新課程理念下的數(shù)學研究性學習

摘 要：作為必修內(nèi)容，研究性學習是普通高中新課程的一個亮點. 將研究性學習與數(shù)學學科教學進行有效整合，有利于培養(yǎng)學生具有永不滿足、追求卓越的態(tài)度和學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而解決問題的能力. 因此，研究性學習的開展應關注問題性、體驗性、探究性、辨析性.

關鍵詞：研究性學習；問題；體驗；探究

研究性學習重過程、重發(fā)現(xiàn)、重參與，使學生在自己的不斷探索中去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，形成一種自主的創(chuàng)新能力. 那么，在新課程背景下如何引導學生開展研究性學習是每位數(shù)學教師所要思考的問題，本文結合自己的教學實踐，談談幾點認識.

研究性學習從提出問題開始，并圍繞發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題來進行的，是學生在活動中掌握數(shù)學、體驗數(shù)學的一種有效方式. 因此，研究性課題的選擇應具有問題性.

案例1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性

在教材中研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，其中關于奇偶性的結論為：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù). 如果對此結論不引導學生進行探究，學生就達不到運用結論解決問題的目的. 因此，在教學中，教師可以結合正弦曲線、余弦曲線以下列問題作為切入點，引導學生進行研究性學習.

問題1 y=sinx的圖象的對稱軸是否存在？如果存在，有多少條？其數(shù)學表達式是什么？y=cosx的圖象的對稱中心是否存在？如果存在，有多少個？其數(shù)學表達式是什么？

問題2 y=sinx的圖象的對稱中心是否存在？如果存在，有多少個？其數(shù)學表達式是什么？y=cosx的圖象的對稱軸是否存在？如果存在，有多少條？其數(shù)學表達式是什么？

問題3 在y=sinx，y=cosx圖象的對稱軸、對稱中心處其函數(shù)值分別有什么特征？

問題4 當θ為何值時，函數(shù)y=sin（2x+θ）為奇函數(shù)？當θ為何值時，函數(shù)y=sin（2x+θ）為偶函數(shù)？

問題5 當θ為何值時，函數(shù)y=Asin（ωx+θ）為奇函數(shù)？當θ為何值時，函數(shù)y=Asin（ωx+θ）為偶函數(shù)？

問題6 當θ為何值時，函數(shù)y=Acos（ωx+θ）為奇函數(shù)？當θ為何值時，函數(shù)y=Acos（ωx+θ）為偶函數(shù)？

通過對以上幾個問題的研究性學習，促使學生在知識和方法間的聯(lián)系中體驗和感悟數(shù)學的內(nèi)涵，探究內(nèi)在規(guī)律，這樣不僅對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)有融會貫通的理解，而且能將一般形式的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應用于解決有關問題，使數(shù)學思維提高到一個由例及類的層次，形成有效的“思維鏈”，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.

當q=1時Sn=na1，此種方法引起了學生的爭論，有人認為不正確，有人認為不完整，很多人知道還要用數(shù)學歸納法加以證明. 這是歸納猜想的方法，是一個很有意義的想法，它是知識間對比聯(lián)想的結果.

當q=1時，Sn=na1，這種證法得到了大部分學生的好評，既簡單又易懂.

上述方法都比課本介紹的“錯位相減法”簡單和容易理解，但有學生提出了質(zhì)疑：為什么課本要采用“錯位相減法”呢？新一輪的研究再度掀起，“錯位相減法”究竟適合怎樣的數(shù)列求和？在研究中讓學生自己體驗、自己領悟、自己構建. 從研究中我們感到學生中潛藏著巨大的能量，只要給學生以時間和空間，他們一定還你一個奇跡.

探究性

中學教材因受眾多因素的限制，對知識的闡述具有一定的局限性，有待于進一步深化和拓展. 教師有意識地精選課本中的一些典型例題，并加以引申拓展，設計成探究型研究性課題，引導學生開展“研究性學習”，揭示其豐富的內(nèi)涵，不僅有利于學生掌握基礎知識，而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力.

案例3 已知a，b是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

教學中，在引導學生證明了結論之后，教師可以為學生設計如下的探究性問題：

探究一 （1）若a，b∈R，且a≠b，試比較a4+b4與a3b+ab3的大小.

探究二 （2）若a，b∈R+，且a≠b，試比較a5+b5與a3b2+a2b3的大小.

探究三 （3）若a，b∈R，且a≠b，試比較a6+b6與a4b2+a2b4的大小.

探究四 （4）請你根據(jù)（1）-（3）的結果，將相關結論推廣到一般情形.

隨著問題（1）（2）（3）的解決，對于問題（4），學生群情激昂，討論熱烈. 根據(jù)討論的結果，引導學生歸納出如下推廣結論：

（1）若a，b∈R+，且a≠b，m，n∈N，mambn-m+an-mbm.

（2）若a，b∈R，且a≠b，m，n∈N，mambn-m+an-mbm.

（3）若a，b∈R+，且a≠b，m，n∈N，有am+n+bm+n>ambn+anbm.

教材中有許多重要的例題和習題反映相關數(shù)學理論的本質(zhì)屬性，蘊涵著數(shù)學的重要思想方法，對于這類問題，通過類比、引申、推廣，提出新的問題并加以解決，既能有效鞏固基礎知識，又能培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，也能更好地發(fā)揮教材的擴張效應.

學生討論研究后發(fā)現(xiàn)，前三種解法中都無法取到等號，只有解法4是正確的，通過幾位學生的不斷講解、不斷完善，大家清楚了這幾個題目存在的問題，然后教師深刻分析了利用基本不等式求最值的注意問題，總結了求最值的三部曲：“一正、二定、三相等”.