貸款利率模型構(gòu)建與應(yīng)用
——基于ZZ資本結(jié)構(gòu)模型

張志強，俞明軒

(中國人民大學 商學院，北京 100872)

借助期權(quán)定價的Black－Scholes－Merton模型，Merton［1］推導(dǎo)出了經(jīng)典利率模型。此后，貸款利率的研究分為兩類:結(jié)構(gòu)化模型和簡化模型。由于后來沒有面向決策應(yīng)用的得力研究，或者因為學術(shù)領(lǐng)域提供的模型太多，且復(fù)雜難懂(包括簡化模型)，難以分辨優(yōu)劣對錯，在莫衷一是的情況下，銀行等相關(guān)實務(wù)領(lǐng)域不得不采用成本加成定價模型、基準利率加點模型以及客戶盈利分析模型等純粹操作性的模型或辦法。

我國各大商業(yè)銀行多借鑒這三種定價模式確定利率。但不可否認，這樣的純粹操作性模型包含了大量的主觀因素，如成本加成中成數(shù)的確定、基準利率加點中點數(shù)的確定等，都沒有一定的或邏輯嚴密的依據(jù)。從而根據(jù)這些模型確定利率不可避免地有很大的主觀隨意性，難以真正起到模型所應(yīng)有的作用;也不利于銀行根據(jù)企業(yè)的風險精確確定貸款利率;更不利于銀行最大限度地趨利避害，在市場競爭中取勝。

區(qū)別于以往的研究，本文的研究遵循以下原則:

第一，研究的目的是從理論上解決貸款利率的確定問題，不是總結(jié)歸納或介紹以往的研究文獻，也不是總結(jié)或解釋現(xiàn)實的做法，更不是用統(tǒng)計數(shù)據(jù)檢驗“假設(shè)”。

第二，基于符合實際的前提條件，通過嚴格的邏輯推導(dǎo)得到貸款利率的封閉解模型;不人為假設(shè)模型的形式 (如線性函數(shù)等)以及模型中應(yīng)該包含的自變量。

第三，在不影響有效解決問題的前提下，盡可能簡化模型及其推導(dǎo)過程，盡可能不用復(fù)雜的數(shù)學工具;模型盡可能依靠手工或簡單而通用的軟件就可實現(xiàn)計算。

第四，模型有用戶友好特性。除了以上提到的方面，至少還包括三方面:一是通用性，不針對特定時間、地點和條件，有跨越時空 (時期、行業(yè)和國別等)的適用性;二是靈活性，模型經(jīng)過簡單調(diào)整就可適合特定用戶環(huán)境或要求;三是明確性，具體而言，即模型的因變量直接是“利率”，以方便理解和應(yīng)用。

第五，基于典型公司測試模型的運算效果，為讀者和銀行理解和應(yīng)用提供初步感性認識，方便對模型的有效性做初步判斷，而不是只提供模型及其推導(dǎo)過程。

一、貸款的風險

針對銀行向公司貸款，貸款常見的風險包括通貨膨脹風險、流動性風險、期限風險和違約風險。

理論上，違約風險是指債務(wù)人無力如期足額歸還本息的情況，等同于破產(chǎn)風險;而不包含債務(wù)人在有能力的情況下，故意逃避歸還責任的情況。這與現(xiàn)實中的認識有所不同?？梢哉J為，違約風險、信用風險、財務(wù)風險和破產(chǎn)風險基本是同一種風險，只是強調(diào)的重點或觀察的角度不同而已。同時，期限長短主要影響公司違約的可能性。因此，期限風險其實是影響違約風險的一個因素，已經(jīng)包含在違約風險之中。

一般認為，政府債券即國債沒有違約風險，因為政府掌握貨幣發(fā)行的權(quán)利，歸還債務(wù)本息沒有問題。政府債券因此被稱為無風險債券，其實只是沒有違約風險，仍然會有通貨膨脹風險和流動性風險。所以，投資政府債券仍然要有收益，這種收益包含了對通貨膨脹風險和流動性風險的補償，但通常稱為無風險收益率或無風險利率。與政府債券相對應(yīng)，所謂風險債券主要指公司債券，而其風險則專指破產(chǎn)或違約風險。

綜上所述，貸款的風險可以歸結(jié)為時間風險和違約風險兩類。相應(yīng)地，利率作為對債權(quán)方的補償由無風險利率和風險補償率兩部分構(gòu)成。無風險利率是對時間延遲、通貨膨脹以及減少流動性的補償，風險補償率則是對破產(chǎn)風險即因此而無法及時足額還本付息的補償。無風險利率的確定相對簡單，可以根據(jù)同樣期限政府債券收益率確定。這樣，確定利率的主要困難就集中于如何根據(jù)違約或破產(chǎn)風險確定風險補償率問題。

