基于夾角余弦的電離層TEC混沌預測

孫佳龍，郭金運，郭淑艷

(1.淮海工學院測繪工程學院，江蘇連云港222001;2.山東科技大學測繪科學與工程學院，山東青島266510;3.海島(礁)測繪技術國家測繪局重點實驗室，山東青島266510)

一、引 言

電離層電子濃度總含量(total electron content，TEC)是描述電離層形態(tài)和結構的重要參數，其時空變化會對各種無線電通信系統(tǒng)產生不可忽視的影響。為提高測繪、航空航天和國防等領域開展的遠程空間探測、定位和通信的工作性能，需要提供較高精度的電離層TEC預報結果［1-2］。

對于數小時至數天的短期預報，通常采用線性時間序列預測模型(如ARMA或AR模型)進行預報［3-5］，而對于電離層TEC的非線性預報模型特別是混沌模型的研究則較為少見［6］。加權一階局域法是較為有效且精度較高的一種混沌預測方法，而加權一階局域法通常采用距離(歐氏距離)基準相點最近的幾個相點作為擬合參數的參考點，以實現短期預測［7-8］。參考鄰域與基準相點的相關性越高，預測精度越有保證。相關性高的相點在時間軸上具有相似的形狀，當嵌入維數較小時，通過歐氏距離選擇的參考鄰域可以反映這種相關性;但當嵌入維數逐漸增大時，其局限性則開始逐步顯現［9］。而夾角余弦是利用向量空間中兩個向量夾角的余弦值作為衡量兩個向量間差異的大小，夾角余弦值越大，夾角越小，相關性越高。因此，本文提出采用夾角余弦作為反映向量相關性的一種指標，對相似相點進行有效選擇［10］。

本文采用IGS(International GNSS Service)提供的全球經度方向間隔5°、緯度方向間隔2.5°格網，時間間隔為2 h的全球電離層TEC時間序列，利用混沌預測理論對該時間序列的混沌特征進行分析，并利用基于夾角余弦的加權一階局域混沌預測模型對電離層TEC進行準確地預報。

二、混沌序列的相空間重構理論與預測

Takens定理認為系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他分量所決定的。因此，這些分量的信息隱含在任一分量的發(fā)展過程中，重構系統(tǒng)相空間只需考察一個分量，通過某些固定的延時點上的觀測值找到相應的m維分量，就可以重構出一個等價的相空間［11］。如何選擇適當的時間延遲和嵌入維數是相空間重構的主要內容。在利用重構的相空間進行預測時，最大Lyapunov指數不僅可以作為判定系統(tǒng)是否具有混沌特性的依據，而且其倒數還可作為系統(tǒng)的可預報尺度，為準確地預報提供尺度上的依據［11］。

1.時間延遲τ和嵌入維數m

時間延遲τ是計算其他參數的基礎，它表示相空間中相矢量的各分量在時間序列中時間間隔的大?。?］。計算時間延遲的方法主要有自相關法、平均位移法、復自相關法、去偏自相關法、互信息法和C-C法等［8］。由于去偏自相關法具有很強的理論依據，數學表達式簡潔，復雜程度適中，且容易計算，因此本文采用去偏自相關法計算時間延遲。

去偏自相關法的計算公式為

式中，N為樣本個數;xi為第i個樣本;為時間序列的平均值。

隨著τ值的不斷增加，Rxx不斷減小，當Rxx減小到初始值的1－時，此時的τ值就是重構相空間的時間延遲。計算嵌入維數m的方法主要有偽最近臨域法、真實矢量法、Cao方法及飽和關聯(lián)維數(G-P)法等［7］。其中，G-P法是最常用的計算嵌入維數的方法，因此本文采用G-P算法計算嵌入維數［9］。

2.最大Lyapunov指數

Lyapunov指數是定量描述混沌運動對初值條件的敏感性的吸引子特征量［11］。若系統(tǒng)的最大Lyapunov指數為正，則系統(tǒng)是混沌的，其值越大，混沌特性越強，對初始值的敏感性也越強;反之則敏感性越弱。最大Lyapunov指數的倒數可作為系統(tǒng)的可預報尺度，即只有在該預報尺度范圍內，才能對系統(tǒng)作高精度的預測。

Lyapunov指數可定義為

3.混沌預測方法

加權一階局域法是以相空間軌跡的最后一點作為中心點，把離中心點最近的若干軌跡點作為相關點，以X(t+1)=a+b X(t)來擬合中心點周圍的小鄰域的。設中心點周圍的鄰域包括k個點(t1，t2，…，tk)，則X(t+1)=a+b X(t)可以表示為

用最小二乘法求出a和b，再通過X(n+1)=a+b X(n)得到相空間中軌跡的趨勢，從而可以從X(n+1)中分離出時間序列的預測值。對于中心點周圍鄰域內相關點的個數k，如果k值過大，則會影響預測的效果，通常選擇k≥m+1即可，m為嵌入維數。在選擇相關點時，本文采用夾角余弦作為兩空間向量相似度的指標，夾角余弦是用向量空間中兩個向量夾角的余弦值作為衡量兩個向量間差異的大小，其表達式為［9］

