自由曲線輪廓數(shù)控刀具路徑生成及加工

周永情，李德明，孫軍偉，王 普

(1.河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)電系，河南 平頂山 467000;2.河南平頂山姚孟電力工程有限責(zé)任公司，河南 平頂山 467031;3.中電華元核電工程技術(shù)有限公司 煙臺(tái)分公司，山東 煙臺(tái) 265110)

0 引言

這里所指的自由曲線是指不能用數(shù)學(xué)公式表示，而是由一些型值點(diǎn)用平滑曲線連接而成的曲線。對(duì)于具有自由曲線截面輪廓的回轉(zhuǎn)類零件，其加工相對(duì)困難，普通的車削劃線困難，不能加工［1-5］。數(shù)控車削加工又具有以下兩方面的困難:一方面如果采用手工編程，雖然知道型值點(diǎn)的坐標(biāo)，但沒有可用的插補(bǔ)方法，無(wú)法編制加工程序;另一方面采用自動(dòng)編程，雖可以編制出加工程序，但編制的程序比較繁瑣［6-10］。為了解決以上問題，本文對(duì)自由曲線進(jìn)行分段，依據(jù)其曲率的具體情況，對(duì)不同的線段分別用圓弧和直線去擬合，獲得圓弧和直線相關(guān)參數(shù)，然后用圓弧和直線插補(bǔ)生成加工刀具路徑，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜曲線手工編程。

1 不規(guī)則曲線擬合的基本原理

1.1 直線擬合原理

當(dāng)自由曲線曲率變化不大時(shí)時(shí)，可采用線形擬合法，即用最小二乘法求出擬合直線來(lái)代替，見圖1。

圖1 直線原理圖

已知自由曲線某段曲線上一系列型值點(diǎn)的坐標(biāo)i(XiYi)i = 1，2，…，n，要求擬和直線L(Y = Kx +b)，使其與理論自由曲線最逼近。

如果型值點(diǎn)i(XiYi)在直線L 上，則直線L 與自由曲線就沒有誤差;若點(diǎn)i 不在直線L 上，則存在誤差:

為了消除誤差正負(fù)號(hào)的影響，用誤差的平方和Q來(lái)表示總體誤差，總體誤差公式為:

因此求擬合直線的問題就是根據(jù)(2)式求出能使Q(k，b)最小值的k 和b 的值，根據(jù)用求導(dǎo)的方法求極值的原理知，k 和b 的值可由下列方程組確定:

求出了擬合直線L 方程中的k 和b，即確定了擬合直線的空間位置，擬合直線與自由曲線的誤差由(1)式計(jì)算。

1.2 圓弧擬合原理

設(shè)已知不規(guī)則曲線上一系列型值點(diǎn)的坐標(biāo)為:I(yi1，yi2)，i = 1，2，3，…，n，如圖2 所示。

圖2 圓弧擬合原理圖

要求用一個(gè)圓弧(y1－A)2+ (y2－B)2= R2來(lái)進(jìn)行擬合，使復(fù)雜的曲線與圓弧最逼近;即使型值點(diǎn)到圓心的距離與半徑的偏差最小，顯然，如果I 點(diǎn)(yi1，yi2)在圓弧(y1－A)2+ (y2－B)2= R2上，則沒有偏差，即(y'1－A)2+ (y'2－B)2= R2，如果型值點(diǎn)不在圓弧上則存在偏差，偏差為:

用誤差的平方和Q 來(lái)表示總體誤差，圓弧擬合總體誤差公式:

因此求擬合圓弧的問題就是根據(jù)(6)式求出能使Q(A，B，R)最小值的A，B，R 的值，根據(jù)求導(dǎo)的方法求極值的原理知，A，B，R 的值可由下列方程組確定:

求出了擬合圓弧的方程中的A，B，R，即確定了擬合圓的空間位置，擬合圓弧與曲線的誤差由(1)式計(jì)算，最大誤差一般在兩端點(diǎn)的型值點(diǎn)處，適當(dāng)減少參與擬合計(jì)算的型值點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可以使誤差降低到允許的范圍之內(nèi)。

