淺析分類思想在初中幾何中的應(yīng)用

張麗英

摘 要：分類討論是將研究對(duì)象的全體按照不重疊、不遺漏的標(biāo)準(zhǔn)，劃分為若干部分分析研究，再把其分析研究的結(jié)果綜合起來，從而使問題得以解決。由于考察問題的角度、方法不同，同一問題的解決可以有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。分類討論思想其實(shí)質(zhì)是化整為零，分而治之。它是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想和方法。

關(guān)鍵詞：分類思想；等腰三角形；相似三角形

我國著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士吳文俊先生是這樣評(píng)價(jià)中國古代數(shù)學(xué)的：“中國古代數(shù)學(xué)，乃是機(jī)械化體系的代表，與古希臘數(shù)學(xué)之演繹推理典范，其實(shí)各具特色，各為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)?！睆闹凶阋钥闯鲋袊糯鷶?shù)學(xué)思想在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和作用。

數(shù)學(xué)中的分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類思想可不像一般的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可讓學(xué)生掌握應(yīng)用。而是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵，從而達(dá)到利用數(shù)學(xué)分類討論方法來解決問題的目的。中考對(duì)分類思想考查的一個(gè)重要目的是檢測(cè)我們的理性思維，在運(yùn)用分類討論思想時(shí)，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則，方法與技巧，做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏”。

在初中幾何中涉及分類討論的知識(shí)點(diǎn)大致有：等腰三角形，相似三角形，兩圓的位置關(guān)系……當(dāng)你對(duì)以上各種情況做到“心中有數(shù)”時(shí)，分類討論便不再令人望而生畏。

一、分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三

角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

第二問求“在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！?/p>

點(diǎn)評(píng)：等腰三角形是一種特殊的幾何圖形，特別是當(dāng)?shù)妊切魏秃瘮?shù)及動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合到一起，會(huì)出現(xiàn)答案的不唯一性，中考命題人員對(duì)此類問題往往特別的青睞，而學(xué)生解答時(shí)常會(huì)出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。如果利用分類思想，結(jié)合直觀作圖的手段進(jìn)行分析解答，可以有效避免因思維不嚴(yán)密出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。下面結(jié)合本題重點(diǎn)介紹一下利用分類思想解答此類問題的技巧。

1.以靜制動(dòng)，找準(zhǔn)切入點(diǎn)

此類問題中雖然所涉及的點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的，但總有部分已知點(diǎn)是不變的，抓住這些不變的點(diǎn)，將其作為解題的突破口。在這道題中，因?yàn)橐阎c(diǎn)Q是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以它的位置是變化的，則△ABQ不唯一。認(rèn)真分析已知可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，因此它的橫坐標(biāo)不變。且△ABQ的邊AB是確定不變的，這樣可從線段AB入手，以AB作解決問題的切入點(diǎn)，來尋找點(diǎn)Q的具體位置。

2.分類討論，作圖擊破

等腰三角形的邊分兩類：一類是腰；另一類是底。在這里已知邊AB既可以為腰，又可以為底。當(dāng)AB為腰時(shí)，又分兩種情況：一種情況為AB=AQ，即AB為腰，且點(diǎn)A為頂角的頂點(diǎn)；另一種情況為AB=BQ，即AB為腰，且點(diǎn)B為頂角的頂點(diǎn)。這樣共有三種情況出現(xiàn)：第一種情況：當(dāng)AB為腰，且點(diǎn)A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)A為圓心AB長(zhǎng)為半徑的圓上。第二種情況：當(dāng)AB為腰，且點(diǎn)B為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)B為圓心AB長(zhǎng)為半徑的圓上。第三種情況：當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上。

二、分類思想在相似三角形中的應(yīng)用

1.對(duì)應(yīng)角不確定

反思：

分類討論的過程是同中求異和異中求同兩種思維方式的有機(jī)結(jié)合，即先抓住問題涉及對(duì)象的不同特點(diǎn)，分為既不重復(fù)，又不遺漏的幾類，運(yùn)用分類討論思想解題的步驟：

①明確對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；

②對(duì)所有的對(duì)象進(jìn)行合理分類。（分類是做到不重復(fù)也不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一）

③逐類討論：對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決。

④歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸類得出最終答案。

分類討論方法往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。而另一方面在課堂討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（作者單位 杭州明珠實(shí)驗(yàn)學(xué)校）