雙圓弧齒輪傳動多目標優(yōu)化設(shè)計

郭 波，鄒麗梅

(武夷學(xué)院 電子工程系，福建 武夷山 354300)

0 引言

雙圓弧齒輪傳動是近幾十年發(fā)展起來的一種新型齒輪傳動。它具有承載能力高、使用壽命長以及能在高速和重載條件下工作的特點。目前國內(nèi)外針對雙圓弧齒輪傳動系統(tǒng)的研究尚處于初級階段。從它的基礎(chǔ)理論、設(shè)計方法到實際應(yīng)用，還有許多問題有待解決。

雙圓弧齒輪的齒形參數(shù)直接影響著雙圓弧齒輪的承載能力和傳動性能，而齒輪參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計還是目前研究中的薄弱環(huán)節(jié)。本文根據(jù)齒輪嚙合原理、雙圓弧齒輪的設(shè)計方法和規(guī)范，擯棄傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化設(shè)計方法，對現(xiàn)有的用于兩目標優(yōu)化設(shè)計的粒子群優(yōu)化設(shè)計技術(shù)加以改進，給出約束3 目標現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計方法，在追求綜合性能最優(yōu)的前題下對雙圓弧齒輪的齒形參數(shù)進行優(yōu)化，以充分發(fā)揮雙圓弧齒輪傳動系統(tǒng)的潛能，達到最佳的技術(shù)經(jīng)濟指標。

1 縱向重合度

縱向重合度εβ對雙圓弧齒輪的承載能力、振動和噪聲有重大的影響。合理選用重合度，可以提高齒輪傳動的承載能力，減輕振動和噪聲。

重合度由整數(shù)部分με和尾數(shù)部分Δε 組成:

選取較大的重合度，可以提高傳動平穩(wěn)性和承載能力。但是采用大重合度時，傳動系統(tǒng)對齒距誤差、齒向誤差、軸線平行度誤差和軸系變形量會特別敏感。因此采用大重合度時，必須嚴格限制齒距誤差、齒向誤差、軸線平行度誤差和軸系變形量。否則不能保證幾個接觸跡均勻地承擔(dān)載荷，不能達到傳動平穩(wěn)和應(yīng)有的承載能力。

尾數(shù)Δε 取得太小時，則當(dāng)接觸跡進入或脫開齒面時，端部齒根彎曲應(yīng)力過大，容易引起齒端崩角。隨著尾數(shù)的增大，端部應(yīng)力將有所減小。但Δε 增大到0.4 以上之后，應(yīng)力減小緩慢。Δε 取得太大時，增加了齒寬而不能使每一瞬間都增加接觸跡數(shù)目［1］。

整數(shù)部分με的常用范圍為1 ～6，尾數(shù)部分Δε的常用范圍為0.2 ～0.4。

綜上所述，為選取適宜的縱向重合度，本文改變傳統(tǒng)的設(shè)計方法中將重合度作為約束條件的做法，而將重合度作為一個追求的目標函數(shù)。

2 齒面相對主曲率

圓弧齒輪的嚙合齒面是一對共軛齒面。一對共軛齒面的曲率情況用相對主曲率來表征。

式中:kmax—齒面相對主曲率，mm－1;

i—傳動比;

α—壓力角，(°);

β—螺旋角，(°);

Z1—小齒輪齒數(shù);

mn—模數(shù)，mm。

根據(jù)Hertz 彈性接觸理論，齒面相對主曲率越小(即相對曲率半徑越大)，齒面接觸應(yīng)力越小，接觸強度越高;根據(jù)彈性流體動力潤滑理論［2］，齒間最小油膜厚度越大，抗膠合能力越強。因此，以追求齒面相對主曲率最小作為第二個目標函數(shù)。

