基于壓縮感知的模擬LFM信號采集

舒奇泉，賈 鑫

（1、裝備學院研究生院，北京101416；2、裝備學院光電裝備系，北京101416）

0 引言

現(xiàn)代雷達信號帶寬越來越寬，頻率越來越高，前端采樣受Nyquist采樣定理限制，硬件實現(xiàn)越來越困難。壓縮感知理論（CS）［1-2］指出，對于稀疏信號，可以突破Nyquist限制，以較小的采樣率得到較少的采樣值并精確重構信號。這樣，采樣率的要求由信號的信息量大小確定，而不是簡單地由信號頻率確定。在現(xiàn)有硬件的基礎上，引入壓縮感知理論，可以以較小的采樣率采集模擬LFM 信號，經(jīng)過數(shù)字化重構，得到數(shù)字信號以進行其他處理。經(jīng)過研究分析，壓縮感知理論對信號處理有良好的性能，對模擬信號的處理也可以實現(xiàn)。Matlab 仿真分析表明，基于壓縮感知的模擬LFM 信號采集系統(tǒng)突破了前端采樣Nyquist極限，具有較小的采樣率和較好的重構精度。

本文首先分析了壓縮感知基本原理和實現(xiàn)方式，然后通過理論推導分析基于壓縮感知的模擬信號處理方法，最后通過Matlab進行仿真驗證。

1 基本原理分析

LFM 信號因其大時寬帶寬積的優(yōu)良特性在雷達領域受到廣泛的應用［3］。典型的LFM 信號為：

式中，T 為脈沖寬度，f0為起始頻率，B 為信號帶寬，K＝B／T 為調(diào)頻斜率。傳統(tǒng)采樣時，對模擬信號經(jīng)過下變頻、濾波等操作后再經(jīng)過ADC 可以轉換為數(shù)字信號。依據(jù)Nyquist采樣定理，對LFM 模擬信號采樣時，ADC采樣率fs至少為2B，才能無失真恢復信號。

2006年，Candes等公開發(fā)表了多篇關于壓縮感知基本理論的論文，為該理論奠定了基礎［1-2］。其數(shù)學描述如下：

設一維離散時間信號X 為RN空間的N×1維列向量，其分量為X（n）（n＝1，2，…，N）。把X 表示成為RN空間 上 的 一 組N×1 維 基 向 量的 線 性 組合，系數(shù)為αi（i＝1，2，…，N），其數(shù)學表達式為：

式中，Ψ 為基向量構成的矩陣，α 為系數(shù)組成的N×1維列向量，它與X 是同一個信號的等價表示方式。設計一個平穩(wěn)的、與變換基Ψ 不相關的觀測矩陣Φ（M×N），對原始信號X 進行觀測，得到觀測值Y 為ΦX，即Φψα，定義CS信息算子ACS為Φψ，則觀測值Y 等于ACSα，為信號X 通過ACS進行非自適應觀測的結果，且Y 的維數(shù)為M。信號重構時，要從得到的維度為M的觀測值中求解維數(shù)為N 的X，M＜N，通常意義上無法求解。理論證明，在滿足限制等距性（RIP）［4］的條件下，可以利用線性規(guī)劃求出最優(yōu)解。利用0-范數(shù)意義下的優(yōu)化問題求解X：

RIP準則數(shù)學定義為：

理論指出，要應用壓縮感知，信號要具有稀疏性，或者在某個確定的域里面稀疏。信號稀疏性可定義為：

滿足式（5）的系數(shù)向量α 在某種意義下是稀疏的。常見自然信號往往不是標準的稀疏信號，需要用變換基進行稀疏表示。為了能夠更好地稀疏表示信號，文獻［5］提出了基于正交基字典的稀疏表示方法。即在由多個正交基構成的樹形正交基字典中自適應地尋找信號的最優(yōu)正交基，對信號進行變換以得到信號的最稀疏表示。

2 基于壓縮感知的模擬信號處理

以上壓縮感知處理方法均是矩陣運算，難以硬件實現(xiàn)。為此，有學者提出了新的信號處理結構：寬帶調(diào)制轉換器（MWC）［6-7］，把壓縮感知理論應用到模擬信號處理領域，實現(xiàn)在采樣的同時壓縮數(shù)據(jù)，不但可以降低采樣率，也可以減少數(shù)據(jù)量，降低采樣系統(tǒng)的存儲要求，因此受到了極大關注。

2.1 MWC系統(tǒng)采樣

MWC系統(tǒng)實現(xiàn)框圖如圖1所示。輸入的模擬信號最大頻率為fmax，共含有N個寬度不超過B 的子頻帶。系統(tǒng)前端由不同的m個信道輸入信號，每個信道中的信號x（t）與周期為T 的波形p（t）相乘，再分別經(jīng)過截止頻率為1／（2T）的低通濾波器進行濾波，然后以1／T 的速率進行低速采樣，得到各個頻段內(nèi)的采樣值，用于信號的重建。