二、風險的價值——ZZ破產(chǎn)成本模型

如上所述，違約即指公司破產(chǎn)情況下，不能如期足額歸還貸款本息的情況。那么，公司在什么情況下會破產(chǎn)呢?所謂破產(chǎn)通常指公司在債務(wù)(貸款)到期時資產(chǎn)總價值小于貸款帳面本息和的情況，即資不抵債。注意，銀行為發(fā)放貸款而確定利率時公司肯定沒有破產(chǎn)，甚至沒有破產(chǎn)的預(yù)期，否則，銀行不會考慮發(fā)放貸款。

因此，違約風險即指公司未來出現(xiàn)破產(chǎn)的風險，而在貸款發(fā)放時，這種破產(chǎn)的可能性預(yù)期往往不大。如無風險利率通常指年率一樣，所謂風險補償率也按照年補償率來表達。如何將這種似乎不大的風險補償再“分攤”到每年上呢?依據(jù)或正確的方法是什么?可以想象，要確定風險補償率，可以先考慮如何確定違約或破產(chǎn)風險的價值，然后才能將這種風險的價值再“分攤”到每年上，得到 (年)風險補償率。

違約或破產(chǎn)風險的價值在金融學中有一個專門術(shù)語，即“破產(chǎn)成本”。破產(chǎn)成本的計量是資本結(jié)構(gòu) (即公司的最優(yōu)負債率)研究中涉及的核心問題之一。我國學者在破產(chǎn)成本計量以及公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)研究方面率先取得突破。基于金融的決策學科特性，按照事先的決策概念 (而不是事后的統(tǒng)計概念)推導(dǎo)出了破產(chǎn)成本的正確計量方法，并一舉解決了公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。有關(guān)成果已經(jīng)在《會計研究》［2］、《Frontiers of Business Research in China》［3］、 《財經(jīng)問題研究》［4］等面向國內(nèi)外讀者的專業(yè)雜志以及《高級財務(wù):理論創(chuàng)新與決策應(yīng)用》［5］一書中都有不同角度的展現(xiàn)和應(yīng)用。

本文就借助該最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)研究的前期成果，即ZZ破產(chǎn)成本模型，探討銀行貸款利率的確定問題，當然主要是其中的風險補償率的確定問題。ZZ破產(chǎn)成本模型與標準Black－Scholes的賣方期權(quán)定價模型形式上略有不同［5］，如式

(1)、式 (2)和式 (3)所示。ZZ破產(chǎn)成本=BC

其中，

S和σ分別為公司價值及其波動率;后者指年投資收益的標準差。T為債務(wù)的到期時間。N(－d2)和N(－d1)分別代表在標準正態(tài)分布下，變量值?。璬2和－d1時的累積概率。

例如，考慮一家典型公司，公司價值S=100，債務(wù)價值X=50。根據(jù)常規(guī)情況確定其他數(shù)據(jù)，如，公司所得稅率f=25%，無風險利率r=4%，貸款期限T=5年，以及波動率σ=26%。①有關(guān)公司所得稅率f、無風險利率r以及貸款期限T的數(shù)據(jù)是結(jié)合我國和國際上多數(shù)國家的情況而確定的“典型”數(shù)據(jù)。Nengjiu Ju等(2005)按照38%計算公司價值的波動率。而在以往的研究中，公司價值的波動率經(jīng)常按照20%計算，例如Leland(1973)以及Leland和Toft(1996)等的研究。這里波動率取26%，是38%取權(quán)重為1/3和20%取權(quán)重為2/3的加權(quán)平均數(shù)。因而根據(jù)式 (1)、式 (2)和式 (3)，ZZ破產(chǎn)成本 =2.2777，即破產(chǎn)成本為公司價值的2.2777/100=2.2777%。

在ZZ破產(chǎn)成本的基礎(chǔ)上推出的ZZ杠桿模型或ZZ最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)模型如下:

