高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性導(dǎo)出的新守恒量

鄭世旺，王建波

(商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，河南商丘476000)

高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性導(dǎo)出的新守恒量

鄭世旺，王建波

(商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，河南商丘476000)

研究了高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性及其所導(dǎo)出的新守恒量，給出了這種新守恒量的函數(shù)表達(dá)式和導(dǎo)出這種守恒量的判據(jù)方程.該研究結(jié)果具有一般性，為探究任意階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的守恒規(guī)律奠定了理論基礎(chǔ).

高階非完整系統(tǒng);廣義Tzénoff方程;Mei對(duì)稱;新守恒量

0 引言

1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動(dòng)力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運(yùn)動(dòng)微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動(dòng)力學(xué)方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡(jiǎn)捷的動(dòng)力學(xué)微分方程.在1985到1987年期間，我國(guó)學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[1]、變質(zhì)量系統(tǒng)[2]、變質(zhì)量高階非完整系統(tǒng)[3]，在專著[4]中又推出了廣義Tzénoff函數(shù)和廣義Tzénoff方程.對(duì)稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的守恒量更能揭示深刻的物理規(guī)律，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量之間具有一定的內(nèi)在關(guān)系[5].近年來(lái)，對(duì)稱性與守恒量的研究已經(jīng)成為力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的一個(gè)非?；钴S的課題，且已經(jīng)取得重要研究成果[6－21]，這些成果大都是借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)、Hamilton函數(shù)和Appell函數(shù)來(lái)求系統(tǒng)的守恒量，其實(shí)在分析力學(xué)中有多種運(yùn)動(dòng)微分方程，其中最為簡(jiǎn)捷的是Tzénoff方程，只要給出系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)，研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是比較方便的.目前，Tzénoff方程的對(duì)稱性與守恒量的研究也有了一些成果[22－30]，但這些成果主要是針對(duì)一般Tzénoff方程，還沒(méi)有涉及到高階非完整系統(tǒng)下的廣義Tzénoff方程.

本文企圖研究高階非完整約束狀態(tài)下廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性及其直接導(dǎo)出的守恒量，力求給出高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的判據(jù)方程及其守恒量的表達(dá)式，最后舉例說(shuō)明研究結(jié)果的應(yīng)用.

1 高階非完整系統(tǒng)的廣義Tzénoff方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)來(lái)確定，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受有g(shù)個(gè)理想l階非完整約束

約束(1)加在虛位移的Chetaev條件為

取廣義Tzénoff函數(shù)為[4]

由于ri=ri(t，qs)，又有

和

所以，廣義Tzénoff函數(shù)Km是的函數(shù).由文獻(xiàn)[27]知高階非完整系統(tǒng)的廣義Tzénoff方程為

方程(6)中的m和l可以相同也可以不同，設(shè)系統(tǒng)非奇異，可由方程(1)，(6)先求得乘子λβ，若m≥l，則λβ最多是的函數(shù)，若m≤l，則λβ最多是的函數(shù).可將方程(4)表示為

雖然，Km中含有因子，但由于(4)、(5)式知方程(6)、(7)的左端不可能含有因子.以下推導(dǎo)我們暫設(shè)m≥l，則(7)式中

2 高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的定義和判據(jù)

取時(shí)間和坐標(biāo)的群的無(wú)限小變換

或其展開(kāi)式

其中ε是一無(wú)限小參數(shù)，ξ0，ξs為無(wú)限小生成元.于是有，

其中算符[21]

高階非完整約束(1)在變換(9)下的不變性歸結(jié)為約束限制方程

定義如果用經(jīng)過(guò)變換后的函數(shù)Km*和Λ*s代替變換前的函數(shù)Km和Λs，方程(7)的形式保持不變，即

或

且約束限制方程(13)成立，那么這種不變性稱為高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性.(15)式即為高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的判據(jù)方程.

判據(jù)對(duì)高階非完整約束系統(tǒng)，如果無(wú)限小生成元ξ0，ξs使判據(jù)方程(15)成立，則相應(yīng)的不變性為高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性.

3 高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性所導(dǎo)出的新守恒量

定理對(duì)于高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的生成元ξ0，ξs，如果能找到規(guī)范函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

則這種廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性將直接導(dǎo)出一種新守恒量

(16)式中

證明對(duì)(17)式求導(dǎo)并考慮到在Mei對(duì)稱性情況下判據(jù)方程(15)成立，有

證畢.

4 分析與討論

當(dāng)m=2時(shí)，(3)式為一般Tzénoff函數(shù)，此時(shí)，由于，故結(jié)構(gòu)方程為

新守恒量為

新守恒量為

新守恒量為

……

5 應(yīng)用例子

已知高階非完整約束系統(tǒng)廣義Tzénoff函數(shù)和約束條件分別為

試求該力學(xué)系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性直接導(dǎo)出的新守恒量(21).

解從(24)、(25)可以看出m=3，l=2，此時(shí)，高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程(6)應(yīng)為

方程(26)給出

由(25)、(27)式求得

(27)式成為

由(8)式給出

取生成元

有

顯然Mei對(duì)稱性判據(jù)方程(15)成立.結(jié)構(gòu)方程(20)給出.

當(dāng)G1=0時(shí)，(21)式給出平凡守恒量，當(dāng)G2=－t+q2時(shí)，(21)式給出新守恒量

6 結(jié)語(yǔ)

本文研究了高階非完整約束狀態(tài)下廣義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性及其直接導(dǎo)出的新守恒量，給出了高階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的判據(jù)方程及其新守恒量的表達(dá)式，該研究結(jié)果對(duì)探究任意階非完整系統(tǒng)廣義Tzénoff方程的守恒規(guī)律奠定了理論基礎(chǔ).

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Mei symmetry and new conserved quantities of generalized Tzénoff equations for higher－order nonholonomic system

ZHENG Shiwang，WANG Jianbo
(School of Physics and Electrical Information，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China)

The Mei symmetry of generalized Tzénoff equations of the higher－order nonholonomic system and new conserved quantities derived from that are studied in this paper.The function expression and criterion equation of these new conserved quantities are given.This result is general and establishes the theory basis for researching the conversed laws of generalized Tzénoff equations of any order nonholonomic system.

higher－order nonholonomic system;generalized Tzénoff equations;Mei symmetry;new conserved quantities

O320

A

1672－3600(2013)09－0035－06

2013－01－19;

2013－01－28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.10972127)

鄭世旺(1963－)，男，河南蘭考人，商丘師范學(xué)院教授，主要從事分析力學(xué)的研究.

【責(zé)任編輯:徐明忠】