3 雙圓弧齒輪傳動約束多目標粒子群優(yōu)化設(shè)計

為使雙圓弧齒輪傳動獲取最佳的技術(shù)經(jīng)濟效果，本文以縱向重合度在一定條件下最大、齒面相對主曲率最小及齒輪傳動總體積最小為同時追求的三個目標函數(shù)，這是一個3 目標優(yōu)化問題。3 個目標沒有公度性，且相互關(guān)聯(lián)、相互制約、相互沖突，不宜用傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法進行處理。這是因為傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法是將3 個子目標通過權(quán)重的設(shè)置聚合成一個帶正數(shù)的單個目標函數(shù)進行優(yōu)化，系數(shù)由決策者決定，或者由優(yōu)化方法自適應(yīng)調(diào)整。傳統(tǒng)方法在處理這類問題時至少存在著如下兩個缺陷:首先，3 個目標函數(shù)沒有相同的物理含義，量綱不一致，沒有可比性，將3 個目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個單目標函數(shù)缺乏科學(xué)性;其次，通過權(quán)重的設(shè)置將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題，帶有較濃重的主觀色彩，難以反映客觀真貌。權(quán)重的設(shè)置要求設(shè)計者有長期的研究經(jīng)驗和厚重的領(lǐng)域知識，稍有偏差就會大大影響多目標最優(yōu)解的產(chǎn)生，因此合適地選取權(quán)重并非易事。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)［3-4］在解決約束多目標優(yōu)化問題中得到有效應(yīng)用。在文獻［5-6］中提出的尋優(yōu)原則和搜索方法基礎(chǔ)上，給出本文范例約束3 目標粒子群優(yōu)化算法。算法并非將3 個子目標函數(shù)通過權(quán)重的設(shè)置聚合成為一個單目標進行優(yōu)化，而是首先在可行域內(nèi)初始化一個粒子群體，然后通過各個子目標函數(shù)共同指導(dǎo)每個粒子在可行域中向3 個目標函數(shù)不同時增大的方向一步步搜尋，最終使粒子落入非劣最優(yōu)目標函數(shù)空間。

具體實現(xiàn)要點如下:①以縱向重合度的倒數(shù)f1(X)、齒面相對主曲率f2(X)及雙圓弧齒輪傳動總體積f3(X)中的每個目標函數(shù)，找到粒子群體中相對應(yīng)的全局極值G［j］(其中j =1，2，3 是目標函數(shù)的個數(shù))和每個粒子的個體極值P［i，j］(其中i =1，2，…，N是粒子群體中的粒子個數(shù))。②在更新每個粒子的速度(相當(dāng)于有向步長)時，用各個G［j］的均值g 作為全局極值。③每個粒子的個體極值P［i，j］是通過判斷矢量P［i，j］相對于矢量G［j］的離散程度來決定，是取P［i，j］的均值，還是在P［i，j］中隨機選取。

算法流程如下，①給定算例粒子群規(guī)模N，在可行域內(nèi)隨機產(chǎn)生各粒子的位置Xi和速度Vi(i=1，2，…，N)。②用目標函數(shù)f1(X)、f2(X)和f3(X)分別計算每個粒子的適應(yīng)度值。③在f1(X)、f2(X)和f3(X)下分別對每個粒子求得個體極值。④對f1(X)、f2(X)和f3(X)分別求三個全局極值。⑤計算三個全局矢量的均值g 和每兩個全局矢量之間的距離d。⑥計算每個粒子個體極值之間的距離dP［i］。⑦對每個粒子計算更新速度Vi和位置Xi時所用的個體極值Pi，如果dP［i］＜d，則在每個粒子對于f1(X)的個體極值P［1，i］、對于f2(X)的個體極值P［2，i］和對于f3(X)的個體極值P［3，i］之間隨機選取一個個體極值作為Pi;否則，取P［1，i］、P［2，i］和P［3，i］的平均值作為Pi。⑧用⑤、⑦所得的g 和Pi按下式更新每個粒子速度Vi(表征搜索方向和步長)和位置Xi:

式中，ω 為慣性因子，c1和c2是學(xué)習(xí)因子，rand()和Rand()是介于(0，1)之間的隨機數(shù)。更新后檢驗每個新粒子是否在可行域內(nèi)，若不在可行域內(nèi)，則重更新，直到在可行域內(nèi)為止。⑨設(shè)置循環(huán)迭代次數(shù)。若達到該次數(shù)，結(jié)束;否則回②。

4 優(yōu)化范例

4.1 算例描述

功率P=9000kW，轉(zhuǎn)速n1=6054r/min，n2=1485r/min，每天24 小時連續(xù)運行，持久壽命設(shè)計。大小齒輪材料均選用42CrMo，單級人字齒輪結(jié)構(gòu)，齒形為GB/T12759-1991 標準雙圓弧齒廓，齒輪精度不低于6 級(GB/T15753-1995)。

4.2 選取5 個設(shè)計變量

式中:X1—小齒輪齒數(shù);X2—法向模數(shù);

X3—齒寬系數(shù);X4—螺旋角;

X5—齒端修薄長度。

4.3 建立目標函數(shù)

(1)將縱向重合度

(2)將齒面相對主?曲率

最小作為第二個追求的目標;

(3)將齒輪傳動總體積

最小作為第三個追求的目標;

4.4 確定約束條件

依據(jù)文獻［7］和工程經(jīng)驗確定齒面接觸疲勞強度約束條件、齒根彎曲疲勞強度約束條件、齒寬系數(shù)約束條件、齒端修薄長度約束條件及限定設(shè)計變量的上下界。

4.5 優(yōu)化計算

用MATLAB 進行程序設(shè)計計算，循環(huán)300 次，結(jié)果得到60 組可行解及相應(yīng)的目標函數(shù)值，非劣最優(yōu)目標域如圖1 所示。

圖1 非劣最優(yōu)目標域

決策者可根據(jù)自己的偏好選擇其中的一組解作為最終方案。例如，選擇綜合性能都較佳的第22 組解作為最終方案:

式中:φα—齒寬系數(shù);

δ—齒端修薄長度;

其它符號意義同前。

5 結(jié)論

(1)本文給出了3 目標粒子群優(yōu)化方法，并對范例成功地進行了優(yōu)化，優(yōu)化設(shè)計出的雙圓弧齒輪傳動即具有較高的接觸強度、抗膠合能力、較好的平穩(wěn)性及嚙合特性，又具有較低的產(chǎn)品成本。能夠充分地發(fā)揮擺針傳動系統(tǒng)的潛質(zhì)，比傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化設(shè)計方法及通過每一單目標進行優(yōu)化的現(xiàn)代方法具有明顯的科學(xué)合理性。

(2)由于其它齒輪的設(shè)計計算與雙圓弧齒輪傳動有相似的原理，可以將本文的優(yōu)化方法拓展到其它齒輪傳動中。該方法對于其他相類似的復(fù)雜機械傳動系統(tǒng)的約束多目標優(yōu)化研究也具有一定的適用價值。

［1］陳諶聞. 圓弧齒圓柱齒輪傳動［M］. 北京:高等教育出版社，1995.

［2］溫詩鑄，黃平. 摩擦學(xué)原理［M］. 北京:清華大學(xué)出版社，2002.

［3］Kennedy J，Eberhart R. Particle swarm optimization［C］//IEEE International Conference on Neural Networks:Perth，Australia Piscataway NJ:IEEE Service Center，1995:1942－1948.

［4］Eberhart R，Kennedy J. A new optimizer using particle swarm theory［C］//Roc. Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science:Nagoya，Japan Piscataway，NJ:IEEE Service Center，1995:39－43.

［5］張敏. 約束優(yōu)化和多目標優(yōu)化的進化算法研究［D］. 合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.

［6］張利彪，周春光，馬銘，等. 基于粒子群算法求解多目標優(yōu)化問題［J］. 計算機研究與發(fā)展，2004，41(7):1287－1290.

［7］齒輪手冊編委會. 齒輪手冊［M］. 北京:機械工業(yè)出版社，2005.