原子在界面附近自發(fā)輻射率的閉合軌道理論計(jì)算

王麗林， 徐 強(qiáng)， 隗 蓮

(1.山東鋁業(yè)職業(yè)學(xué)院 電氣工程系， 山東 淄博 255065； 2. 魯東大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院， 山東 煙臺(tái) 264025)

原子所處環(huán)境對(duì)原子自發(fā)輻射的影響研究從20世紀(jì)40年代開(kāi)始一直受到人們的關(guān)注[1-4].近年來(lái)，隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步和理論研究的深入，激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射率受介質(zhì)環(huán)境的調(diào)制也已引起人們的廣泛關(guān)注.光子晶體熱潮的興起、微裝置捕陷作用以及應(yīng)用場(chǎng)操縱高激發(fā)態(tài)原子的研究都極大地推動(dòng)了對(duì)激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射率受環(huán)境調(diào)制問(wèn)題的研究.用量子電動(dòng)力學(xué)(QED)推導(dǎo)出的自發(fā)輻射率，看不出隨環(huán)境參數(shù)變化的規(guī)律.杜孟利等人利用閉合軌道理論對(duì)電介質(zhì)層中以及電介質(zhì)界面附近原子的自發(fā)輻射率的多周期振蕩進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，把閉合軌道理論中的電子擴(kuò)展到了光子，獲得了成功[5-6].本文利用閉合軌道理論對(duì)環(huán)境中原子的自發(fā)輻射率的多周期振蕩的研究，在第一部分研究激發(fā)原子在一個(gè)無(wú)限大的金屬界面旁的自發(fā)輻射率,第二部分研究用兩個(gè)理想的金屬界面夾著的電介質(zhì)中的原子的自發(fā)輻射率.

1 一個(gè)金屬界面旁的原子自發(fā)輻射

1.1 閉合軌道理論分析

閉合軌道理論最初是由杜孟利等人提出的，用來(lái)解釋強(qiáng)磁場(chǎng)中原子光吸收譜的振蕩現(xiàn)象[7].根據(jù)閉合軌道理論，當(dāng)原子從高激發(fā)態(tài)躍遷到一個(gè)較低的態(tài)時(shí)，在原子附近輻射光子，光子以電磁波的形式向外出射，當(dāng)電磁波向外傳播到離原子較遠(yuǎn)處時(shí)可以近似由經(jīng)典軌道來(lái)描述，當(dāng)經(jīng)典軌道族碰到界面后返回到原子附近，與這些軌道聯(lián)系的波與出射波干涉疊加可以在自發(fā)輻射率中形成一個(gè)振蕩.因?yàn)樵拥淖园l(fā)輻射類(lèi)似偶極天線的輻射，因此，本文考慮與自發(fā)輻射的一個(gè)經(jīng)典的對(duì)應(yīng)：偶極天線的輻射.

先看原子旁邊只有一個(gè)無(wú)限大的理想金屬面的情況，設(shè)金屬面與z軸垂直并位于距正z軸l處的地方，原子在x軸原點(diǎn)處(圖1).原子輻射出的光子沿著z軸作簡(jiǎn)諧振蕩，它對(duì)應(yīng)的電偶極矩為d0=de-iω0t，其中ω0為振蕩頻率，d0表示極化方向的單位矢量.它的輻射率為Wd=P/U，其中P為偶極天線的平均輻射功率，U為天線的能量.輻射率可以寫(xiě)為

(1)

圖1 原子與金屬界面的距離是l

這里把振子附近的電場(chǎng)E分為兩個(gè)部分，出射部分E0和返回部分Eret.用r表示空間某點(diǎn)相對(duì)于偶極子的矢量位置，出射電場(chǎng)部分可以寫(xiě)為

[d0-3r0(r0·d0)]×

(2)

返回電場(chǎng)Eret依賴(lài)于環(huán)境或偶極天線所在的介質(zhì).考慮偶極天線位于距理想金屬面l處且與金屬面平行的情況，由鏡像方法可以得到偶極天線處的返回電場(chǎng)為

(3)

1.2 平行情況(電偶極矩d與x軸夾角為0)分析

當(dāng)原子對(duì)應(yīng)的電偶極矩d與x軸方向平行時(shí)，即單位矢量d0與單位矢量r0夾角為90°時(shí)，根據(jù)閉合軌道理論,模擬偶極天線輻射，設(shè)理想金屬面的一邊是折射率為n的電介質(zhì)，其中偶極子出射電場(chǎng)矢量位置r=2lr0，故這時(shí)原子的自發(fā)輻射率可以寫(xiě)為

(4)

(5)

根據(jù)方程(5)，令理想金屬面的一邊是折射率n=1和n=1.49,利用maple軟件可以畫(huà)出相對(duì)自發(fā)輻射率Wd/W0隨原子與金屬界面距離l的變化圖(其中原子與金屬界面距離由無(wú)量綱參量a=l/λ0表示)，如圖2所示.

