自適應(yīng)天線抗干擾性能研究

曹 菲，毋 凡，胡中澤

（第二炮兵工程大學(xué)，陜西 西安710025）

0 引言

自適應(yīng)波束形成算法也稱為空域?yàn)V波算法，它是自適應(yīng)天線陣列的核心部分，決定著陣列空域?yàn)V波的性能。自適應(yīng)波束形成算法根據(jù)應(yīng)用環(huán)境的變化，通過不同的約束準(zhǔn)則來確定自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)，改變陣列方向圖，從而在理想信號(hào)方向上形成主波束，在干擾方向上形成零陷或較低的增益，實(shí)現(xiàn)抑制干擾和加強(qiáng)信號(hào)的目的。

1 適用于雷達(dá)抗干擾的自適應(yīng)波束形成準(zhǔn)則

在自適應(yīng)陣列處理中，根據(jù)空間環(huán)境的不同，自適應(yīng)濾波算法采用的約束準(zhǔn)則也不同，常用的約束準(zhǔn)則主要包括：最小均方誤差準(zhǔn)則（MMSE）、線性約束最小方差準(zhǔn)則（LCMV）、最大似然（ML）準(zhǔn)則、最大輸出信噪比準(zhǔn)則（MSNR）等［1］。

2 子空間正交投影

2.1 算法原理

子空間正交投影技術(shù)利用理想回波信號(hào)與干擾信號(hào)互不相關(guān)的特性，將接收信號(hào)首先分解成兩個(gè)互相正交的子空間，稱為信號(hào)子空間和干擾子空間，然后將接收信號(hào)投影到信號(hào)子空間，則投影后得到的信號(hào)即為消除干擾后的信號(hào)，子空間正交投影原理如圖1所示。

圖1 子空間正交投影原理

考慮陣元個(gè)數(shù)為M 的均勻線性陣列，陣元間距為d，d 等于雷達(dá)信號(hào)載波波長的一半。假設(shè)陣元之間各向同性，陣列接收到的信號(hào)經(jīng)過下變頻、采樣等處理后的信號(hào)模型可表示為：

式中，L 表示接收到的干擾信號(hào)個(gè)數(shù)，假設(shè)陣元個(gè)數(shù)大于干擾信號(hào)的個(gè)數(shù)，即M＞L。當(dāng)理想回波信號(hào)與干擾和噪聲信號(hào)彼此獨(dú)立時(shí)，陣列接收信號(hào)的互協(xié)方差矩陣Rxx可表示為：

式中，E（·）表示數(shù)學(xué)期望，H 代表Hermitian轉(zhuǎn)換，Rs，Rj和RN分別代表回波信號(hào)、干擾信號(hào)和噪聲的協(xié)方差矩陣。

Rxx為正定矩陣，對(duì)它進(jìn)行特征值分解可得到：

式中，ei代表對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量，并且M個(gè)特征向量e1，e2，…，eM互相正交，即滿足：

雷達(dá)系統(tǒng)中，回波信號(hào)的功率遠(yuǎn)低于干擾信號(hào)的功率，因此，在接收信號(hào)的互協(xié)方差矩陣Rxx中，功率占主導(dǎo)成分的是干擾信號(hào)部分，也就是說，對(duì)互協(xié)方差矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解后，L個(gè)較大的特征值（λ1，λ2，…，λL）對(duì)應(yīng)著空間中L個(gè)強(qiáng)干擾信號(hào)，M-L個(gè)較小特征值（λL＋1，λL＋2，…，λM）對(duì)應(yīng)于背景熱噪聲和理想回波信號(hào)。將特征值λi按從大到小順序排列，即λ1≥λ2≥…≥λM，則Rxx可重寫為：

將L個(gè)較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量擴(kuò)展構(gòu)成M×L維的干擾子空間，M-L個(gè)較小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量擴(kuò)展構(gòu)成M×（M-L）維的信號(hào)子空間。分別記為：

式中，SJ表示擴(kuò)展的干擾子空間，SG表示擴(kuò)展的信號(hào)子空間，由式（4）可知，它們彼此正交，記做SJ⊥SG，因此，如果將接收信號(hào)X（n）投影到信號(hào)子空間SG，則其中的強(qiáng)干擾信號(hào)將被消除。

令PG表示接收信號(hào)在信號(hào)子空間的投影矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)［2］，PG可以由下式計(jì)算得到：

式中，SJ被假設(shè)為滿秩的干擾子空間矩陣，稱作SJ的Moore-Penrose偽逆矩陣。

令W 表示自適應(yīng)陣列的權(quán)值系數(shù)，A 為陣列的導(dǎo)向矢量矩陣，則子空間投影下的最優(yōu)化權(quán)值可表示為：

接收信號(hào)經(jīng)過子空間正交投影后，其輸出可表示為：

將式（1）代入式（9），由于干擾信號(hào)與雷達(dá)回波信號(hào)彼此獨(dú)立，則可以得到：

由式（10）可知，經(jīng)過子空間投影后的陣列輸出信號(hào)已經(jīng)不再包含強(qiáng)干擾信號(hào)成分，干擾信號(hào)被有效抑制。

