如何讓學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

摘 要：概念是思維的工具，在概念教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生自主參與概念的發(fā)生、發(fā)展、形成與鞏固的全過程，抓住概念的本質(zhì)，主動構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟概念中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；自主參與；概念教學(xué)；概念學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在人腦中的反映，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提. 數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，具有概括性強(qiáng)、抽象程度高的特點(diǎn)，但它是判斷和推理的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的必要條件；概念是思維的工具，因?yàn)榉治?、推理都要依?jù)概念. 因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生自主參與概念的發(fā)生、發(fā)展、形成與鞏固的全過程，讓學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)方法，體驗(yàn)科學(xué)精神.

創(chuàng)設(shè)情境，挖掘模型，感知概念內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念離不開抽象思維及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述，而抽象與嚴(yán)謹(jǐn)正是學(xué)生疏遠(yuǎn)數(shù)學(xué)的原因. 數(shù)學(xué)教師應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)好的概念教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察有關(guān)事物、模型、圖識等，辨別同類事物的不同例子，學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，歸納出各個例子的共同屬性，從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念. 在課堂上提供充足的思維材料，呈現(xiàn)與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)原型，學(xué)生觸感實(shí)物完整的表象，從中抽象出概念的內(nèi)涵.

許多抽象的數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)中能夠找到實(shí)際原型，教師要充分挖掘課本內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)問題的實(shí)際模型. 例如，不等在生活中有許多的實(shí)際模型.

實(shí)際模型一：將a千克的糖加水配成b千克的糖水，其濃度為，若在此糖水中再加入m千克的糖，其濃度為，顯然加糖后濃度增大，即原不等式成立.

實(shí)際模型二：建筑學(xué)規(guī)定：民用建筑的采光度等于窗戶面積與地面面積之比，但窗戶面積必須小于地面面. 采光度越大，說明采光條件越好，問增加同樣的窗戶面積與地面面積后采光條件變好了，還是變壞了？說明理由.

數(shù)學(xué)概念有具體性和抽象性雙重特性. 教學(xué)中從具體性入手，使學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念. 在橢圓概念的教學(xué)時，筆者讓學(xué)生動手做實(shí)驗(yàn)：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？學(xué)生通過動手實(shí)踐，觀察親自畫出來的圖形后，歸納總結(jié)出橢圓的定義.

教師要留給學(xué)生足夠的活動與實(shí)驗(yàn)的時間，通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性，促使學(xué)生形成感性認(rèn)識，在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念，必要時組織學(xué)生對概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行仔細(xì)討論分析.

抓住本質(zhì)，主動構(gòu)建，理解新概念

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生始終是信息加工的主體，是對數(shù)學(xué)概念的探索、發(fā)現(xiàn)和概念意義的主動建構(gòu)者. 教師要引導(dǎo)學(xué)生主動地搜集信息和材料，提出假設(shè)，驗(yàn)證假設(shè)，并加以檢驗(yàn)，逐步去掉非本質(zhì)屬性，提煉、抽象出能夠表明數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)屬性；并把獲得的新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，促使數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵不斷得到深化，也使數(shù)學(xué)概念的外延不斷得到擴(kuò)大，從而擴(kuò)大或改組原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 每個概念都有反映其本質(zhì)的關(guān)鍵詞，在概念的教學(xué)中，教師要利用各種方式讓學(xué)生理解關(guān)鍵詞所反映概念的本質(zhì)內(nèi)容.

在等差數(shù)列的概念教學(xué)中，如何理解“從第二項(xiàng)起”與“同一個常數(shù)”這兩組關(guān)鍵詞，我們可以構(gòu)造反例說明，如果沒有“從第二項(xiàng)起”的限制，第一項(xiàng)不能與前一項(xiàng)相減；如果沒有“同一個常數(shù)”，舉反例“1，3，5，6，12從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于常數(shù)，但此數(shù)列不是等差數(shù)列”，從而說明這兩組詞缺一不可.

反思聯(lián)系，類比歸納，同化新概念

由學(xué)生主動地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系去學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫做概念同化. 中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念有本質(zhì)不同的一面，又有內(nèi)在聯(lián)系的一面. 學(xué)習(xí)時如果只注意某一概念本身，忽視不同概念之間的區(qū)別，就會使對概念的掌握停留在膚淺的表面上. 教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找、分析其聯(lián)系與區(qū)別，通過比較排除那些與概念中描述無關(guān)或相異的性質(zhì)，突出概念中強(qiáng)調(diào)的性質(zhì).

例如，利用橢圓的定義類比歸納出雙曲線的定義，利用等差數(shù)列的定義類比歸納出等比數(shù)列的定義，利用實(shí)數(shù)的概念對比向量的概念，通過實(shí)數(shù)的運(yùn)算對比虛數(shù)的運(yùn)算，等等. 類比有利于學(xué)生理解及區(qū)別概念，對比有利于減少概念的混淆.

由于數(shù)學(xué)概念的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，決定了學(xué)生不可能一次性地把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，必須經(jīng)過多次地反復(fù)思考、深入研究、自我調(diào)整. 有些數(shù)學(xué)概念似曾相識，從表面看好像差不多，但本質(zhì)卻不一樣. 教師要組織學(xué)生對這些有聯(lián)系的概念進(jìn)行反思. 反思兩個概念之間有什么聯(lián)系，在什么方面有聯(lián)系，為什么會產(chǎn)生聯(lián)系，從這些聯(lián)系中能否概括出某種規(guī)律，對于容易混淆或難以理解的概念，可以運(yùn)用分析、對比、辨析、比較的方法，進(jìn)一步理解其區(qū)別與聯(lián)系，指出他們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，抓住概念的本質(zhì).

