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    例說包裝問題的數(shù)學(xué)建模方略

    2013-12-29 00:00:00劉和珍
    新課程·上旬 2013年2期

    摘 要:近年來,各地市的中考數(shù)學(xué)卷中,常出現(xiàn)與包裝有關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問題。這類問題常蘊(yùn)含許多重要的數(shù)學(xué)思想與方法,深入剖析這類包裝問題,嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,尋求問題解決方法,定能對緊張的中考復(fù)習(xí)起到較好的示范作用.

    關(guān)鍵詞:包裝問題;數(shù)學(xué)建模;策略

    模型思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心關(guān)鍵詞之一,它是一種數(shù)學(xué)的思考方法,是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.近幾年來,各地市中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的一類包裝型問題,由于其取材貼近生活,背景樸實(shí)而又為學(xué)生所熟悉,且題中蘊(yùn)含許多重要的數(shù)學(xué)思想與方法,因此,正逐漸被命題老師所青睞.深入剖析這類包裝問題,嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,尋求問題解決方法,定能對緊張的中考復(fù)習(xí)起到較好的示范作用.

    一、直角三角形模型

    生活中對一些柱體進(jìn)行外包裝較為常見.在解決這類問題的過程中,往往需要將立體圖形通過剪切展開成平面圖形,將問題置于平面中來尋求解題思路.其中常通過現(xiàn)成的或構(gòu)造而成的直角三角形,運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理等相關(guān)知識解決問題.

    例1.如圖1,是一個(gè)側(cè)棱長為15 cm的直三棱柱包裝盒,它的底面是正三角形.現(xiàn)將寬為4 cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個(gè)平行四邊形ABCD(如圖2),然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方式把這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼(要求包貼時(shí)沒有重疊部分),紙帶在側(cè)面纏繞四圈,正好將這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿.則在圖2中,裁剪的角度∠BAD的正弦值是 .

    評析:如何將平行四邊形紙帶ABCD包貼到三棱柱上?一種是將AD與三棱柱底邊棱重合進(jìn)行包貼;一種是將AB邊與三棱柱底邊棱重合進(jìn)行包貼.前者無法將紙帶“螺旋上升”以至包貼整個(gè)三棱柱側(cè)面;后者可以按題目要求進(jìn)行包貼.故AB長即為三棱柱的底邊周長.求∠BAD可轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.本題所涉及的知識點(diǎn)有:三棱柱側(cè)面展開圖,解直角三角形,平行四邊形和平移等一些實(shí)踐操作知識.解決本題,關(guān)鍵是能否在有限的時(shí)間里審清題意,能否理解“包貼”的方法和理解“側(cè)面全部包貼滿”等字眼,能否通過圖2與圖3找出解決此題的切入口.處理立體圖形往往是要將立體圖形展開成平面圖形.同時(shí)平面圖形與立體圖形之間又有著密切的聯(lián)系.

    二、方程模型

    膠帶紙對學(xué)生來說是相當(dāng)熟悉的,靈活利用它,同樣可命制一類好題.解決過程中往往會涉及有關(guān)面積的知識,有時(shí)也不乏用到不等式等知識.其中常根據(jù)隱含的有關(guān)面積的等量關(guān)系,通過建立方程模型來解決問題.

    例2.小明買來一卷包裝用膠帶紙(如圖4).他突發(fā)奇想:這卷膠帶紙拉開來到底有多長?他首先想到可以拉開來直接測量,顯然這是不切實(shí)際的.思考后,他想到了用數(shù)學(xué)知識來解決.他從網(wǎng)上查得這種包裝膠帶紙的厚度約為0.005 cm,他量得整卷膠帶紙的內(nèi)徑為5 cm,外徑為10 cm.請你幫助小明解決這個(gè)問題(結(jié)果精確到1米).

    評析:利用學(xué)生熟悉的膠帶紙,對此進(jìn)行聯(lián)想而編制成本題.解決該問題需要有思維的開放性和深刻性.一方面它提供了一個(gè)生活情境的再現(xiàn),呈現(xiàn)“活生生”的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用場景,考查學(xué)生對現(xiàn)實(shí)問題的理解能力和解決問題的能力,即數(shù)學(xué)建模能力;另一方面,作為該試題,體現(xiàn)了命題的“公平性”原則,人人都接觸過膠帶紙,不會給學(xué)生帶來陌生感.再者,還在于它解法的巧妙:以面積法求得膠帶紙的長度.想象中把整卷膠帶紙拉開,拉開后的膠帶紙的截面可看做是長未知、寬為0.005 cm的很扁很扁的矩形,若設(shè)全長為x cm,則圓環(huán)面積可表示為0.005x,利用面積建立等量關(guān)系,列出方程,從而求得x的值.顯然,直接去求長度的難度要大得多,這需要思維的廣闊性與發(fā)散性,沒有較強(qiáng)的抽象思維能力與建模能力,要比較輕松地解決本題是有一定難度的.

    三、不等式模型

    建立不等式模型來解決生活中的包裝問題,看似風(fēng)馬牛不相及,然通過巧設(shè)載體,將它們有機(jī)結(jié)合起來,運(yùn)用不等式等相關(guān)知識,硬是解決了一些包裝問題中的包裝帶長度問題,彰顯數(shù)學(xué)的無窮魅力.

    例3.(1)比較大小:

    (3)利用上述猜想解決下列問題:如圖5,有一等腰梯形的工件(厚度不計(jì)),其面積為1800 cm2,,現(xiàn)要用包裝帶如圖包扎(點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊中點(diǎn)),則最少需要包裝帶的長為 .

    評析:本題通過一些數(shù)式的大小比較,從中抽象概括出一般結(jié)論,進(jìn)而將此結(jié)論應(yīng)用于平面圖形中(厚度不計(jì)的等腰梯形工件的外包裝帶的長度估算),體現(xiàn)了從特殊到一般的思考問題的思想與方法,同樣也滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)不等式的根本目的,就是要初步形成利用不等式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力,能把它作為一種有效的數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)模型,去解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)本身的問題.(1)(2)兩小題比較常規(guī),在解決第(3)小題時(shí),要弄清以下幾個(gè)問題:①厚度不計(jì)的一個(gè)等腰梯形的工件用包裝帶如圖包扎,計(jì)算包裝帶的長就是計(jì)算什么?②EG與HF的長度與等腰梯形的面積之間有什么聯(lián)系?③EG與HF的位置關(guān)系如何?為什么有這種位置關(guān)系?④如何將第(2)小題的結(jié)論用上去?解決了上述問題,本題也就解決了.而題中的(1)(2)兩問與第(3)問看起來是風(fēng)牛馬不相及的,然而實(shí)質(zhì)上它們有著如此讓人驚詫的聯(lián)系,再次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的無窮魅力.

    中考試題承載著課標(biāo)理念與教學(xué)導(dǎo)向,對它們的跟蹤關(guān)注與研究是數(shù)學(xué)教師的最愛.數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象,通過呈現(xiàn)學(xué)生所熟悉的生活背景與實(shí)際,讓學(xué)生通過抽象概括,提煉歸納建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而獲得問題的解決,這無疑是考查學(xué)生抽象思維能力與數(shù)學(xué)建模能力的好載體,也無疑將成為命題老師的命題思路與編制方向.愿我們一起潛下心來,認(rèn)真研究課標(biāo)與考試說明,為切實(shí)提高中考復(fù)習(xí)的有效性與針對性,真正達(dá)到“輕負(fù)高效”的目標(biāo)而努力.

    (作者單位 浙江省上虞市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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