兩變量聯(lián)合分布在水文頻率分析中的應(yīng)用研究

摘 要：本文以汀江流域上某站點(diǎn)的實(shí)測(cè)洪水資料為樣本，利用Gumbel-Hougaard Copula 函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)邊緣分布為P-III型分布的年最大洪峰流量系列與年最大七日洪量之間的聯(lián)合分布。實(shí)測(cè)資料的率定結(jié)果表明，年最大洪峰流量和年最大七日洪量的聯(lián)合觀測(cè)值的理論概率分布與經(jīng)驗(yàn)概率分布擬合得很好。并基于此理論聯(lián)合分布，進(jìn)行了一些分析計(jì)算。

關(guān)鍵詞：設(shè)計(jì)洪水；copula；聯(lián)合分布；年最大洪峰流量；年最大七日洪量

在以往的工程實(shí)踐中，對(duì)于水文極值事件的描述，往往是選取能代表此極值事件的一個(gè)重要特性，再采用單變量極值分布來對(duì)其加以分析研究，卻忽略了水文事件各個(gè)屬性之間存在的相互聯(lián)系。例如在設(shè)計(jì)洪水的時(shí)候，我們往往是對(duì)其洪峰流量或時(shí)段洪量進(jìn)行單獨(dú)的分析研究，而沒有考慮一定洪峰流量和時(shí)段洪量同時(shí)發(fā)生的情況。事實(shí)上，同一水文事件的不同屬性之間以及不同水文事件之間都或多或少地存在一定的相關(guān)性，采用單變量極值分布來進(jìn)行頻率分析顯然不能較為全面的了解水文事件的某些統(tǒng)計(jì)特性且存在一定的局限性[1]。為了較全面地了解認(rèn)識(shí)某水文事件，就需要從多角度對(duì)水文事件進(jìn)行分析研究。目前已有很多的研究表明，采用兩變量聯(lián)合分布相比于單變量分布能更好地描述水文事件的統(tǒng)計(jì)特性，能更準(zhǔn)確地分析各屬性之間的相互關(guān)系。

本文以汀江流域某站點(diǎn)實(shí)測(cè)的洪量資料為基礎(chǔ)資料[2]，利用P-III型分布作為邊緣分布來構(gòu)建聯(lián)合分布，對(duì)此站的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之間的聯(lián)合分布情況進(jìn)行研究。

1 Copula函數(shù)

近年來，Copula函數(shù)在多變量的水文頻率分析中得到了廣泛的應(yīng)用，其優(yōu)點(diǎn)是Copula聯(lián)接函數(shù)的邊緣分布函數(shù)不必屬于同一分布族，數(shù)學(xué)表達(dá)上相對(duì)簡(jiǎn)潔，各個(gè)變量之間的相依結(jié)構(gòu)和邊緣分布可以獨(dú)立考慮[3]。Copula函數(shù)的構(gòu)造方法比較多，常見的類型有橢圓型、阿基米德型和二次型[4]。本文采用的Gumbel-Hougaard Copula 函數(shù)是屬于阿基米德Copula家族的。

設(shè)為連續(xù)的隨機(jī)變量，是變量的聯(lián)合分布函數(shù)，若他們的邊緣函數(shù)都為連續(xù)函數(shù)，則存在唯一的copula函數(shù)）使得：

式中：θ為copula函數(shù)的參數(shù)，其值反映了隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，可以根據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)ρ進(jìn)行估計(jì)：

由式（2）可以知道，年最大洪峰流量X和年最大七日洪量Y的分布函數(shù)F（x）和F（y）的聯(lián)合分布函數(shù)為：

由此聯(lián)合分布，我們可以得到不同事件的發(fā)生概率[5]，存在以下幾類情況：

（1）事件或事件單獨(dú)發(fā)生的概率為

（2）事件和同時(shí)發(fā)生的概率為

（3）在事件條件下，事件發(fā)生的概率為

（4）在事件條件下，事件發(fā)生的概率為

2 兩變量聯(lián)合分布的經(jīng)驗(yàn)概率分布推求

關(guān)于隨機(jī)變量聯(lián)合分布的累積概率分布的推求，首先是要構(gòu)造一個(gè)二維數(shù)據(jù)表，并將觀測(cè)值分別按升序進(jìn)行排列，則兩變量聯(lián)合分布的經(jīng)驗(yàn)概率分布可由下式計(jì)算得到[6]，

式中：是聯(lián)合觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，是聯(lián)合觀測(cè)值發(fā)生的次數(shù)。

3 實(shí)例研究

本文從汀江流域某站點(diǎn)51年的流量資料中摘取出年最大洪峰流量和年最大七日洪量，分別用P-III型分布來作為其擬合分布函數(shù)，采用Gumbel-Hougaard Copula 函數(shù)對(duì)年最大洪峰流量和年最大七日洪量的聯(lián)合分布進(jìn)行研究。

經(jīng)計(jì)算，年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列之間的相關(guān)系數(shù)為ρ=0.76。據(jù)公式（3）可得到，理論聯(lián)合分布函數(shù)，即式（4）中的參數(shù)θ=2.04。分布參數(shù)的估計(jì)方法有很多，如矩法、權(quán)重矩法、概率權(quán)重矩和線性矩法等。本文采用統(tǒng)計(jì)特性比較穩(wěn)健的線性矩法，并結(jié)合目估適線法進(jìn)行微調(diào)，對(duì)分布函數(shù)中的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。據(jù)年最大洪峰流量系列所擬合的P-III型分布函數(shù)的均值、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)分別為，Cvx=0.36，Csx=0.95。而據(jù)年最大七日洪量系列Y所擬合的P-III型分布函數(shù)的均值、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)分別為，將求得的邊緣分布、θ參數(shù)代入到公式（4），得到的聯(lián)合理論分布函數(shù)。

根據(jù)公式（9）和（10）分別求得年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列的聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)頻率和理論聯(lián)合分布值，點(diǎn)繪于圖3。求得兩變量的相關(guān)系數(shù)ρ=0.988，斜率為κ=0.93，說明兩變量的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布和理論聯(lián)合分布擬合得很好。

再求出年最大洪峰流量與年最大七日洪量之間的聯(lián)合分布函數(shù)，我們可進(jìn)一步推求出某個(gè)洪峰流量和某個(gè)七日洪量同時(shí)發(fā)生的概率，或者是某洪峰發(fā)生的條件下，某七日洪量發(fā)生的概率等。

經(jīng)年最大洪峰流量X和年最大七日流量Y的擬合的概率分布函數(shù)可得，概率為0.1的設(shè)計(jì)洪峰流量和設(shè)計(jì)七日洪量分別為：

4 結(jié)論

本文用汀江流域某站點(diǎn)的流量資料，采用常用的Gumbel-Hougaard Copula 函數(shù)構(gòu)建兩個(gè)邊緣分布函數(shù)為P-III型的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之間的聯(lián)合分布。實(shí)際資料的擬合表明，經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布函數(shù)擬合得很好。根據(jù)此理論聯(lián)合分布函數(shù)，我們可以進(jìn)一步推求某一洪峰流量和某一時(shí)段洪量同時(shí)發(fā)生的概率，或是推求在一個(gè)變量發(fā)生前提下，另一個(gè)變量發(fā)生的概率，有助于對(duì)水文事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律從多角度更加全面地認(rèn)識(shí)，以便更好的服務(wù)于工程實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)

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