圖1 MWC系統(tǒng)實現(xiàn)框圖

混合函數(shù)p（t）具有周期性，每個周期內(nèi)以伯努利分布隨機取值M個±1，M 即代表了降采樣率。時域模型可以表示為：

式中，αik為｛1 -1｝ 。同時，可以得到周期函數(shù)pi（t）的傅里葉變換Pi（t）為：

式中，cil表示混合信號的傅里葉系數(shù)：

信號與混合函數(shù)相乘再通過傳遞函數(shù)為H（f）的理想低通濾波器，然后以fs為采樣率進行低速采樣得到輸出yi（n），其DTFT 分別可以表示為：

式中，L0的選取標準為：

考慮式（9）的矩陣形式，可以寫為：

式中，y（f）和z（f）分別為m 維和L（即2L0＋1）維的向量，向量元素為：

而矩陣A 為維m×L，元素為系數(shù)cil：

觀察式（2）與式（11）可知，其形式相同，可利用壓縮感知理論解出式（11），重構出原信號。

2.2 MWC系統(tǒng)信號重構

從得到的采樣值中恢復原信號，MWC 重構模塊結構圖如圖2所示。

圖2 MWC系統(tǒng)重構模塊

由于得到的是連續(xù)采樣值，需要轉化為離散矩陣形式便于計算，此過程由連續(xù)到有限（CTF）模塊［6］完成，其結構如圖3所示。

圖3 CTF模塊結構示意圖

CTF首先建立測量值的框架V。在采樣時間nTs時，得到采樣值向量為y（n）＝［y1（n），y2（n），…，ym（n）］T，以此構造矩陣Q，表達式為：

在實際采樣中，一般只需要n＝2m 即可。然后對矩陣進行分解Q＝VVH，得到框架V。

此時可以利用OMP 等稀疏重構算法求解V＝AU，得到最稀疏矩陣~U，進一步得到信號支撐集S：

由S 求得AS，即取出A 中對應S 所在的列構成新矩陣。在（12）式中，對zi（f）做IDTFT得到zi（n），則：

式中 h （t） ＝sinc（ πt ／Ts），經(jīng) 過 調(diào) 制 得 到 重 構 模 擬信號：

研究表明，WMC適用于高頻率、多個窄帶的頻域稀疏信號［8］。文獻［9］指出了MWC 可以處理的信號有通信信號（包括跳頻信號、載頻未知且在較大范圍內(nèi)隨機出現(xiàn)的信號）、音頻信號、緩慢變化的Chirp信號（雷達信號、地震波信號）、平滑信號（只需要少量的傅里葉系數(shù)進行表示）、分段平滑信號等。

3 仿真實驗

Matlab仿真設置參數(shù)如下：LFM 信號帶寬B＝60MHz，脈沖寬度T＝-2μs，調(diào)頻斜率K＝3×1013，分別設置不同的初始頻率和噪聲環(huán)境，使用MWC 系統(tǒng)直接進行采樣，單個通道采樣率fs＝50MHz，得到測量值然后用OMP算法重構信號。

3.1 初始頻率為0的無噪聲信號重構

圖4、5分別表示了在初始頻率設置為0 的情況下，重構信號與原信號在時域、頻域（經(jīng)過放大）的對比?？梢钥闯觯貥嬚`差都比較小，實現(xiàn)了以低于Nyquist采樣率對LFM 信號的采樣。

圖4 初始頻率為0時信號重構時域對比

圖5 初始頻率為0時信號重構頻域對比

3.2 初始頻率為2GHz的無噪聲信號重構

圖6、7 分別表示了在初始頻率設置為2GHz的情況下，重構信號與原信號在時域（局部）、頻域（經(jīng)過放大）的對比。此時，頻率范圍為2～2.06GHz，仍然使用單個通道50MHz的采樣頻率直接進行采樣，仿真結果可以看出，重構相對誤差也比較小。頻域對比也說明了采樣的有效性。這表明，利用壓縮感知原理，可以實現(xiàn)以較小的采樣率對高頻率的LFM 信號直接進行采樣并準確重構原信號。

圖6 初始頻率為2GHz時信號重構時域對比

圖7 初始頻率為2GHz時信號重構頻域對比

3.3 初始頻率為0的含噪聲信號重構

加入隨機噪聲，設置輸入信噪比為15dB，初始頻率設置為0，仿真結果如圖8、9所示?？梢钥闯觯瑫r域重構信號相對原信號誤差較小，波形上要明顯優(yōu)于含噪聲信號，計算其信噪比可以得出SNR＝15.769dB，比原含噪聲信號有所提高，說明MWC 系統(tǒng)有一定的噪聲抑制功能，具有魯棒性。

圖8 含噪聲LFM 信號重構時域對比

在硬件實現(xiàn)上，高速隨機序列的產(chǎn)生可以使用線性移位寄存器，現(xiàn)行硬件可以產(chǎn)生頻率高達80Gb／s的隨機序列［10］，完全滿足采樣的頻率要求。隨后使用常規(guī)的模擬濾波器和低速ADC 就可以完成高頻率信號的低速采樣。綜合可見，基于壓縮感知的模擬LFM信號采集理論可行，硬件上也可以實現(xiàn)。

圖9 含噪聲LFM 信號重構頻域對比

4 結束語

根據(jù)壓縮感知基本原理，通過理論分析與仿真研究，驗證了壓縮感知理論應用到模擬信號處理中的可行性和優(yōu)越性。針對現(xiàn)代雷達LFM 信號帶寬越來越寬、常規(guī)采樣受Nyquist采樣定理限制使得硬件實現(xiàn)困難的問題，應用壓縮感知原理，以較低的采樣率實現(xiàn)信號的數(shù)字化采集和壓縮，從而突破了Nyquist極限。分析和仿真表明，基于壓縮感知的模擬LFM 信號采集系統(tǒng)具有較好的性能和可實現(xiàn)性。下一步，需要研究在大帶寬、頻率快速變化的情況下，提高壓縮感知信號重構的性能。同時，需要改進MWC系統(tǒng)，減少通道數(shù)，簡化硬件實現(xiàn)?！?/p>

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