從圖2可以看出，相對(duì)自發(fā)輻射率表現(xiàn)為周期振蕩，隨著原子與金屬界面距離的增加，振蕩的振幅逐漸衰減.當(dāng)原子離界面足夠遠(yuǎn)時(shí)，自發(fā)輻射率接近于原子在真空中的自發(fā)輻射率.在折射率不同的介質(zhì)中，周期振蕩也是有差異的.

1.3 垂直情況分析

當(dāng)原子對(duì)應(yīng)的電偶極矩d與x軸方向垂直時(shí)，即單位矢量d0與單位矢量r0夾角為0°時(shí)，根據(jù)閉合軌道理論,設(shè)理想金屬面的一邊是折射率為n的電介質(zhì)，其中偶極子出射電場(chǎng)矢量位置r=2lr0，故這時(shí)偶極天線的輻射率可以寫(xiě)為

(6)

令a=l/λ0，k0=2π/λ0，則式(6)變?yōu)?/p>

(7)

(a) 介質(zhì)的折射率n=1

(b)介質(zhì)的折射率n=1.49圖2 電偶極矩與x軸平行時(shí)相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化

根據(jù)方程(7)，可以畫(huà)出理想金屬面的一邊是折射率n=1和n=1.49的相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化圖，如圖3所示.

從圖3可以看出，相對(duì)自發(fā)輻射率的周期振蕩類(lèi)似于平行情況，但是在原子與金屬界面距離相同的情況時(shí)，垂直比水平的振蕩幅度大.

(a) 介質(zhì)的折射率n=1

(b)介質(zhì)的折射率n=1.49圖3 電偶極矩與x軸垂直時(shí)相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化

1.4 一般情況分析

當(dāng)原子對(duì)應(yīng)的電偶極矩d與x軸方向成任意角度θ(小于等于90°)時(shí)，即單位矢量d0與單位矢量r0夾角為(90°±θ)時(shí)，設(shè)理想金屬面的一邊是折射率為n的電介質(zhì)，其中偶極子出射電場(chǎng)矢量位置r=2lr0，故這時(shí)原子的自發(fā)輻射率可以寫(xiě)為

(8)

令a=l/λ0，k0=2π/λ0，則式(8)變形為

(9)

根據(jù)方程(9)，可以畫(huà)出理想金屬面的一邊是折射率n=1.49的相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化圖，其中還存在參量θ角，為了更明顯的從圖像上觀察結(jié)果，本文對(duì)θ取多個(gè)角度，如圖4所示.

從圖4可以看出，圖像均為周期性振蕩，大體情況與上面相似.在折射率n給定的情況下，隨原子對(duì)應(yīng)的電偶極矩與x軸方向的角度增大，振蕩幅度增大.圖4(a)和圖4(d)分別與圖2(b)和圖3(b)比較可以看出角差不多大時(shí)，畫(huà)出的圖像差別較小.原子與金屬界面的距離和電偶極矩與x軸方向所成角度對(duì)自發(fā)輻射率都會(huì)產(chǎn)生較大影響.

(a)θ=5°

(b)θ=30°

(c)θ=45°

(d) θ=85°圖4 相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化(n=1.49)

2 兩個(gè)金屬界面旁的原子自發(fā)輻射

2.1 理論分析

在上述分析中我們已經(jīng)得到一個(gè)金屬界面旁的原子自發(fā)輻射率，現(xiàn)在由此推廣到兩個(gè)金屬界面的情況.當(dāng)原子對(duì)應(yīng)的電偶極矩d與x軸方向平行時(shí)，一個(gè)金屬界面旁的原子自發(fā)輻射率為式(4).當(dāng)偶極天線與金屬面之間的距離大于半個(gè)波長(zhǎng)時(shí)，式(4)中的括號(hào)內(nèi)的后兩項(xiàng)可以忽略不計(jì)，得

(10)

其中S=2nk0l為輻射光子從原子到金屬面再返回到原子的作用量，顯然這光子路徑為一個(gè)閉合軌道.現(xiàn)在通過(guò)圖像來(lái)比較一下理想金屬面的一邊是折射率n=1時(shí),利用式(4)和式(10)畫(huà)出相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化圖，其中實(shí)線代表式(4)，虛線代表式(10)，如圖5所示.

圖5 相對(duì)自發(fā)輻射率隨原子與金屬界面距離的變化(n=1)

由圖5看出，實(shí)線與虛線幾乎重疊，故式(4)與式(10)所得圖像相差很小，即(4)式括號(hào)內(nèi)的后兩項(xiàng)可以忽略不計(jì)，所以一個(gè)金屬面前偶極子輻射率可以近似表達(dá)為式(10).

根據(jù)上述理論分析，把式(10)擴(kuò)展到兩個(gè)金屬面間填充著同樣的電介質(zhì)的情況，有

(11)

其中Sj=nk0Lj為第j個(gè)閉合軌道的作用量，Lj為該軌道的幾何長(zhǎng)度；φj=-mjπ為相位修正，mj表示被金屬面反射的次數(shù)，式(11)即為閉合軌道理論公式.

