構(gòu)造曲線（直線）系方程解題舉偶

解析幾何中常出現(xiàn)如下典型問題：①證明動直線或動曲線恒經(jīng)過一定點；②求通過若干個點的曲線方程；③證明一點或若干個點在某一條定曲線上…，等等如果我們能構(gòu)造出有用的曲線系方程，將獲得意想不到的效果那么如何構(gòu)造有用的曲線（直線）系方程呢？如何利用所構(gòu)造的曲線（直線）系方程，直擊問題目標，快速實現(xiàn)問題解決呢？通過下面的例子作一簡單介紹.

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證明直線或曲線恒過一定點

（1） 求橢圓的方程；

（2） 求線段MN長度的最小值；

（） 以線段MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結(jié)論.圖1

評析關(guān)于（），首先由圓的標準方程寫出動圓C的方程①然后在曲線系方程形式的引領(lǐng)下，將其化簡整理，并注意到條件y1y2=-1，立刻將①變形成②，從②中提取曲線C1、C2，其交點即為所求.

例2（26年武漢市二月調(diào)考題第21題）如圖2，已知拋物線C：x2=2py上一異于原點O的動點M和平面上兩個定點A（，-a，B（b，a（a≠，直線MA交曲線C于M1，直線MB交曲線C于M2，連接M1M2.圖2

評析關(guān)于（Ⅱ），首先由直線的“點斜式”寫出直線M1M2的方程①如何將①寫成“中心直線系方程”呢？由A，M，M1共線得②，由M，B，M2共線得③通過嘗試，確定用“x2x”表示“x1+x2”、“x1x2”再據(jù)“中心直線系方程”的形式，即可將①化歸成中心直線系方程⑤，由此提取直線C1、C2，其交點即是動直線恒過的定點

2求通過若干個點的曲線方程

例求經(jīng)過P1（1，-1、P2（2，、P（2，-、P4（，7、P（-2，-9五點的圓錐曲線方程.

分析若設(shè)所求曲線方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+=，將點的坐標一一代入，可得關(guān)于字母系數(shù)的五個方程，運算量大是可想而知的可否由五個點中的部分點構(gòu)造一曲線系方程（即待定的曲線方程），再由余下的點，確定其參數(shù)，從而求得滿足要求的曲線方程呢？評析這里通過選取五點中的四點來確定四條直線，用這四條直線來構(gòu)造出過這四點的曲線系方程，減少了變量，獲得了簡解這種作法具有普遍意義.

證明點在某一條定曲線（直線）上

例4平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點1（，-c，2（，c，A（c，三點，其中c>.

（Ⅰ）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；

（Ⅱ）已知橢圓x2b2+y2a2=1（a>b>（其中a2-b2=c2的左、右頂點分別為

D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側(cè)，C點在D點右側(cè).

（1）求橢圓離心率的取值范圍；

（2）A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線M1與直線D2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由.

評析關(guān)于（Ⅱ）（2），一般作法是：求出直線M1與D2交點N的坐標，由此得到點N的軌跡參數(shù)方程，消參得點N的直線方程這里另劈途徑：構(gòu)造過M1與D2交點的直線系方程①（其中λ與c為參數(shù)），并將其變?yōu)棰谟散谑揭字敠?1時，②式為定直線.

例（211年全國高考理科試題（Ⅱ））已知O為坐標原點，為橢圓C：x2+y22=1

在y軸正半軸上的焦點，過且斜率為-2的直線l與C交于A，B兩點，點P滿足OA+

OB+OP=.

（1）證明：點P在C上；

（2）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A，P，B，Q四點在同一圓上.

分析關(guān)于（2），證法較多，這里通過構(gòu)造曲線系方程來求解.

于是P（-22，-1，易驗證P（-22，-1滿足橢圓方程故點P在橢圓C上.

（2） 由點P關(guān)于點O的對稱點為Q，故點Q（22，1，所以直線PQ的方程為y=2x

又直線AB的方程為y=-2x+1，故設(shè)經(jīng)過A，P，B，Q四點的曲線系方程為

上A，P，B，Q在①上，即在②上接下來就只需證明：“存在實數(shù)λ，使得②為圓的方程”這只需利用一般二次曲線方程表示圓的充要條件，即可確定出λ的值這作法思路清晰，步驟鮮明，計算量小.

4 其它

例6設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>，b>的右頂點為A，P為雙曲線上的一個動點（不是頂點），從點A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q，R兩點，其中O為坐標原點，則|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關(guān)系是 .圖

分析設(shè)P（x，y，Q（x1，y1，R（x2，y2因O，P，Q，R共線，故考察|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關(guān)系，只需考察x2與x1x2的大小關(guān)系由x1x2，想到運用韋達定理這就啟發(fā)我們構(gòu)造過點Q，R的二次曲線系方程，此曲線方程與直線OP聯(lián)立，消去y即得關(guān)于x的一元二次方程.

評析這里通過構(gòu)造曲線系方程，減少了運算量，使問題快速得解.

作者簡介侯作奎，男，196年月生，湖北省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師發(fā)表論文二十余篇，現(xiàn)任教于武漢外國語學(xué)校