帶第一類間斷點(diǎn)的RH問題

楊 娟 田進(jìn)鳳

(1．寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川750021; 2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川750002)

1962年,路見可教授[1-2]首次提出并解決了復(fù)合邊值問題，簡稱RH問題.近年來，有不少學(xué)者研究復(fù)合邊值問題，2000年程平旺[3]研究了雙解析函數(shù)的復(fù)合邊值問題;2001年鄭神州和渠剛榮[4]研究了解析函數(shù)類中的復(fù)合型邊值問題;2002年張霞、李星[5]研究了非正則型復(fù)合邊值問題;2005年路見可[6]研究了帶平方根的Hilbert邊值問題;陳振華，2009年郭定輝[7]討論并求解了帶平方根的復(fù)合RH邊值問題的兩種情況.本文在上述工作的基礎(chǔ)上,將復(fù)合邊值問題進(jìn)行推廣,討論了帶第一類間斷點(diǎn)的正則型復(fù)合RH邊值問題在封閉曲線上的一般解.我們先用消去法將所提出的RH問題化為一個H問題，再進(jìn)一步化為間斷系數(shù)的R問題，然后根據(jù)指標(biāo)的不同描述其解，并以定理的形式給出結(jié)果.

1 問題的提出

復(fù)合RH問題提法如下：求在D內(nèi)全純，且連續(xù)到L與Γ兩側(cè)(端點(diǎn)可能除外)上的函數(shù)Φ(z)，使其滿足下列條件

1)Φ+(τ)=G(τ)Φ-(τ)+g(τ),τ∈Τ,其中G(τ),g(τ)∈H于Γ，又G(τ)≠0；

(1)

(G(τ),g(τ)滿足Holder條件(記為H)且G(τ),g(τ)都是L上的已知函數(shù)).

2)Re{[a(t)+ib(t)]Φ(t)}=c(t),t∈L，

(2)

其中a(t),b(t),c(t)為∈H于L的實(shí)函數(shù)，(a(t),b(t),c(t)均為已知在L上屬于H的實(shí)函數(shù)，且a2+b2≠0)還設(shè)它們在L上有若干個第一類間斷點(diǎn)c1,…,cn，并限于考慮正則型情況：a(t)±ib(t)≠0于L上.

要注意的是，在Γ的各端點(diǎn)aj,bj附近，Φ(z)可允許有不到一階的奇異性.可按1)的要求把各端點(diǎn)也分為普通端點(diǎn)和特異端點(diǎn)兩類，也稱為上述RH問題的普通端點(diǎn)和特異端點(diǎn).求解時，要求Φ(z)屬于某一解類，例如h(c1,…,cq)，其中c1,…,cq為某些普通端點(diǎn)，即要求Φ(z)在這些端點(diǎn)附近有界，而在其它普通端點(diǎn)可以有不到一階的奇異性，而在所有特異端點(diǎn)附近只能至多是幾乎有界的.

在各Γj上取定logG(τ)的一個連續(xù)分支，例如，記

使得0

Κ稱為所提RH問題的指標(biāo).

2 化成H問題

Χ+(τ)=G(τ)Χ-(τ)，τ∈Γ

(3)

于是在h(c1,…,cq)類中，求出D中相應(yīng)R問題1)的一個特解

利用消去法，令

Φ(z)=Φ1(z)+Χ(z)Φ0(z).

(4)

其中Φ0(z)為D中新的未知函數(shù).當(dāng)τ∈Γ時，因Φ1(z)滿足(1)，故由式(3)知

下面證明Φ0(z)在各端點(diǎn)處也是解析的.

由Χ(z)在端點(diǎn)c(=aj或bj)附近的性質(zhì)知，Χ(z)=(z-c)γcχc(z)，其中Reγc=ac，-1

Χ(z)Φ0(z)∈h(c1,…,cq).

如c為一特異端點(diǎn)，則a0=0，因此Χ(z)在c附近有界，且不等于0.今Φ(z)既以c為孤立奇點(diǎn)，又只有不到一階的奇異性，故必以c為常點(diǎn).注意到Φ1(z)在z=c附近幾乎有界，可見，如果RH問題有解，則解Φ(z)也必在z=c附近幾乎有界，如c∈(c1,…,cq)，則因0

總之，無論c是Γ上的哪一種端點(diǎn)，Φ0(z)總以它為常點(diǎn)，因而Φ0(z)在D內(nèi)全純.又因Φ1(z)，Χ(z)都連續(xù)到L上，且Χ(z)≠0，故Φ0(z)也必連續(xù)到L上.

反之，如Φ0(z)在D內(nèi)全純，且連續(xù)到邊界L上，則也容易證明由式(4)所確定的分區(qū)全純函數(shù)Φ0(z)必滿足式(1)，且連續(xù)到L上.這樣，提出的RH問題就轉(zhuǎn)化為求在D內(nèi)全純，且連續(xù)到邊界L上的函數(shù)Φ0(z)，使它滿足由式(2)轉(zhuǎn)化的相應(yīng)條件.將式(4)代人式(2)，可得下述條件：

Re{[a(t)+ib(t)]Χ(t)Φ0+(t)}=c*(t)，t∈L

(5)

其中

c*(t)=c(t)-Re{[a(t)+ib(t)]Φ1(t)}.