式中，m為嵌入維數;Xi和Xj為基準相點鄰域內任意兩個相點。

三、電離層TEC的混沌特征分析與預測

本文選取東經120°，北緯45°上空的2008年年積日101～150 d時間段內共600個電離層格網TEC數據為時間序列樣本，時間間隔為2 h。利用去偏自相關法計算時間延遲τ=2，利用G-P法計算的關聯(lián)積分和關聯(lián)空間維數如圖1所示。從圖1(a)中可以看出，當m＞5以后，曲線的左端有一段近似直線的線段，其斜率為2.2632，且基本不隨嵌入維數m的變化。從圖1(b)也可以看出，在m≥5的區(qū)間內，關聯(lián)維數d在一定誤差范圍內保持不變。理論上，嵌入維數m應在d～2d+1之間，因此本文取嵌入維數m=5。

圖1 電離層TEC時間序列的關聯(lián)積分和關聯(lián)空間維數

采用Wolf方法［8］計算時間序列的最大 Lyapunov指數 λ=0.083 3，由此可得最大預報尺度≈12，即有效預報尺度為12個相空間點，由于該

時間序列的時間間隔s即它的平均周期為14，換成時間序列中的點則是168個點(12s=12×14=168)。將TEC數據分為前后兩部分，前部分用來分析，在對TEC數據前半部分進行分析的基礎上，對后半部分進行預測，并將預測結果和實測值進行比較。由于時間序列的嵌入維數為5，因此利用加權一階局域法預測時，基準相點周圍鄰域內相關點的個數k=6，由歐氏距離和夾角余弦得到的相似相點與基準相點如圖2所示。

圖2 基于歐氏距離和夾角余弦得到的相似相點

圖2中，實線為基準相點;虛線為相似相點。從圖2中可以看出，基于兩種方法得到的相似相點有一部分是重合的，說明利用歐氏距離和夾角余弦在某種情況下選擇的目標具有一致性。由于存在不同的相似相點，因此導致這種方法在最終搜索到的所有相似相點與基準相點的運動趨勢上有所差別。而基于夾角余弦(如圖2(b)所示)得到的相似相點與基準相點在相空間上的運動趨勢比基于歐氏距離(如圖2(a)所示)得到的相似相點更為相似，相關性更高。為了更細致地比較利用這兩種方法搜索到的相關相點的相似性情況，本文分別將基于歐氏距離(Euclidean distance，ED)和夾角余弦(cosine，C)得到的相關點的各分向量與基準相點的分向量求取差值，并比較差值的最大值、最小值、平均值、STD和RMS，結果見表1。

從表1中可以看出，6個相似相點與基準相點的差值中，除第4分向量，夾角余弦(C)得到差值的最大值高于歐氏距離外，其余最大值結果均相差無幾，說明兩種方法得到的結果在整體上的差異不大;而兩種方法得到的差值的STD中，夾角余弦除在第4分向量略大于歐氏距離外，在其他4個向量中，均小于歐氏距離，由此說明，夾角余弦得到的相似相點在整體離散程度上優(yōu)于歐氏距離;而在衡量相似相點與基準相點之間偏差的指標RMS中，夾角余弦除在第4分向量略不及歐氏距離外，在其余4個分向量中，均優(yōu)于歐氏距離方法，由此可見，夾角余弦方法得到的相似相點在整體上比歐氏距離方法更相似于基準相點。

為了比較和驗證以上兩種方法選擇的相似相點所取得的預測效果，本文對時間序列最后168個TEC數據進行了預測，預測結果如圖3所示。

從圖3中可以看出，兩種方法得到的預測值與TEC實測值的變化趨勢基本吻合，而在時間序列的峰值和谷底，由夾角余弦得到的預測值比由歐氏距離得到的預測值更接近于實測值。由兩種方法得到的預測值與實測值之間差值的各種指標見表2。

圖3 基于歐氏距離和夾角余弦得到的TEC預測結果

表2 夾角余弦和歐氏距離得到的預測值與實測值的比較結果

從表2中可以看出，使用夾角余弦得到的預測值與實測值之間的最大差值比歐氏距離小，說明在時間序列的峰值和谷底，該方法得到的預測值更接近于實測值。而該方法得到的差值的STD和RMS都小于歐氏距離，說明無論在差值本身離散程度上還是與實測值的偏離程度上，夾角余弦都優(yōu)于歐氏距離，因此精度更高。由此可見，當嵌入維數較高時，夾角余弦比歐氏距離能更準確地反映相空間向量的相似性，從而尋找到與基準相點更為相似的相關相點，因此可以提高預測精度。

四、結束語

本文根據混沌理論，以東經120°，北緯45°上空的2008年年積日101～150 d時間段內共600個電離層格網TEC數據作為研究樣本，分析了該點上空電離層TEC參數的混沌特性，發(fā)現其關聯(lián)維數為2.263 2，嵌入維數 m=5，最大 Lyapunov 指數為0.083 3，TEC時間序列具有混沌的特征，存在混沌現象。因此，可以使用混沌理論對TEC時間序列進行預測。

采用加權一階局域法對TEC時間序列進行預測時，分別采用歐氏距離和夾角余弦作為衡量指標選擇與基準相點相似的相關相點。結果表明，夾角余弦除在第4分向量略不及歐氏距離方法外，在其余4個分向量中，均優(yōu)于歐氏距離方法。

利用兩種方法選擇的相似相點進行一階局域預測時，夾角余弦得到的STD和RMS均小于歐氏距離得到的STD和RMS，說明夾角余弦可以準確地選擇與基準點相關性更強的相似相點，從而能提高預測精度。因此，預測精度更高。

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