“教師要處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識和基本的數(shù)學(xué)技能不是最根本的目的，最根本的目的是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高他們的創(chuàng)新性和創(chuàng)造性。

在學(xué)習(xí)和應(yīng)用勾股定理的逆定理過程中，我們可以結(jié)合“綜合與實踐”課給學(xué)生灌輸“生活數(shù)學(xué)”的思想。《課標(biāo)》指出：“‘綜合與實踐’內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累學(xué)生的活動經(jīng)驗，提高學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力?！蔽覀円裱墩n標(biāo)》的要求和教學(xué)理念，靈活地應(yīng)用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的應(yīng)用同實際生活緊密地聯(lián)系在一起。我們要讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)知識來源于生活，但又要應(yīng)用于生活。沒有生活就沒有數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識如果不應(yīng)用于生活，也就失去了數(shù)學(xué)知識的價值。

總之，勾股定理的逆定理的應(yīng)用是十分廣泛的。我們在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理的逆定理時，一定要注意方式、方法，讓學(xué)生靈活地掌握和應(yīng)用。

（江蘇省新沂市瓦窯中學(xué)）