這樣，原RH問題就轉(zhuǎn)化成了L上帶間斷系數(shù)的H問題(5).

3 化為R問題

不失一般性，以下不妨設(shè)L為單位圓周|t=1|，則式(5)可改寫為

(6)

因此式(6)又可改寫為

(7)

則問題(5)可化為下列帶有間斷系數(shù)的R0問題(即要求Φ0(∞)有界)

Ω+(t)=G(t)Ω-(t)+g(t)，t∈L

(8)

4 對H問題求解

問題(8)的解也可分成一些解類，也是Ω(z)所屬的解類，例如，要求式(8)的解屬于h(c1,…,cq)，當(dāng)然c1,…,cq都是普通結(jié)點(diǎn).于是就可求出式(8)亦即式(5)在該類中的指標(biāo)為

故這個H問題的指標(biāo)為：Κ=κ+2χ.

下面先考慮齊次問題(c*=0)，則由文獻(xiàn)[8]可知問題(8)的典則函數(shù)為

X1(z)=z-kX*(z),

4.1 齊次問題(c*(t)≡0)

當(dāng)Κ≥0時，這時齊次問題(8)(其中g(shù)(t)≡0)在R0中的一般解為

Ω(z)=Χ1(z)(C0zΚ+C1zΚ-1+…+CΚ)，

Φ(z)=Χ1(z)(C0zΚ+C1zΚ-1+…+CΚ)，z∈S+

(9)

(10)

(11)

定理1 齊次H問題(5)(c*≡0)：當(dāng)Κ≥0時，有一般解為式(9)，其中Ck要滿足條件(10)，這個一般解中含有Κ+1個任意實(shí)常數(shù)：當(dāng)Κ<0時，它只有零解.

4.2 非齊次問題(c*≠0)

對非齊次H問題(5)來說，只須求出其一個特解，再加上相應(yīng)齊次問題的一般解就是它的一般解.對(7)式兩邊取共軛，得

(12)

當(dāng)Κ≥0時，這時問題(8)在R0中有一個特解

(13)

則

(14)

再加上相應(yīng)齊次問題的一般解，(9)式就是所求一般解.

當(dāng)Κ<0時，這時非齊次R問題(8)在R0中的可解條件為

這就是

(15)

定理2 非齊次H問題(5)，當(dāng)Κ≥0時，有一般解

Φ(z)=Φ0(z)+Χ(z)(C0zχ+C1zχ-1+…+Cχ)，

其中Φ0(z)以式(13)給出，而C0,…,CΚ須滿足條件(11)；當(dāng)Κ<0時，當(dāng)且僅當(dāng)條件(15)滿足時，問題有唯一解(13).此問題的一般解有Κ+1個自由度.

5 RH問題的求解

根據(jù)上面的結(jié)論，對原RH問題作出以下的討論.

1)設(shè)g≡0,c≠0，根據(jù)定理1，當(dāng)Κ≥0時，相應(yīng)H問題(8)的一般解可寫成

Φ0(z)=c1Ψ1(z)+…+c2Κ+1Ψ2Κ+1(z).

(16)

當(dāng)Κ<0時，由于相應(yīng)H問題只有零解，從而原RH問題也只有零解.

2)設(shè)g≡0,c≠0，由于這時可取Φ1(z)=0，故Φ(z)=Χ(z)Φ0(z)，而Φ0(z)為D中非齊次H問題(7)的解，由定理2，當(dāng)K≥0時，相應(yīng)H問題有一般解

其中Φ0(z)為特解,則原RH問題有一般解

(17)

其中cj仍為實(shí)任意常數(shù).當(dāng)Κ<0時，當(dāng)且僅當(dāng)c*(t)從而c(t)滿足-2Κ-1個實(shí)條件時，相應(yīng)H問題從而原RH問題才有解，且有唯一解.

3)設(shè)g≠0，于是Φ1(z)≠0.這時又可分為兩種情況：

通過以上討論可以得到如下定理

定理3 當(dāng)Κ>0時，有：1)對原RH問題，其一般解中含有2Κ+1個任意實(shí)常數(shù)；2)對齊次問題(c=0,g=0)只有零解；3)對準(zhǔn)齊次問題有唯一非零解；4)對真非齊次問題，當(dāng)且僅當(dāng)問題中各已知函數(shù)間滿足-2Κ-1個實(shí)條件時，才有唯一解.

參考文獻(xiàn)：

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[4] 張霞,李星.非正則型復(fù)合邊值問題[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,23(3):193-197.

[5] 路見可.On Hilbert Boundary Value Problems With Radical [J].Acta Mathematica Scientia,2005(4):755-760.

[6] 孫鳳琪.一類具有間斷系數(shù)的RH邊值問題求解[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2007，45(3):389-392.

[7] 陳振華,郭定輝.帶平方根的復(fù)合RH邊值問題兩種情況的討論與求解[J].湘潭大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，31(1)：27-33.

[8] 路見可.解析函數(shù)邊值問題[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，1984：99-104.