其中，probit()為標準正態(tài)分布累積概率函數(shù)的反函數(shù)。

沿用前面的數(shù)據(jù)，即f=25%，r=4%，T=5，σ=26%?；赯Z杠桿模型，可以得出該典型公司最優(yōu)杠桿比率L=31.5775%。

這個結(jié)果與世界范圍內(nèi)許多調(diào)查報告的公司平均債務(wù)比率接近，這說明根據(jù)ZZ杠桿模型得到的最優(yōu)債務(wù)比率與公司“經(jīng)驗指導(dǎo)下”的資本結(jié)構(gòu)決策的總體情況相吻合。由此直接解釋了長期困惑財務(wù)和金融領(lǐng)域的一個問題:為什么現(xiàn)實中的公司普遍存在財務(wù)保守傾向 (即傾向于少借債)?其實，現(xiàn)實中的公司不存在財務(wù)保守傾向，只是學術(shù)領(lǐng)域在沒有解決最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的情況下，誤將50%左右的債務(wù)比率認為是最優(yōu)標準，造成了錯誤的判斷。也就是說，在典型或常規(guī)情況下，50%左右的債務(wù)比率已經(jīng)過高了。

三、風險補償率——ZZ貸款風險補償率模型

ZZ破產(chǎn)成本模型成功解決了違約或破產(chǎn)風險的價值計量問題，在此基礎(chǔ)上，就可以考慮如何將這個風險價值“分攤”到各年上以得到(年)風險補償率。

一個簡單推導(dǎo)思路是:將違約或破產(chǎn)風險的價值看作是貸款期限內(nèi)的風險總成本 (價值)，運用基礎(chǔ)財務(wù)和金融理論中的等年值方法可以“分攤”破產(chǎn)成本得到絕對量的年化風險補償，然后再除以貸款本金即得到年風險補償率。以BC和ABC分別表示貸款風險的總價值 (成本)和年化價值 (成本)，根據(jù)等年值公式可得:

將年化風險成本ABC除以貸款本金X即得年風險補償率:

其中，BC見式 (1)。將式 (1)代入式(6)，整理可得，

其中，d1和d2見式 (2)和式 (3)。

式 (7)即是基于ZZ破產(chǎn)成本模型推導(dǎo)出來的貸款風險補償率模型，區(qū)別于其他模型，可稱之為ZZ貸款風險補償率模型。根據(jù)式 (7)，貸款的風險補償率取決于無風險利率r、貸款期限T、公司價值波動率σ以及公司債務(wù)比率L。

在上述基準案例中，已知，f=25%，r=4%，T=5，σ=26%。當該公司達到最優(yōu)債務(wù)比率，即 31.5775%時，d1 =2.2734，N(d1)=0.9885，N(－d1)=0.0115;d2=1.6921，N(d2)=0.9547，N(－d2)=0.0453。因此，破產(chǎn)成本為:

根據(jù)式 (7)，該公司貸款的合理風險補償率為:

當該公司面臨的其他情況不變，但債務(wù)比率達到50%時，破產(chǎn)成本為2.2777。根據(jù)式 (7)，該公司貸款的合理風險補償率為1.0233%。隨著債務(wù)比率的增加，風險補償率上升，這顯然符合常理。在這個“基本解”模型的基礎(chǔ)上，本文下面進一步測試其應(yīng)用效果，發(fā)現(xiàn)和解決該模型應(yīng)用中的問題，挖掘該模型的應(yīng)用潛力。

四、利率的確定——ZZ貸款利率模型

如前所述，貸款利率應(yīng)該等于無風險利率加上合理的風險補償率。在上面典型公司達到最優(yōu)債務(wù)比率的情況下，根據(jù)式 (7)計算，該公司貸款的合理風險補償率為1.0233%;加上無風險利率4%可得該公司貸款的合理利率為4.1999%。同理，在債務(wù)比率達到50%時，該公司貸款的合理利率為5.0233%。

自然，可以寫出ZZ貸款利率模型如式 (8)所示:

其中，y為貸款利率;d1和d2見式 (2)和式 (3)。

為方便讀者和銀行人員查閱、思考和理解，下面將其他變量的取值固定在前面的“基準”水平上，然后分別考慮前三大因素中一個因素以及公司債務(wù)比率變化情況下，根據(jù)式 (7)和式(8)計算該公司貸款的合理風險補償率和利率。結(jié)果如表1、表2和表3所示。

表1 不同無風險利率下，貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

表2 不同貸款期限下，貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

表3 不同波動率下，貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

在表1和表3中，計算出的利率隨著無風險利率r、公司價值波動率σ以及公司負債率L的增加而增加，這些都符合常識和業(yè)界慣例。同樣，在公司負債率較低，如公司負債率小于60%的情況下，利率隨貸款年限的增加而增加，符合常識和直覺。然而，在表2中，在公司負債率較高，即負債率大于60%的情況下，隨著貸款年限的增加，利率反而減少，這似乎不太合理。下面通過應(yīng)用研究加以解釋和修正。

