地平式望遠(yuǎn)鏡AGU標(biāo)校模型與仿真試驗(yàn)*

盧曉猛，王建峰，王匯娟，米琳瑩

(中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012)

在建的2.5 m望遠(yuǎn)鏡計(jì)劃安裝在俄羅斯的Kislovodsk太陽觀測站。該望遠(yuǎn)鏡為地平式結(jié)構(gòu)，有一個(gè)卡焦焦點(diǎn)和兩個(gè)耐氏焦點(diǎn)，其中卡焦和耐焦N1配置有機(jī)械消轉(zhuǎn)器和自動(dòng)導(dǎo)星單元(Automatic Guiding Unit, AGU)，自動(dòng)導(dǎo)星單元本體安裝在像場的消旋機(jī)構(gòu)上。當(dāng)像場消旋機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)時(shí)，自動(dòng)導(dǎo)星單元本體會隨之同步旋轉(zhuǎn)。

在天文研究中為了觀測暗弱恒星，不改變望遠(yuǎn)鏡主鏡口徑和光學(xué)效率的前提下延長CCD曝光時(shí)間是必然的手段。而延長曝光時(shí)間需要望遠(yuǎn)鏡控制系統(tǒng)具備比較高的指向與跟蹤精度，能夠?qū)崿F(xiàn)對恒星的凝視觀測。2.5 m望遠(yuǎn)鏡將使用Tpoint建立方位軸、俯仰軸和機(jī)械消轉(zhuǎn)軸的周期性誤差修正模型，基于偏置導(dǎo)星方法使用自動(dòng)導(dǎo)星單元消除望遠(yuǎn)鏡的瞬時(shí)性跟蹤誤差。

2.5 m望遠(yuǎn)鏡口徑為2.5 m，系統(tǒng)焦比F/8，自動(dòng)導(dǎo)星單元使用的CCD相機(jī)像元尺寸為9.9 μm×9.9 μm，靶面分辨率為659×493，其視場約為67.3″×50.3″。如果使用V星等亮于11.5等、完備度90%的第谷2作為導(dǎo)星星表，則平均每個(gè)視場內(nèi)約有0.016顆恒星。按照設(shè)計(jì)，2.5 m望遠(yuǎn)鏡使用亮于15等作為導(dǎo)星星表，由USNO A2.0提取統(tǒng)計(jì)，平均每個(gè)視場內(nèi)約有0.093顆恒星。因此必須控制自動(dòng)導(dǎo)星單元定位將參考星引入視場，同時(shí)必須消除自動(dòng)導(dǎo)星單元旋轉(zhuǎn)帶來的像場旋轉(zhuǎn)，才能精確地計(jì)算導(dǎo)星偏差，從而實(shí)現(xiàn)主視場對觀測恒星的高精度跟蹤。

如圖1，自動(dòng)導(dǎo)星單元可以在兩維運(yùn)動(dòng)。一維是平移機(jī)構(gòu)沿著絲桿滑動(dòng)；另一維是絲桿中心繞軸在本體基平面上旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成圖2的等效運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對光學(xué)視場內(nèi)參考星的定位。這種運(yùn)動(dòng)控制方式與云南天文臺1 m望遠(yuǎn)鏡的偏置導(dǎo)星單元工作原理有所不同[1]。

圖1 自動(dòng)導(dǎo)星單元運(yùn)動(dòng)方式

Fig.1 The motion modes of the AGU

將自動(dòng)導(dǎo)星單元的平移運(yùn)動(dòng)定義為k模式，將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)定義為r模式，將CCD的X軸與赤道α軸夾角定義為θ。借助恒星赤道坐標(biāo)的理想平面投影，建立k-r坐標(biāo)系與赤道α-δ坐標(biāo)系的齊次修正方程，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)導(dǎo)星單元對參考星的定位功能。使用恒星拖尾法建立r角與θ角的齊次修正方程，擬合CCD圖像(Δx, Δy)與赤道坐標(biāo)系位置偏差(Δα, Δδ)的關(guān)系，消除像場旋轉(zhuǎn)帶來的位置計(jì)算誤差。

1 中心指向修正模型

圖2 自動(dòng)導(dǎo)星單元等效運(yùn)動(dòng)

Fig.2 Apparent motion of the AGU

中心指向修正模型是為了建立赤道系(α,δ)→軸系(k,r)的映射關(guān)系，根據(jù)赤道坐標(biāo)定位自動(dòng)導(dǎo)星單元，解決參考星進(jìn)入視場問題。

借助赤道系(α,δ)的理想平面投影(X,Y)，以及(k,r)對應(yīng)的直角坐標(biāo)(x,y)，通過建立線性修正方程簡化模型擬合復(fù)雜度。即建立：

(α,δ)?(X,Y)?(x,y)?(k,r)

(1)

實(shí)現(xiàn)(α,δ)→(k,r)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換[2]。

(2)

式中，(α0,δ0)是望遠(yuǎn)鏡指向位置；(α,δ)是參考星位置；(X,Y)是參考星在理想平面的投影坐標(biāo)。

(3)