當(dāng)曲線的曲率變化不大時(shí)，用幾個(gè)圓弧就可以達(dá)到很好的擬合效果。當(dāng)曲線的曲率變化太大時(shí)，把曲線分成多段，增加擬合數(shù)量，也能達(dá)到最逼近曲線的效果。

當(dāng)自由曲線曲率較大時(shí)，特別是兩個(gè)型值點(diǎn)之間曲率變化不大而曲率較大時(shí)，可采用線形擬合法，即用求出擬合直線來(lái)代替自由曲線，能達(dá)到更好的擬合效果

2 刀具路徑生成實(shí)例與加工

本文以某成型刀具刀盤的車削加工為例，介紹其刀具路徑生成的全過(guò)程。某成型刀具刀盤的軸截面輪廓為22 個(gè)型值點(diǎn)組成的自由曲線(如圖1 所示)，為了編制數(shù)控加工程序方便，對(duì)各個(gè)型值點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行平移，建立加工坐標(biāo)系如圖3 所示。

圖3 刀盤加工坐標(biāo)系

2.1 擬合計(jì)算

對(duì)曲線進(jìn)行分段，依據(jù)刀盤輪廓曲線的曲率變化情況(如圖1 所示)，按順時(shí)針方向，1－5 點(diǎn)、5－9點(diǎn)、9－11 點(diǎn)、11－13 點(diǎn)、13－15 點(diǎn)、15－17 點(diǎn)、17－19 點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線曲率相對(duì)較大且變化不大，分為7 段，用圓弧擬合;19－21 點(diǎn)、21－22 點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線曲率相對(duì)較小且變化不明顯，分為兩段，用直線擬合。

第一段擬合計(jì)算:這一段共5 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 357.096，圓心坐標(biāo)(－136.371，360.925)。

第二段擬合計(jì)算:這一段共4 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 133.185，圓心坐標(biāo)(－188.055，421.150)。

第三段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 82.455，圓心坐標(biāo)(－255.177，465.945)。

第四段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 44.217，圓心坐標(biāo)(－163.810，433.684)。

第五段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 52.891，圓心坐標(biāo)(417.807，534.885)。

第六段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 96.290，圓心坐標(biāo)(236.837，449.848)。

第七段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(5)式，依據(jù)(6)式列方程組，求解得到擬合圓弧半徑R1 = 157.788，圓心坐標(biāo)(236.837，449.848)。

第八、九段依據(jù)曲率情況用直線擬合。

第八段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(2)式，依據(jù)(3)式列方程組，求解得到斜率K =－15.3，b = 225.675。

第九段擬合計(jì)算:這一段共3 個(gè)型值點(diǎn)，代入(2)式，依據(jù)(3)式列方程組，求解得到斜率K =－27.32，b = 372.21。

確定了圓弧半徑、圓心坐標(biāo)和直線的斜率、截距，就確定了圓弧和直線的坐標(biāo)位置，為了檢驗(yàn)分段的合理性和擬合的精度，把經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移的型值點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)入AUTCAD 軟件，生成標(biāo)準(zhǔn)的刀盤輪廓曲線，然后繪制擬合的圓弧和直線，擬合前后曲線如圖4、5所示。通過(guò)測(cè)量，擬合偏差很小，對(duì)于刀盤的加工，這些偏差在可允許的范圍之內(nèi)，可見本文的分段是基本合理的。要想進(jìn)一步提高擬合的精度，只需增加分段數(shù)量就可以，只不過(guò)相應(yīng)的擬合計(jì)算量也增加。在滿足要求的前提下，盡可能用較少的線段擬合，這樣可以減少計(jì)算，簡(jiǎn)化程序的編制。