五、模型的應(yīng)用

理論研究得到的“基本解”模型在應(yīng)用時要根據(jù)實際情況做必要的調(diào)整，這也是本文強調(diào)要通過邏輯推理得到模型的道理。因為只有清楚模型背后的邏輯，才能根據(jù)實際情況做出恰當?shù)恼{(diào)整。我們將結(jié)合前面的分析以及表1、表2和表3的計算，發(fā)現(xiàn)ZZ貸款利率模型在應(yīng)用中的問題并做出調(diào)整，同時挖掘模型的應(yīng)用潛力。

1.從“平均利率”到“增量利率”

現(xiàn)實中，銀行考慮發(fā)放貸款時公司往往不是零負債狀態(tài)，也就是說，每一筆貸款所對應(yīng)的利率是一個“增量”貸款的利率，而不是從零到目前貸款規(guī)模的平均利率。因此，更有實際意義的是從負債率的某個水平，比如50%，增加到一個新水平，比如60%，所對應(yīng)的利率。下面就基于表1、表2和表3計算負債率在0%—10%、10%—20%、20%—30%、…等各水平的“增量”貸款利率，如表4、表5和表6所示。

表4 不同無風險利率下，新增10%的貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

表5 不同貸款年限下，新增10%的貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

表6 不同波動率下，新增10%的貸款利率隨公司債務(wù)比率的變化 單位:%

2.從確定利率到控制貸款

從表1、表2和表3的“平均利率”開始，就可以看到有一些不尋常的“高利率”;到表4、表5和表6的“增量利率”，這些不尋常的“高利率”就更多了。銀行作為資本市場的資金提供方，其特征是提供“低風險、低成本”的債務(wù)資本。由此可知，所謂不尋常的“高利率”實際代表銀行不宜發(fā)放相應(yīng)的貸款。因此，根據(jù)ZZ貸款利率模型或表4、表5和表6，不僅可以確定合理貸款利率，而且可以確定貸款發(fā)放界限。

根據(jù)風險的對比，貸款利率不應(yīng)該超過股票投資的正常收益率。按照常規(guī)情況，股票投資的正常收益率通常超過無風險利率5個百分點左右。按“無風險利率+5%”為貸款發(fā)放的界限，即合理利率超過“無風險利率+5%”確定為貸款風險過大，應(yīng)該拒絕發(fā)放貸款，則可發(fā)現(xiàn)，表4、表5和表6中大部分情況下，公司負債率超過50%都不宜發(fā)放貸款。而且隨著貸款年限和公司風險 (波動率)的增加，拒絕發(fā)放貸款的負債率界限遞減。當然，如果銀行在特定時期中認為應(yīng)該加強風險防范，也可以按照銀行自己的經(jīng)營需要，從嚴制定拒絕發(fā)放貸款的標準。比如，以“無風險利率+4%”或“無風險利率+3%”等。

本文開頭提到，根據(jù)ZZ杠桿模型得到“基準”案例公司的最優(yōu)負債比率為31.5775%，可以看出，這些拒絕發(fā)放貸款的負債率界限(50%左右)與ZZ杠桿模型的結(jié)論相吻合，具有合理性。進一步，在貸款年限確定的情況下，①在理論上，貸款年限主要應(yīng)該根據(jù)公司的資金需要 (如預(yù)期投資回收期等)情況而定。銀行的貸款決策除了考慮是否發(fā)放貸款、貸款利率為多少，還有就是貸款的規(guī)模或數(shù)額為多少的問題。理解了ZZ貸款利率模型或表4、表5和表6的計算可以得到控制貸款發(fā)放的界限，也就不難理解，這樣的計算方法同樣可以用于確定控制貸款發(fā)放的規(guī)?；驍?shù)額。

仍以“無風險利率+5%”為控制標準的話，在無風險利率為4%左右，公司價值波動率為26%左右的情況下，如果公司提出年限為10年的貸款申請，在公司目前是30%負債情況下，則可以發(fā)放的貸款規(guī)模應(yīng)該不超過該公司目前價值的20%。如果該公司總價值為1億元，則貸款規(guī)模不應(yīng)該超過2 000萬元;而且應(yīng)該在貸款合同中強調(diào)，公司不得擅自增加負債;即便得到本銀行同意，公司可以增加負債，本銀行的貸款在清償次序上應(yīng)該優(yōu)先于后續(xù)增加的負債;或者要求有可靠而充足的抵押資產(chǎn)才能給予貸款。