式中，(k,r)是自動(dòng)導(dǎo)星單元軸系位置；(x,y)是對應(yīng)的直角系位置。

(4)

(5)

使用最小二乘法建立F與(p1,p2,p3,p4,p5,p6)，G與(q1,q2,q3,q4,q5,q6)的齊次方程求解矩陣[3]：

和

表1 中心指向修正模型對應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2 像場旋轉(zhuǎn)修正模型

像場旋轉(zhuǎn)修正模型是為了建立CCD靶面坐標(biāo)系(Δx, Δy)→赤道系(Δα, Δδ)的映射關(guān)系，根據(jù)星像像素偏差計(jì)算望遠(yuǎn)鏡軸系偏差，消除由于r模式運(yùn)動(dòng)帶來的像場旋轉(zhuǎn)造成的位置計(jì)算誤差。

對于本系統(tǒng)中自動(dòng)導(dǎo)星單元導(dǎo)星CCD視場約1′來說，可以忽略視場形變。因此，假設(shè)(Δx, Δy)與(Δα, Δδ)平面投影夾角為θ，則有如下公式：

(6)

為了簡化數(shù)學(xué)模型，規(guī)避極坐標(biāo)系的圓周期，將θ與r轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系建立如下修正模型：

(7)

由此，可以如公式(5)一樣，使用最小二乘法建立求解方程，并建立像場旋轉(zhuǎn)修正模型。像場旋轉(zhuǎn)修正模型對應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)見表2。

表2 像場旋轉(zhuǎn)修正模型對應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

3 仿真試驗(yàn)

2.5 m望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中控制自動(dòng)導(dǎo)星單元實(shí)現(xiàn)對參考星的定位，以及根據(jù)參考星位置偏差量計(jì)算望遠(yuǎn)鏡軸系誤差，其精度由方位軸、俯仰軸、機(jī)械消轉(zhuǎn)軸和自動(dòng)導(dǎo)星單元本身的定位精度決定。方位軸、俯仰軸和機(jī)械消轉(zhuǎn)軸使用Tpoint擬合其周期性誤差，一般可以達(dá)到優(yōu)于10″的定位精度。自動(dòng)導(dǎo)星單元定位精度由測角精度、機(jī)械重復(fù)精度、控制精度和模型精度決定，需要確認(rèn)使用本文論述的擬合方法不會為自動(dòng)導(dǎo)星單元定位精度帶來額外誤差。

在仿真試驗(yàn)中，為k模式運(yùn)動(dòng)添加1‰的隨機(jī)誤差，r模式運(yùn)動(dòng)添加10′的隨機(jī)誤差，評估模型修正后在k-r坐標(biāo)系和X-Y坐標(biāo)系的殘差。在赤經(jīng)0°、赤緯40°位置使用9點(diǎn)擬合殘差見表3。

表3中x殘差和y殘差由公式(3)微分計(jì)算傳遞誤差：

(8)

由仿真結(jié)果可以確定：當(dāng)k模式運(yùn)動(dòng)中存在1‰的隨機(jī)誤差，r模式運(yùn)動(dòng)中存在10′的隨機(jī)誤差時(shí)，自動(dòng)導(dǎo)星單元中心指向修正模型在XY坐標(biāo)系中有約0.05測角計(jì)數(shù)誤差。一般來講，現(xiàn)代光柵尺、圓光柵等測量設(shè)備的精度都在角秒量級，0.05測角計(jì)數(shù)可以說明修正模型能夠比較好地修正自動(dòng)導(dǎo)星單元中心指向誤差，不會為系統(tǒng)帶來額外誤差。

4 總 結(jié)

本文給出兩個(gè)數(shù)學(xué)修正模型，解決2.5 m望遠(yuǎn)鏡自動(dòng)導(dǎo)星單元系統(tǒng)工作中的兩個(gè)問題：(1)由參考星的赤道坐標(biāo)計(jì)算其控制位置，實(shí)現(xiàn)將參考星引入自動(dòng)導(dǎo)星單元視場；(2)建立CCD靶面坐標(biāo)系與赤道坐標(biāo)系夾角隨自動(dòng)導(dǎo)星單元旋轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系，可以由星像偏差量實(shí)時(shí)計(jì)算望遠(yuǎn)鏡軸系偏差量，保證控制系統(tǒng)完成自動(dòng)導(dǎo)星流程。

在數(shù)學(xué)模型建立過程中，借助球面坐標(biāo)到理想投影平面坐標(biāo)的映射關(guān)系，以及極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的映射關(guān)系，將非線性的矩陣求解方程轉(zhuǎn)換為線性，在不損失擬合精度的同時(shí)簡化了數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系。

表3 在赤經(jīng)0°、赤緯40°位置使用9點(diǎn)擬合殘差

[1]譚徽松, 趙昭旺, 盧汝為. 偏置導(dǎo)星的性能和使用[J]. 云南天文臺臺刊, 1980(1): 23-27.

[2]李東明. 天體測量方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006.

[3]丁月蓉. 天文測量數(shù)據(jù)的處理方法[M]. 南京: 南京大學(xué)出版社, 1990.