圖4 刀盤截面曲線

圖5 擬合后的曲線

知道了圓弧半徑、圓心坐標(biāo)和直線的斜率、截距，還不能滿足數(shù)控加工程序編制需要，還要知道圓弧和直線兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，兩端點(diǎn)坐標(biāo)的確定可以通過(guò)兩種途徑，一是列方程組，計(jì)算依次求出相鄰圓弧和直線的交點(diǎn)即為端點(diǎn)坐標(biāo)，只是計(jì)算量比較大。二是繪圖法，利用CAD 軟件繪出各個(gè)圓弧和直線，通過(guò)標(biāo)注測(cè)量求出端點(diǎn)坐標(biāo)，這種方法比較簡(jiǎn)便，本文就采用這種方法。依次求得7 個(gè)圓弧和2 條直線端點(diǎn)坐標(biāo)如下:

(－21.69，32.44)(－18.84，46.63)(－ 9.51，59.84)(－2.41，62.73)(2.35，62.37)(6.25，59.58)(9.62，54.12)(11.72，46.36)(12.35，36.72)(12.57，30.71)。

采用直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)，手工就可以編制刀具加工路徑，完成零件加工。

2.2 數(shù)控程序編制

首先進(jìn)行加工工藝分析，此為典型的盤類零件，在普通數(shù)控機(jī)床上就可以加工，夾具選用三抓卡盤，刀具選用普通外圓車刀，分為兩頭加工，一端加工完成后留一定長(zhǎng)度的定位外伸，通過(guò)以上計(jì)算，加工相關(guān)參數(shù)已經(jīng)完備，采用G71 復(fù)合循環(huán)指令進(jìn)行編程，然后選擇刀具及裝夾方式，刀具:1 號(hào)刀為90°外圓刀，刀尖角為55°;2 號(hào)刀為切斷刀，刀位點(diǎn)在左刀尖，刀寬為3mm;裝夾:采用三爪卡盤。最后確定加工路線。

編制程序如下:

2.3 實(shí)際加工仿真

編程的加工程序，只是對(duì)加工軌跡的再現(xiàn)。不能說(shuō)明加工程序就能直接用于實(shí)際加工。為了檢驗(yàn)編制的加工程序、選擇的刀具和設(shè)置的加工參數(shù)是否符合實(shí)際加工的需要，本文利用宇龍數(shù)控仿真軟件，模擬實(shí)際加工過(guò)程，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。

在宇龍數(shù)控仿真系統(tǒng)中，選擇機(jī)床類型為華中世紀(jì)星，采用與真實(shí)機(jī)床實(shí)際加工同樣的方法裝刀、對(duì)刀、裝夾工件，選擇自動(dòng)加工模式，選擇生成的程序，開始仿真加工，加工情況如圖6 所示，如出現(xiàn)刀具干涉情況則需分析原因，然后回重新設(shè)計(jì)刀具軌跡，直至不出現(xiàn)刀具干涉為止。此時(shí)所得到的程序的就可以直接用于實(shí)際加工了。

圖6 實(shí)際加工仿真

2.4 實(shí)際加工

經(jīng)過(guò)宇龍數(shù)控系統(tǒng)仿真驗(yàn)證，程序沒有問題，然后就可以直接在機(jī)床上進(jìn)行實(shí)際加工，實(shí)際加工出來(lái)的刀體樣件如圖7 所示(注:實(shí)際加工時(shí)未加工刀盤中心孔，主要加工內(nèi)容為刀具廓形)，經(jīng)檢驗(yàn)，加工出的零件完全符合相關(guān)要求，說(shuō)明此方法具有很強(qiáng)的使用價(jià)值。

圖7 實(shí)際加工的刀盤

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)具有自由曲線輪廓的盤類零件，本文依據(jù)曲率變化情況，用圓弧和直線去擬合 輪廓曲線，使難以實(shí)現(xiàn)手工編程的復(fù)雜盤類零件的加工，變成了可能，簡(jiǎn)化了程序的編制，提高了加工的效率。并可以在其他零件的加工當(dāng)中應(yīng)用，具有一定的實(shí)用推廣價(jià)值。

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