2.2 公式推導(dǎo)

兩個(gè)平行的無(wú)限大的理想金屬板，板間填充折射率為n的非吸收性介質(zhì)，自發(fā)輻射原子處于介質(zhì)中.設(shè)選取坐標(biāo)原點(diǎn)在發(fā)射原子處，z軸與金屬板垂直，原子在介質(zhì)中相對(duì)與兩金屬板的距離分別為l1和l2，介質(zhì)的厚度為l=l1+l2.如圖6所示.

為了方便計(jì)算兩個(gè)平面平行金屬板間原子的自發(fā)輻射率，只考慮偶極距d平行于金屬板的情況，則采用式(11).根據(jù)閉合軌道理論，在此種情況下存在四個(gè)基本的閉合軌道，如圖7所示.

其中四個(gè)軌道的作用量分別為S1=2nk0l1，S2=2nk0l2，S3=S4=2nk0l，四個(gè)相位修正分別為φ1=φ2=-π，φ3=φ4=-2π，代入式(11)可得原子自發(fā)輻射率為

(12)

圖6 原子距離金屬界面的距離分別為l1、l2

圖7 原子在兩金屬界面間的四個(gè)基本的閉合軌道

為方便研究自發(fā)輻射率中的多周期振蕩，定義R=(l2-l1)/(l2+l1)用以標(biāo)記原子相對(duì)于上下的金屬板的位置，定義兩個(gè)金屬板間的標(biāo)準(zhǔn)距離為l0=λ0=2π/k0，即輻射光子在真空中的波長(zhǎng)，同時(shí)定義標(biāo)度變量表示整個(gè)體系的大小變化，金屬板間的距離則為l=al0.簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系給出原子與上金屬界面距離以及原子與下金屬界面距離的關(guān)系分別為l1=a(1-R)l0/2和l2=a(1+R)d0/2.在給定R后，就可以給出自發(fā)輻射率作為自變量為空間標(biāo)度變量a的函數(shù)，由式(12)可得

(13)

2.3 結(jié)果分析

在兩平行平面金屬板界面中填充折射率為n的電介質(zhì)時(shí)，原子的自發(fā)輻射率公式由閉合軌道理論已經(jīng)得出，其中標(biāo)度變量a與原子到金屬板界面的距離有關(guān).因此，在R和折射率n給定時(shí)，根據(jù)式(13)就可以畫(huà)出原子相對(duì)于金屬界面在不同位置時(shí)相對(duì)自發(fā)輻射率隨標(biāo)度變量a的變化.現(xiàn)在令折射率n=1.49，原子相對(duì)位置分別為R=0，1/3，1/2，3/5，3/4，4/5時(shí)，畫(huà)出圖像如圖8所示.

(a) R=0

(b) R=1/3

(c) R=1/2

(d) R=3/5

(e) R=3/4

(f) R=4/5圖8 原子相對(duì)于金屬界面在不同位置時(shí)相對(duì)自發(fā)輻射率隨標(biāo)度變量的變化(n=1.49).

從圖8可以看出，在圖8(a)中輻射原子位于介質(zhì)中點(diǎn)，輻射率表現(xiàn)為衰減的鋸齒狀振蕩.圖8(b)中原子距離上邊的金屬板為介質(zhì)厚度的1/3，自發(fā)輻射率中一些高頻振蕩出現(xiàn).余下的4幅圖像顯示，隨原子距離上邊金屬板距離的增大自發(fā)輻射率中一些高頻振蕩逐漸增多，該周期振蕩的中心是1.0，即為真空中的自發(fā)輻射率.在圖中有許多峰出現(xiàn)，當(dāng)R=0時(shí)，原子位于介質(zhì)中點(diǎn)所以每個(gè)峰對(duì)應(yīng)兩個(gè)閉合軌道，當(dāng)原子不在兩個(gè)金屬板的中間位置時(shí)，有一些峰的簡(jiǎn)并被解除，有一些被保留下來(lái).

3 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)經(jīng)典偶極天線的輻射情況，通過(guò)引入位置的標(biāo)度變量，討論了一個(gè)金屬界面旁的原子自發(fā)輻射對(duì)激發(fā)態(tài)原子自發(fā)輻射率的影響，并將原子自發(fā)輻射率的結(jié)果在推廣到兩個(gè)金屬界面旁的情況.研究表明，隨著激發(fā)態(tài)原子位置的變化，自發(fā)輻射率呈現(xiàn)復(fù)雜的多周期振蕩，輻射出的光子經(jīng)界面反射后返回到原子上，與出射的光子相干,從而抑制或加速激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射.自發(fā)輻射率的振蕩與光子的閉合軌道相對(duì)應(yīng)，正是這種多周期的光子閉合軌道貢獻(xiàn)的迭加，原子的自發(fā)輻射率呈現(xiàn)復(fù)雜的振蕩特性.

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