利率為馬氏鏈的離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題

王麗霞，洪海燕

安徽大學(xué)江淮學(xué)院公共基礎(chǔ)部，安徽合肥，230031

1 引 言

Cai[1-2]得出了隨機(jī)利率和相依利率下離散時(shí)間保險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的Lundberg上界，俞雪梨[3]和孔繁超[4]分別得出了隨機(jī)利率和相依利率下模型的破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字和破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的分布，何曉霞[5]討論了馬氏鏈利率下模型的破產(chǎn)概率，孫華斌[6]在相同模型下得到破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字的分布，Diasparra[7]在此模型下進(jìn)一步考慮再保險(xiǎn)，得出馬氏鏈利率下模型的破產(chǎn)概率的Lundberg上界。本文在利率為馬氏鏈情形下，研究離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)前盈余及破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布和破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布等問題。

考慮如下離散時(shí)間再保險(xiǎn)模型：

Un=Un-1(1+In)+C(bn-1)-h(bn-1,Yn),n=1,2,…

(1)

其中Un為保險(xiǎn)公司在第n時(shí)刻的盈余，U0=u>0為初始資金，{Yk,k≥1}和{Ik,k≥1}均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列且兩個(gè)序列相互獨(dú)立，{Yk,k≥1}表示第k期理賠支出，具有分布函數(shù)FY(y)=P(Y1≤y)，{Ik,k≥1}為第k期的利率，bn=πn(Un)僅依賴于當(dāng)前的盈余，為第n期的比例因子，其中πn(n≥1)為一個(gè)馬氏控制策略，由保險(xiǎn)公司的合同內(nèi)容確定。顯然0≤bn≤1，而若b=1，即為無再保險(xiǎn)的情形。本文令：

h(bn-1,y)=by

(2)

其中b為自留額比例，C(bn)為自留保費(fèi)，C(b)=c-(1+θ)(1-b)E(Y)，θ為再保險(xiǎn)公司的安全附加系數(shù)，c≥0是保險(xiǎn)公司收入的保險(xiǎn)費(fèi)率，顯然0≤C(b)≤c。

假定隨機(jī)利率{In;n≥1}具有不可數(shù)狀態(tài)齊性馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為{Pij}。

Pij=P{In+1=j|In=i}

(3)

記Zk=bYk-C(b)，則{Zk,k≥1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)記為FZ(y)=P(Z1≤y)，結(jié)合模型(1)及式(2)有：

(4)

定義停時(shí)T為破產(chǎn)時(shí)刻：

(5)

定義破產(chǎn)概率為：

ψ(u,i)=P(T<+∞|U0=u,I0=i)

(6)

定義破產(chǎn)時(shí)赤字在(0,x]上的概率為：

G(u,x,i)=P(|UT|≤x,T<∞|U0=u,I0=i),x>0

(7)

定義破產(chǎn)前瞬間盈余的分布為:

F(u,y,i)=P(|UT-|≤y,T<∞|U0=u,I0=i),y>0

(8)

定義：

D(u,x,y,i)=P(UT≤-x,UT-≥y,T<∞|U0=u,I0=i),x>0,y>0

(9)

為破產(chǎn)時(shí)赤字與破產(chǎn)前盈余聯(lián)合分布函數(shù)。

2 破產(chǎn)前盈余與破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布

定理1在上述條件下D(u,x,y,i)滿足如下方程：

(10)

其中I(·)為示性函數(shù)。

≥y,T=n|U0=u,I0=i)

Un-3≥0,…，U1≥0|U0=u,I0=i)

當(dāng)n=1時(shí)，d1(u,x,y,i)=P(U1≤-x,U0≥y,|U0=u,I0=i)

當(dāng)y>u時(shí)，d1(u,x,y,i)=0

(11)

以下討論dn+1(u,x,y,i)。

在初始條件U0=u，I0=i，I1=j，Z1=z下:

(12)

所以

由(11)知，當(dāng)y>u(1+j)-z時(shí)，d1(u(1+j)-z,x,y,i)=0，即且當(dāng)u(1+j)-z<0時(shí)，U1<0，則dn(u(1+j)-z,x,y,i)=0(n≥2)。

上式的第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)楫?dāng)z∈[u(1+j)-y,u(1+j)]時(shí)，z>u(1+j)-y，故d1(u(1+j)-z,x,y,i)=0

結(jié)合以上兩式，即得結(jié)論。

推論1破產(chǎn)概率ψ(u,i)滿足以下方程：

證明：在(10)式中令x=0,y=0即得。

推論2破產(chǎn)時(shí)赤字的分布G(u,x,i)滿足以下方程:

G(u,x,i)=ψ(u,i)-G1(u,x,i)

證明：由G(u,x,i)的定義有：

G(u,x,i)=ψ(u,i)-P(UT<-x,T<∞|U0=u,I0=i)ψ(u,i)-G1(u,x,i)

在(10)式中令y=0即得結(jié)論。

推論3破產(chǎn)前盈余的分布F(u,x,i)滿足以下方程：

F(u,x,i)=ψ(u,i)-F1(u,y,i)

證明：同推論2，在(10)式中令x=0即得結(jié)論。

3 破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的分布

定義破產(chǎn)后保險(xiǎn)公司的盈余首次回復(fù)為正的時(shí)刻為:

定義破產(chǎn)后保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為:

定理2N(k)(u,i0)滿足以下積分方程：

所以，

同理:

其中，

由歸納法知：

參考文獻(xiàn)：

[1]Cai Jun．Discrete time risk models under rates of interest[J]．Probability in the Engineering and Informational Sciences，2002，16(3)：309-324

[2]Cai Jun．Ruin probabilities with dependent rate of interest[J]．Journal of Applied Probability，2002，39(2)：312-323

[3]俞雪梨，肖綱景.隨機(jī)利率離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009，25(1)：38-46

[4]孔繁超，于莉．具有相依利息率的離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題 [J]．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20(3)：320-326

[5]何曉霞，姚春，胡亦鈞.利率為馬氏鏈的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2012，28(3):270-276

[6]孫華斌，孫勇.具有Markov鏈利率的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2010,10(24)：5976-5980

[7]Diasparra MA，Romera R．Bounds for the ruin probability of a discrete-time risk process[J]．Journal of Applied Probability，2009，46(1)：99-112

[8]何曉霞.一類離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題[J]. 數(shù)學(xué)雜志,2012,32(1)：181-185