對接種條件下時滯雙病毒感染模型的穩(wěn)定性分析

侯新華，王 菲

(1.湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院商貿(mào)旅游系，中國長沙 410208;2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，中國長沙 410082)

流感是一種十分普遍的傳染病，該傳染病每年給人類的健康帶來了嚴(yán)重的威脅，同時也造成了巨大的經(jīng)濟損失.流感的傳播主要依靠流感病毒的擴散.流感病毒最大的特征是可以發(fā)生變異，造成患者的免疫系統(tǒng)對流感病毒的識別失效.目前，主要有3 種流感病毒，分別是A，B，C 型，其中每種病毒都有其子類型病毒和菌種.據(jù)了解，子類型的病毒是由活動激烈的抗原的改變即抗原轉(zhuǎn)變產(chǎn)生的，但是一些發(fā)生在病毒抗原中的微小但是連續(xù)的變化即抗原漂移可以產(chǎn)生一個新的菌種，一旦這種新菌種出現(xiàn)，能識別舊菌種的抗體無法識別這個新菌種，此時，便會出現(xiàn)新菌種的感染.這也就是人會不止一次感染流感病毒的原因［1-2］.

接種是目前預(yù)防季節(jié)性流感的重要手段，但2009年出現(xiàn)的H1N1 A 型病毒給了我們一個很好的啟發(fā):由于人們無法預(yù)見流感病毒的變異類型，研究人員只能針對現(xiàn)有流感病毒類型研制疫苗，加上疫苗的研制時間較長，等到疫苗研制成功時，病毒可能已經(jīng)發(fā)生了變異，因此新研制而成的疫苗可能對變異的病毒失去作用［3-15］.本文針對這一情形，假設(shè)有2 種病毒同時入侵易感者，若接種所使用的疫苗只對其中一種病毒起作用，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并研究模型的動力學(xué)性質(zhì).

1 模型的建立及平衡點的穩(wěn)定性分析

1.1 模型的建立

假設(shè)存在2 種不同的病毒入侵易感者，其中病毒1 是一種毒性溫和且已有疫苗的流感病毒，病毒2 是與病毒1 的子型在抗原上不相關(guān)的新病毒，需要足夠的時間去研究它的疫苗，為了建立這種情況下的動力學(xué)模型，按例把種群分為5 部分，分別是易感人群，對病毒1 免疫的人群，感染病毒1 的人群，感染病毒2 的人群和康復(fù)人群，分別記為S，V1，I1，I2，R.假設(shè)有1 個恒定的人群因為出生或者遷移進入易感人群的范圍，并且無疑會被感染.易感人群以比例r 注射病毒1 的疫苗，并且被病毒1 和病毒2 感染的人群的傳播系數(shù)分別是β1和β2，V1被病毒2 感染的比率是k，假設(shè)患者一旦從病毒1 或者2 的感染中恢復(fù)，就不會再感染.在這個基礎(chǔ)模型中，通過建模，最終可以求解出無病平衡點，2 個單株地方病平衡點，和一個多株地方病平衡點，并且可以證明其全局穩(wěn)定性.在本文中，為了使模型進一步完善，考慮了免疫期和潛伏期，因此為模型添加了時滯因素［2-5］，具體見框圖1.

圖1 時滯因素模型圖Fig.1 Model of time delay factor

由上述框圖可以得到以下數(shù)學(xué)模型:

其中，所有參數(shù)都是正數(shù).S(t)為t 時刻的易感者數(shù)目，Ii(t)為易感者在t 時刻被第i 個病毒所感染的感染者數(shù)目，R(t)為t 時刻的恢復(fù)個體數(shù)目，Λ 為種群補充率，為平均壽命，r 為疫苗對病毒1 的接種率，β1為易感者與第1 類感染者的接觸效率，β2為易感者與第2 類感染者的接觸效率，為病毒1 的平均感染時間，為病毒2 的平均感染時間，p1為感染第1 種病毒的患者的死亡率，p2為感染第2 種病毒的患者的死亡率，k 為接種或易感者感染病毒2 生物的感染率，τ 為病毒1 的潛伏期.根據(jù)模型的生物意義，假設(shè)方程組(1)中的所有參數(shù)皆為正常數(shù).