2.2 子空間跟蹤算法

由上面的理論分析可以得知，子空間正交投影算法可以有效地消除干擾，但這種算法通常需要對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行特征值分解或進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，傳統(tǒng)的子空間分解方法，如特征值分解（EVD）和奇異值分解（SVD），算法的計(jì)算復(fù)雜度為O（N3），這里N 為輸入數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù)。

為了簡化子空間分解的運(yùn)算量，一些基于子空間跟蹤的分解算法被陸續(xù)提出。這類算法中比較有代表性的是Yang 在1995年提出的投影逼近子空間跟蹤（PAST）算法，它將信號(hào)子空間看作一個(gè)無約束最小化問題的最優(yōu)解，并用投影逼近的方法簡化了最優(yōu)化問題，然后使用遞推最小二乘法對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行跟蹤。

投影逼近子空間跟蹤算法具有收斂速度快、運(yùn)算簡單等特點(diǎn)，但它得到的子空間不是完全正交的。文獻(xiàn)［3］又在該算法的基礎(chǔ)上提出了一些改進(jìn)措施，首先對(duì)估計(jì)的信號(hào)子空間進(jìn)行正交化處理等以得到嚴(yán)格正交的特征矢量，然后再進(jìn)一步得到正交的信號(hào)子空間。

2.3 約束化的子空間跟蹤算法

盡管利用進(jìn)一步正交化處理可以得到正交的子空間，但卻額外增加了算法的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)［4］給出了一種新的子空間跟蹤思想：將信號(hào)子空間作為一個(gè)有約束最小化問題的最優(yōu)解，并用遞歸的投影逼近方法得到估計(jì)子空間，稱為約束投影逼近子空間跟蹤算法（CPAST），該算法的計(jì)算復(fù)雜度為O（Mr），非常適合實(shí)時(shí)執(zhí)行。

本文提出將約束化投影逼近子空間跟蹤應(yīng)用于雷達(dá)自適應(yīng)波束形成算法。通過對(duì)CPAST 算法進(jìn)行理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)仿真研究了該算法在雷達(dá)系統(tǒng)中的抗干擾性能。

假設(shè)接收信號(hào)X（n）仍如式（1）所示，R＝E（x（n）xH（n））表示觀察數(shù)據(jù)X（n）的相關(guān)矩陣，考慮如下的約束最優(yōu)化問題：

式中，y（n）＝WH（n-1）x（n），Ir是r×r 特征矩陣，W（n）是M×r維滿秩矩陣，代表子空間的正交基。式（11）的代價(jià)函數(shù)與PAST 算法的代價(jià)函數(shù)類似，可由此得到信號(hào)子空間，同時(shí)，約束條件保證了信號(hào)子空間的正交性。

由文獻(xiàn)［5］可知，最優(yōu)權(quán)值W（n）可由下式得出：

從式（12）可以看出，CPAST 算法中只需要計(jì)算互相關(guān)矩陣Rxy（n），不需要計(jì)算Rxy（n），因而有效地減少了算法的復(fù)雜度。為了進(jìn)一步減少運(yùn)算量，文獻(xiàn)［5］也提出了一種快速的CPAST 算法，其算法步驟如下：

選擇初始值：W（0）＝［I，…，0］；

由前面的分析可知，在干擾環(huán)境下，雷達(dá)接收天線接收到的信號(hào)中，回波信號(hào)的功率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于干擾信號(hào)功率。子空間跟蹤的目的是得到干擾子空間的估計(jì)，或包含理想雷達(dá)回波信號(hào)的信號(hào)子空間估計(jì)［6］。通過將接收信號(hào)投影到信號(hào)子空間，或從接收信號(hào)中減去其在干擾子空間中的投影，即可消除強(qiáng)干擾。

3 抗干擾性能仿真

本節(jié)驗(yàn)證約束化子空間跟蹤算法在雷達(dá)自適應(yīng)天線中的抗干擾性能。首先建立信號(hào)仿真環(huán)境，模擬產(chǎn)生不同類型、不同入射方向上的干擾信號(hào)，然后通過Matlab軟件仿真研究約束化子空間跟蹤算法在單個(gè)干擾、多個(gè)干擾存在情況下的抗干擾性能。

1）單個(gè)干擾

假設(shè)到達(dá)天線陣列的信號(hào)由理想回波信號(hào)與一個(gè)干擾信號(hào)組成，干擾信號(hào)為寬帶干擾，其頻率范圍為0～0.25 fs，這里fs為采樣頻率。假設(shè)回波信號(hào)與干擾信號(hào)的方位角均為90°，即兩個(gè)信號(hào)來自同一空間平面。回波信號(hào)和干擾信號(hào)的俯仰角分別為10°和-60°。令干擾信號(hào)與回波信號(hào)的功率比，即干信比為50dB。信號(hào)頻譜圖如圖2所示。