3.從貸款年限到分攤年限

進一步，從破產(chǎn)成本BC推導(dǎo)出利率的風險補償，基本思路是正確的。但是，式 (7)是將破產(chǎn)成本BC“平均分攤”到各年中。由于破產(chǎn)風險在各年中有相互抵消的作用，這就意味著貸款的期限越長，分攤后各年的風險補償可能越低?，F(xiàn)實中，貸款的期限越長，出現(xiàn)不能全額收回本息的可能性越大。在貸款年限內(nèi)“平均分攤”破產(chǎn)成本不利于銀行控制貸款風險和盡快回收貸款。顯然，“平均分攤”的做法似乎有欠妥當。

既然問題是按照貸款期限分攤風險造成的，就可以采用一個小于“貸款年限”的“分攤年限”解決這個問題。實際中，銀行可根據(jù)資本市場 (貸款市場)的供求情況以及自己的偏好，決定選擇何種方式得到“分攤年限”。即在貸款相對供不應(yīng)求，或自己有相對壟斷勢力時，采用合適的方式縮短“分攤年限”;反之，延長“分攤年限”。

根據(jù)式 (9)和式 (10)重新計算表1、表2和表3與表4、表5和表6，可以得到更穩(wěn)妥的貸款發(fā)放界限、貸款規(guī)模以及更符合銀行要求的貸款利率。限于篇幅，不再做具體計算演示。

六、結(jié) 論

本文基于ZZ杠桿模型的研究突破，即ZZ破產(chǎn)成本模型，推導(dǎo)建立了根據(jù)貸款對象企業(yè)的風險確定銀行貸款利率的基本理論模型，即ZZ貸款風險補償率模型和ZZ貸款利率模型，從而得到合理貸款利率的“基本解”模型。

應(yīng)用測試發(fā)現(xiàn)，“基本解”模型基本符合常理，但在考慮貸款期限方面有不盡人意的地方。進一步的應(yīng)用研究發(fā)現(xiàn)，ZZ貸款利率模型不僅可以用來根據(jù)企業(yè)實際情況確定貸款利率，還可以用來根據(jù)企業(yè)實際情況確定貸款的規(guī)模和可行性。而在貸款可行的范圍內(nèi)，模型對各變量的考慮基本是合理的。同時，用一個適當縮短的(風險)“分攤年限”代替貸款年限，可以增加以至確保計算結(jié)果在貸款可行范圍內(nèi)的合理性，即貸款利率隨著貸款年限的增加而增加，同時也將有利于銀行加強貸款的風險控制。

因而，有了ZZ貸款利率模型，根據(jù)申請貸款公司的當前價值及其波動率、公司目前負債比率、申請的貸款年限以及資本市場上的無風險利率，就可以計算得到貸款發(fā)放的可行性以及發(fā)放貸款的最大規(guī)模和合理利率，即可以全面解決銀行的貸款決策問題。值得注意的是，ZZ貸款利率模型是經(jīng)過嚴格邏輯推導(dǎo)建立的模型，因此，模型全面解決貸款決策的功能不受行業(yè)、地區(qū)、企業(yè)規(guī)模、企業(yè)類型以及國別的限制。

ZZ貸款利率模型作為理論上的“基本解”模型，不但有理論上的合理性，而且有足夠的應(yīng)用靈活性。銀行在具體應(yīng)用中，可以基于資本市場的競爭情況和銀行的方針政策，通過“企業(yè)風險的分攤年限”和“貸款利率的可行界限”兩個“手動變量”，調(diào)整模型的決策結(jié)果，以便達到從嚴控制風險或更有效吸引客戶的目的。

進一步，可以理解，雖然ZZ貸款利率模型是貸款利率模型，但也可用于存款利率的確定。如果將來，銀行在存款利率確定方面也有了更多的自主權(quán)，自然可以根據(jù)模型確定的貸款利率和經(jīng)營成本以及合理的利潤推導(dǎo)出合理的存款利率。從這個意義上講，ZZ貸款利率模型可以全面應(yīng)用于解決銀行的存款和貸款有關(guān)的決策問題。

［1］Merton，R.C.On the Pricing of Corporate Debt:The Risk Structure of Interest Rates ［J］.Journal of Finance，1974，29(2):449－470.

［2］張志強，肖淑芳.節(jié)稅收益、破產(chǎn)成本與最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)［J］.會計研究，2009，(4):47－55.

［3］Zhang，A.Q.Determine OptimalCapitalStructure Based on Revised Definitions of Tax Shield and Bankruptcy Cost［J］.Frontiers of Business Research in China，2009，3(1):120 －144.

［4］張志強.財務(wù)保守現(xiàn)象剖析［J］.財經(jīng)問題研究，2010，(6):56 －66.

［5］張志強.高級財務(wù):理論創(chuàng)新與決策應(yīng)用［M］.北京:北京大學出版社，2012.