由于方程組(1)的前4 個方程與最后的方程無關(guān)，所以只須考慮如下方程組

考慮到方程組(2)的生物意義，方程組(2)的初始條件為

其中R+=［0，∞).根據(jù)時滯微分方程的基本理論可知:對于給定的初始條件(3)，系統(tǒng)(2)在［0，+∞)上存在唯一的連續(xù)解.

1.2 解的非負(fù)性與有界性

下面考慮模型(2)的解的非負(fù)性和有界性.

定理1對于給定的初始條件(3)，系統(tǒng)(2)的解是非負(fù)的，并且存在M ＞0，使得對任意的t ≥0，都有S(t)≤M，V1(t)≤M，I1(t)≤M，I2(t)≤M.

證由系統(tǒng)(2)的第1 個方程可得

因此，由系統(tǒng)(2)的第2 個方程可得

由系統(tǒng)(2)的第3 個方程有

由逐步迭代可知I1(t)≥0 對所有t ≥0 成立.由系統(tǒng)(2)的最后1 個方程可得I2(t)=下面證明解的有界性.設(shè)沿系統(tǒng)(2)的解對L(t)求導(dǎo)可得

1.3 系統(tǒng)的平衡點存在性

求系統(tǒng)(2)的平衡點對應(yīng)于下列代數(shù)方程組的解

2)，其中

顯然，單株地方病平衡點E1存在當(dāng)且僅當(dāng)

解得

將式(7)代入式(6)得

又由式(5)得

聯(lián)立式(8)和式(9)得

1.4 基本再生數(shù)的計算

記行列式

可計算得

于是，定義基本再生數(shù)如下

1.5 平衡點的全局穩(wěn)定性分析

函數(shù)g(x)=x－1－ln x 對平衡點穩(wěn)定性分析發(fā)揮著主要作用，容易證明:在定義域內(nèi)，g(x)為非負(fù)函數(shù)，且存在唯一極小值點x=1，滿足g(x)≥g(1)=0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1.

1.5.1 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

根據(jù)時滯微分方程的穩(wěn)定性理論，需構(gòu)造合適的Lyapunov 泛函.

定理2當(dāng)基本再生數(shù)R0=max{R1，R2}≤1 時，無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證記，沿系統(tǒng)(2)的解分別對U1和U2求導(dǎo)得

構(gòu)造如下Lyapunov 泛函

沿系統(tǒng)(2)的解求導(dǎo)得

因此，當(dāng)R1≤1 和R2≤1 時，U'(t)≤0，并且不難發(fā)現(xiàn)，U'(t)=0 當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=S0，V1(t)=I1(t)=I2(t)=0，因此，由Lyapunov-LaSalle 不變原理可知:E0是全局漸近穩(wěn)定的.

1.5.2 單株地方病E1處的全局穩(wěn)定性

定理3當(dāng)基本再生數(shù)R1＞1 且R2≤1 時，則當(dāng)初始條件滿足φi(0)＞0(i=1，2，3，4)時，單株地方病平衡點E1是全局漸近穩(wěn)定的.

證由前面的討論可知:當(dāng)R1＞1 時，單株地方病平衡點E1是存在的.同時，由定理1 的證明過程可知:當(dāng)φi(0)＞0(i=1，2，3，4)，系統(tǒng)(2)的所有解都是大于0 的.考慮下列泛函

沿系統(tǒng)(2)的解對上述各泛函求導(dǎo)可得

構(gòu)造Lyapunov 如下

沿系統(tǒng)(2)的解對其求導(dǎo)得

因此，當(dāng)R1＞1 且R2≤1 時，U'(t)≤0，且不等號成立的條件為0，因此，由Lyapunov-LaSalle 不變原理可知:E1是全局漸近穩(wěn)定的.