圖2 包含一個(gè)寬帶干擾信號(hào)的頻譜圖

仿真中采用8陣元的均勻線性陣列。雷達(dá)接收機(jī)首先將接收信號(hào)下變頻到中頻或基帶部分進(jìn)行數(shù)字處理。對(duì)上述場景中的信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，利用約束化子空間跟蹤處理得到陣列最優(yōu)化權(quán)值矢量W，根據(jù)最優(yōu)權(quán)值W 對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)波束處理可以得到如圖3所示的陣列方向圖。

圖3 寬帶干擾存在條件下的陣列方向圖（干擾方向?yàn)?60°）

從圖3可以看出，應(yīng)用約束化子空間跟蹤處理后，天線方向圖在干擾方向上產(chǎn)生了很深的零陷，因而可以有效抵消掉干擾信號(hào)。子空間正交投影后信號(hào)的頻譜特性，如圖4所示。

圖4 子空間正交處理后的信號(hào)頻譜

從圖4的頻譜圖上可以更清楚地看出，相對(duì)于圖2，子空間正交投影處理后，信號(hào)中的強(qiáng)干擾部分已經(jīng)被消除，其成分為高斯白噪聲和理想的雷達(dá)回波信號(hào)。根據(jù)仿真結(jié)果可以得出，利用子空間跟蹤算法能夠很好地抑制強(qiáng)干擾信號(hào)，從而提高雷達(dá)接收機(jī)的抗干擾性能。

2）多個(gè)干擾

接下來考慮多個(gè)干擾同時(shí)存在的情況。假設(shè)到達(dá)天線陣列的信號(hào)包括回波信號(hào)和三個(gè)干擾信號(hào)。干擾信號(hào)為一個(gè)寬帶干擾和兩個(gè)單頻干擾，寬帶干擾的頻帶范圍為0～0.25 fs，fs為采樣頻率，單頻干擾的歸一化頻率分別為0.15fs和0.25 fs。仍然假設(shè)回波信號(hào)與干擾信號(hào)的方位角均為90°。干擾信號(hào)的俯仰角分別為40°、-10°和-60°。干信比均為50dB。

仍然采用8陣元的均勻線性陣列。首先采用約束化子空間跟蹤處理得到陣列最優(yōu)化權(quán)值矢量，然后利用最優(yōu)權(quán)值對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行加權(quán)處理，可以得到如圖5所示的陣列方向圖。

圖5 三個(gè)干擾情況下得到的陣列方向圖

從圖5可以看出，在多個(gè)干擾存在的情況下，子空間跟蹤算法仍然能夠在正確的方向上產(chǎn)生零陷，從而有效消除干擾信號(hào)。實(shí)際上，對(duì)于M個(gè)陣元的均勻線性陣列，其空間自由度為M-1，最大所能處理的干擾信號(hào)為M-1個(gè)。

3）不同算法的性能對(duì)比

最后再來考慮子空間跟蹤算法與一些傳統(tǒng)算法的抗干擾性能對(duì)比。根據(jù)2.1節(jié)的分析，仿真中分別采用子空間跟蹤算法和LCMV（線性約束最小方差）、MMSE（最小均方誤差）算法求得自適應(yīng)陣列的最優(yōu)化權(quán)值，然后根據(jù)最優(yōu)化權(quán)值得到陣列方向圖。

仿真中天線陣列采用8陣元的均勻線性陣列，陣列接收信號(hào)中包含一個(gè)理想回波信號(hào)和2個(gè)干擾信號(hào)，各個(gè)信號(hào)的入射方位角均為90°，干擾信號(hào)俯仰角為60°和-50°，干信比為40dB。

分別采用子空間跟蹤算法和LCMV、MMSE算法對(duì)上述信號(hào)源進(jìn)行干擾抑制，得到陣列方向圖如圖6所示。

圖6 不同自適應(yīng)算法得到的方向圖對(duì)比

從圖6可以看出，三種算法都能使陣列方向圖在干擾方向上產(chǎn)生了零陷，而對(duì)于非干擾方向上的信號(hào)，三種自適應(yīng)算法也產(chǎn)生了不同程度的抑制。但相對(duì)于LCMV 和MMSE算法，子空間跟蹤算法產(chǎn)生了較深的零陷，同時(shí)對(duì)非干擾方向上的信號(hào)影響最小，因而對(duì)理想回波信號(hào)的影響也最小。

4 結(jié)束語

通過分析不同干信比條件下自適應(yīng)算法產(chǎn)生的零陷深度，以及與一些傳統(tǒng)自適應(yīng)算法的仿真對(duì)比，證實(shí)了本文提出的約束化子空間跟蹤算法具有更好的抗干擾性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)也表明：子空間跟蹤算法能夠使陣列方向圖在正確的干擾位置上產(chǎn)生零陷，并且隨著入射信號(hào)強(qiáng)度的增加，零陷深度也越深，從而可以有效地對(duì)抗強(qiáng)干擾信號(hào)。■

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