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要重視新舊概念之間的相互聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生利用舊概念同化或順應(yīng)新概念. 引導(dǎo)學(xué)生對有聯(lián)系的概念進(jìn)行反思，使每一個數(shù)學(xué)概念都不孤立，從而起到舉一反三、融會貫通的作用.

繪制概念圖，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)人的記憶規(guī)律，如果把所學(xué)的概念納入一個網(wǎng)絡(luò)，就不容易遺忘，而且在解決問題時也更容易快速檢索出所需的概念.在概念網(wǎng)絡(luò)中激活任意一個網(wǎng)點(diǎn)，都將引出相關(guān)的聯(lián)想.

概念圖是表示概念和概念之間相互關(guān)系的空間網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖.概念圖包括概念、分支和層次、概念間的連結(jié)線和連結(jié)語、例子等幾部分. 例如在學(xué)習(xí)四棱柱時，會遇到許多特殊的四棱柱，我們可利用關(guān)系圖（如圖1所示）來鞏固這些概念. 在給出了“棱柱”的概念后，當(dāng)?shù)酌鏋槠叫兴倪呅螘r就成了平行六面體等，這樣反而容易理解和對比記憶. 圖中的每一個數(shù)學(xué)概念都不是孤立的，各概念之間關(guān)系及異同點(diǎn)在圖中也很容易找出.

通過制作概念圖，可以促使學(xué)生積極動手和思考，使他們能夠從整體上掌握基本知識結(jié)構(gòu)和各個知識間的關(guān)系；通過制作概念圖，可促進(jìn)新舊概念的整合，形成概念網(wǎng)絡(luò)；隨著知識的積累，網(wǎng)絡(luò)的編織將更加完整. 當(dāng)用概念圖把知識展示出來時，知識結(jié)構(gòu)會變得更加清晰，這時很容易產(chǎn)生新想法. 概念圖中的交叉連結(jié)需要橫向思維，是發(fā)現(xiàn)和形成概念間新的關(guān)系、產(chǎn)生新知識的重要一環(huán). 實(shí)踐證明，制作概念圖是學(xué)生樂于接受的一種學(xué)習(xí)方式，因?yàn)樗峁┝艘环N有效的思維工具，為學(xué)生主動建構(gòu)概念開啟了一扇門.

運(yùn)用概念，鞏固知識，抓住概念本質(zhì)

學(xué)習(xí)概念，是為了能運(yùn)用概念進(jìn)行思維，運(yùn)用概念解決問題.依據(jù)認(rèn)識論的觀點(diǎn)，一個完整的教學(xué)過程必須經(jīng)過“由感性的具體上升到抽象的規(guī)定”和“再由抽象的規(guī)定發(fā)展到思維中的具體”這樣兩個科學(xué)抽象的階段. 概念的運(yùn)用階段是數(shù)學(xué)概念教學(xué)不可缺少的環(huán)節(jié)，因?yàn)橥ㄟ^應(yīng)用概念的練習(xí)能夠幫助學(xué)生形成運(yùn)用概念的技能. 但要注意，練習(xí)的目的在于鞏固深化概念，形成技能，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，因此，選題要典型、靈活多樣，對題目的挖掘、探討要力求深入.

如橢圓的定義，學(xué)生常常記為：“到兩定點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的軌跡”. 教學(xué)時，筆者設(shè)計(jì)以下問題鏈，讓學(xué)生討論：（1）平面上的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)（-3，0），（3，0）的距離之和為4，則P點(diǎn)的軌跡是什么？（2）平面上的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)（-3，0），（3，0）的距離之和為6，則P點(diǎn)的軌跡是什么？（3）平面上的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)（-3，0），（3，0）的距離之和為8，則P點(diǎn)的軌跡是什么？通過分析容易得到：①當(dāng)2a<2c時，軌跡不存在；②當(dāng)2a=2c時，軌跡為一條線段；③當(dāng)2a>2c時，軌跡為橢圓，這樣就有效加深了學(xué)生對橢圓概念中“a>c”這一條件的理解.

展現(xiàn)思維，揭示思想，深化概念

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是展示和發(fā)展思維的過程. 概念是思維的基本形式之一，是對一切事物進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ)，它是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分. 許多數(shù)學(xué)概念都具有抽象性強(qiáng)的特點(diǎn)，所以它是對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的極好素材. 學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，又是發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的基礎(chǔ). 教師應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的落實(shí)與應(yīng)用，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)充分展現(xiàn)概念的產(chǎn)生、形成、深化和運(yùn)用的思維過程.

例如，函數(shù)概念來源于客觀實(shí)際需要，也來自于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，它是以變化與對應(yīng)的思想為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念. 要使學(xué)生理解函數(shù)概念，必須從運(yùn)動變化的角度研究，研究各種變量之間存在對應(yīng)規(guī)律與相互聯(lián)系. 教師要指導(dǎo)學(xué)生逐步深化概念，要從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識概念.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實(shí)踐的反復(fù)過程. 在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要充分認(rèn)識學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，將上述概念學(xué)習(xí)的策略相互滲透交融，有選擇的運(yùn)用，使學(xué)生在概念與概念的相互作用中不斷領(lǐng)悟，逐步加深對概念的理解，提高學(xué)生的思維水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng).