空間不均勻的Boltzmann方程的穩(wěn)定性

晉守博,張 磊

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽宿州，234000 2.宿州市第二中學(xué)，安徽宿州，234000

最近,關(guān)于Boltzmann方程穩(wěn)定性的研究已經(jīng)越來越引起人們的重視,該方程描述了經(jīng)典粒子系統(tǒng)的變化規(guī)律,在流體力學(xué)中具有重要作用，在空間不均勻的情況下,Boltzmann方程具有下面形式:

(1)

方程的初始條件為：

f(0,x,v)=f0(x,v)

(2)

方程中的f(t,x,v)表示在t時刻點x處速度為v的粒子的密度分布函數(shù)，碰撞算子J(f,f)(t,x,v)描述了粒子雙邊碰撞的情況，可以表示為：

J(f,f)(t,x,v)=Q+(f,f)-fR(f)

(3)

其中

(4)

和

(5)

=v*-(v-v*,w)w

(6)

當(dāng)0<δ≤1時，稱方程(1)為具有硬位勢的Boltzmann方程，當(dāng)δ=0時，稱方程(1)為具有Maxwell形式的Boltzmann方程，當(dāng)-2<δ<0時，稱方程(1)為具有軟位勢的Boltzmann方程，文[1]討論了具有彈性碰撞的Boltzmann方程的L1穩(wěn)定性；當(dāng)δ=0時，文[2]和[3]分析了具有非彈性碰撞的Boltzmann方程在特殊范數(shù)下的穩(wěn)定性，文[4]討論了一類耗散線性Boltzmann方程的解的正則性。本文將利用文獻[5]的方法考查0<δ≤1的情況，需要指出的是文中不同公式中的C代表不同的常數(shù)。為了計算方便，首先引入下面記號。

f#(t,x,v)=f(t,x+vt,v)

n(v,v*)=(v-v*)/|v-v*|

S(f,g)(t,x,v)=[Q(f,g)+fR(g)+Q(g,f)+gR(f)](t,x,v)

首先給出下面引理：

引理2對任意p>0，當(dāng)-3<δ≤0時，必存在常數(shù)C>0使得：

(7)

證明:對任意p>0，有

利用已知條件可得：

引理3當(dāng)0<δ≤1時，如果f#(t,x,v)≤δ0e-p|x|2e-q|v|2，則存在0<η?min{p,q}，使得：

證明:先對碰撞算子的正向部分進行估計。

當(dāng)t≤1時，由于

≤C(1+|v|δ)

所以再利用1+|v|δ≤eη|v|2可得：

當(dāng)t>1時，令x+t(v-v*)=s可得：

故將兩者結(jié)合可得，對任意t>0有：

同理可對負(fù)項部分進行類似估計，最后將兩者結(jié)合可以得到:

下面給出本文的主要定理。

定理1設(shè)f(t,x,v)和g(t,x,v)為方程(1)的兩個經(jīng)典解，其初值分別為f(0,x,v)=f0(x,v)和g(0,x,v)=g0(x,v)，如果對任意t≥0，f和g滿足：

f#(t,x,v)≤δ0e-p|x|2e-q|v|2

g#(t,x,v)≤δ0e-p|x|2e-q|v|2(0<δ0?1)

其中p,q>0，則當(dāng)0<δ0≤1時，必存在常數(shù)C>0，使得：

(8)

證明：記H(t)=L(t)+KDδ(t)(K>0為待定常數(shù))，利用引理1可得：

(9)

?t[f(t,x+vt+τn,v*)]

=(?tf+v*·xf)(t,x+vt+τn,v*)

+(v-v*)·xf(t,x+vt+τn,v*)

=J(f,f)(t,x+vt+τn,v*)

+?τ[|v-v*|f(t,x+vt+τn,v*)]

經(jīng)過計算可得:

?t[|f-g|#(t,x,v)(f+g)(t,x+vt+τn,v*)]

=?t|f-g|#(t,x,v)(f+g)(t,x+vt+τn,v*)

+|f-g|#(t,x,v)?τ(f+g)(t,x+vt+τn,v*)

≤S#(|f-g|,f+g)(t,x,v)(f+g)(t,x+vt+τn,v*)+|f-g|#(t,x,v)(S(f,f)+S(g,g))(t,x+vt+τn,v*)+?τ[|v-v*||f-g|#(t,x,v)(f+g)(t,x+vt+τn,v*)]

其中：

和

利用已知條件對J1和J2進行估計，利用引理1和引理2可得：

利用引理2和引理3可得：

+vt+τn,v*)dv*dτ

從而利用公式(9)可得:

利用Gronwall不等式可知:

由H(t)的定義可以得到：

‖f(t)-g(t)‖L1≤H(t)≤C‖f(t)-g(t)‖L1

故

‖f(t)-g(t)‖L1≤H(t)≤CH(0)≤C‖f(0)-g(0)‖L1。

參考文獻：

[1]Wu Zhigang.L1 and BV-type stability of the inelastic Boltzmann equation near vacuum[J].Continuum Mach Thermodyn，2010,22(3):239-249

[2]Jin Shoubo，Chen Panfeng.Stability of Dissipative Boltzmann equation for one dimensional granular gases[J].Annals of Differential Equation，2011,27(2):145-149

[3]晉守博，肖志濤，張光輝.廣義Kac方程的解的漸近穩(wěn)定性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010,26(4):21-25

[4]晉守博，陳攀峰，孫善輝.耗散線性Boltzmann方程的解的正則性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2011,31A(6):1662-1668

[5]Duan Renjun，Yang Tong，Zhu Changjiang，L1 and BV-type stability of Boltzmann equation with external forces[J].Journal of Differential Equations，2006,227(1):1-28