1.5.3 單株地方病平衡點E2的全局穩(wěn)定性

定理4當(dāng)基本再生數(shù)R1≤1 和R2＞1 時，則當(dāng)初始條件滿足φi(0)＞0(i=1，2，3，4)時，單株地方病平衡點E2是全局漸近穩(wěn)定的.

證同樣由前面的討論可知:當(dāng)R2＞1 時，單株地方病平衡點E2是存在的.同時，系統(tǒng)(2)的所有解都是大于0 的.

考慮如下泛函

沿系統(tǒng)(1)的解對上述各泛函求導(dǎo)得

顯然，可以看出，R1≤1 及R2＞1 時，U'(t)≤0，且不等號成立的條件為，因此，由Lyapunov-LaSalle 不變原理可知:E2是全局漸近穩(wěn)定的.

2 結(jié)論及生物意義

考慮到傳染病患者接種因素，本文通過對雙株傳染病模型中引入時滯，得到了一個時滯傳染病動力學(xué)方程.通過對模型的分析，得到了無病平衡點和單株地方病平衡點的全局穩(wěn)定性條件.具體而言，當(dāng)基本再生數(shù)R0=max{R1，R2}≤1 時，證明了無病平衡點E0(S0，V10，0，0)是全局漸近穩(wěn)定的，這表明2 種傳染病都將最終消亡;當(dāng)再生數(shù)R1＞1 且R2≤1 時，證明了單株地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.這說明第2 種傳染病將最終消亡;當(dāng)再生數(shù)R1≤1 且R2＞1 時，證明了單株地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，這說明第1 種傳染病將最終消亡.

由于R1和R2都是關(guān)于接種率r 遞減的，因此，提高接種率有利于抑制2 種傳染病的流行.同時，我們亦可以看出R1也是關(guān)于時滯τ 遞減的，這也表明，疾病的長潛伏期也是有利于抑制傳染病流行的.

［1］馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［2］BRITTON N F.Essential Mathematical Biology［M］.Springer-Verlag:London Berlin Heidelberg，2003.

［3］RAHRMAN S M，ZOU X F.Flu epidemics:a two strain flu model with a single vaccination［J］.J Biol Dyn，2011，5(6):376-390.

［4］HETLCOTE H W.The mathematics of infectious diseases［J］.SIAM Rev，2000，42(4):599-653.

［5］MCCLUSKEY C C.Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-distributed or discrete［J］.Nonlinear Analysis RWA，2010，11(1):55-59.

［6］史培林，董玲珍.具脈沖預(yù)防接種的SIRS 傳染病模型中地方病周期解的存在性［J］.數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識，2011，41(7):156-162.

［7］魏 巍，劉少平.脈沖接種作用下的SIQR 傳染病模型的定性分析［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，19(增):66-69.

［8］張慧敏.具有垂直傳染和脈沖常量接種的SIR 模型［J］.中北大學(xué)學(xué)報，2007，28(S1):1-5.

［9］劉開源陳蘭蓀.一類具有垂直傳染和脈沖免疫的SIRS 傳染病模型的全局分析［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30(3):323-333.

［10］趙文才，孟新柱，張子葉.一類具有傳染率的脈沖免疫接種SIRS 模型［J］.數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識，2009，59(12):80-65.

［11］龐國萍，陶鳳梅，陳蘭蓀.具有飽和傳染率的脈沖免疫接種SIRS 模型分析［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報，2007，47(3):460-464.

［12］王 莉.一類脈沖周期邊值問題多個正解的存在性［J］.湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2011，34(1):19-23.

［13］余越昕，房松林，李壽佛.一類剛性中立型延遲微分方程單支方法的穩(wěn)定性分析［J］.湘潭大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，2011，33(4):1-3.

［14］常 俠，袁朝暉.一類具免疫應(yīng)答和非線性感染函數(shù)的時滯HIV-1 感染模型的全局穩(wěn)定性［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2011，28(4):1-5.

［15］趙仕杰，袁朝暉.一類時滯SIR 傳染病模型的穩(wěn)定性與Hopf 分岔分析［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2010，27(3):16-23.