基于三點分段的一類三角樣條曲線的擴展

潘亞麗

淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北，235000

近年來,三角樣條和三角多項式在理論和實際應用中受到廣泛的關注，文獻[1]在三角多項式空間Cm=Span{1,cost,cos2t,…,cosmt}給出了一個三角多項式基。文獻[2]將多項式與三角多項式有機結(jié)合起來,得出具有參數(shù)α的曲線,作者稱為C-曲線。文獻[3]提出在空間W=Span{1,sint,cost,cos2t}構(gòu)造具有與二次B樣條相類似的三角基函數(shù),且保持曲率連續(xù)；文獻[4]中提出針對與二次代數(shù)樣條相類的一類曲線的擴展，擴展后的曲線可通過參數(shù)來進行曲線的局部調(diào)整，且四次調(diào)配函數(shù)可達G2連續(xù)，以后隨著調(diào)配函數(shù)次數(shù)的升高，連續(xù)性也逐漸提高。相關的工作參看文獻[6]～[8]。本文提出基于三點分段的一類三角B樣條曲線的擴展，構(gòu)造出帶局部參數(shù)λi的二次和三次調(diào)配函數(shù)，且當λi=0時退化為文[5]中的一次和二次基函數(shù)。本文所采用的方法為連續(xù)性要求較高的曲線設計提供了一種有效的方法。

1 曲線的生成

定義1對t∈[0,π/2]，λi∈R，稱關于t的三角多項式：

(1)

為帶參數(shù)λi的二次調(diào)配函數(shù)，其中-1≤λi≤1。

定義2對t∈[0,π/2],λi∈R,稱關于t的三角多項式：

(2)

為帶參數(shù)λi的三次調(diào)配函數(shù)，其中-2≤λi≤1。

定理1對調(diào)配函數(shù)(1)、(2)式有如下結(jié)論成立：

直接由(1)和(2)的調(diào)配函數(shù)以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得定理的結(jié)論。同時，當λi=0時，本文中的(1)和(2)式就變成文[5]中的一次和二次的情況，所以它們可以看成文獻[5]中的調(diào)配函數(shù)的擴展。

定義3設Pi(i=0,1,…,n)為R2或R3中的一組控制點(n≥2)，對每三個順序控制點Pi-1,Pi,Pi+1構(gòu)造一參數(shù)曲線段：

(3)

將所有曲線段Ri,m(λi,t)(i=0,1,…,n)組合在一起，得到曲線：

(4)

2 曲線的性質(zhì)

定理2(a)λi∈(-1,1)，曲線Ri,2(λi,t)(i=1,2,…,n-1)是G1連續(xù)的；

(b)當所有的λi相同時，曲線是G1連續(xù)的；

(c)當λi=1時，曲線達到G2連續(xù)。

證明：由(1)和(4)式直接計算可得：

當λi∈(-1,1)時

(5)

(6)

(7)

從而結(jié)論(b)與(c)成立。

定理3(a)λi∈(-2,1)，曲線Ri,3(λi,t)(i=1,2,…,n-1)達到G3連續(xù)；

(b)λi=1,曲線Ri,3(λi,t)(i=1,2,…,n-1)達到G4連續(xù)。

證明：由(2)和(3)式直接計算可得：

當λi∈(-2,1)(i=1,2,…,n-1)時

(i=1,2,…,n-3)

(8)

(9)

成立，所以曲線是G2連續(xù)的。令：

(10)

則等式：

(11)

成立，所以曲線是G3連續(xù)的。

當λi=1(i=1,2,…,n-2)時，可計算曲線的四階導數(shù)值：

由上述計算可知，當λi=1(i=1,2,…,n-1)時，β1=1,β2=-4,β3=24，若令β4=-248，則等式:

(12)

恒成立，所以當λi=1(I=1,2,…,n)時是G4連續(xù)的，證畢。

3 數(shù)值例子

本節(jié)給出兩個數(shù)值例子，分別使用本文的二次和三次調(diào)配函數(shù)構(gòu)造相應的曲線。這兩個曲線的形狀都可以進行局部的調(diào)整。

例1假設有控制頂點V0=(0,0),V1=(10,20),V2=(30,15),V3=(40,30),V4=(60,15),使用二次調(diào)配函數(shù)所構(gòu)造的曲線，如圖1所示，其中，λi=-0.5,0,0.5(i=1,2,3)，該曲線是G1連續(xù)的。

例2假設有控制頂點V0=(0,0),V1=(10,20),V2=(30,15),V3=(40,30),V4=(60,15),使用三次調(diào)配函數(shù)所構(gòu)造的曲線，如圖2所示，其中，λi=-2,0,0.5(i=1,2,3)，該曲線G3是連續(xù)的。

圖1 二次調(diào)配函數(shù) 圖2 三次調(diào)配函數(shù)

參考文獻：

[1]J M Pena.Shape Preserving Representations For Trigonometric Polyomial Curves[J].Computer Aided Geometric Design,1997,14:5-11

[2]Jiwen Zhang.C-curves:An Extension of Cubic Curves[J].Computer Aided Geometric Design,1996,13:199-217

[3]吳小勤,唐運梅.曲率連續(xù)的三角B樣條曲線與曲面[J].計算機應用與軟件,2005,22(1):118-120

[4]劉長明,檀結(jié)慶.二次均勻B樣條曲線的擴展[J].合肥工業(yè)大學學報：自然科學版,2004,27(5)：459-462

[5]吳小勤.基于三點分段的三角多項式樣條曲線[J].工程圖學學報,2005(2):101-105

[6]尹池江,檀結(jié)慶.帶多形狀參數(shù)的三角多項式均勻B樣條曲線曲面[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2011,23(7):l131-1138

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[8]嚴蘭蘭．帶形狀參數(shù)的三角曲線曲面[J].東華理工大學學報：自然科學版,2012，35(2)：197-200