梁式結(jié)構(gòu)損傷診斷應(yīng)變模態(tài)理論研究與仿真分析

張翌娜，劉美菊

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004）

0 引言

結(jié)構(gòu)功能的破壞往往是從裂縫開(kāi)始的，一旦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生裂縫，其承載能力就會(huì)大大降低，致使無(wú)法滿足其設(shè)計(jì)功能要求。 因此，工程上也將裂縫視為結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞的標(biāo)志。 一些學(xué)者對(duì)工程結(jié)構(gòu)的損傷診斷理論和方法進(jìn)行了廣泛而深入的探討。 如侯立群[1]針對(duì)大型橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中所涉及的幾項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)研究；李文雄等[2]通過(guò)對(duì)遺傳算法的特點(diǎn)進(jìn)行分析，提出以逐步評(píng)定并排除無(wú)損單元的思路來(lái)處理結(jié)構(gòu)損傷診斷問(wèn)題，并提出了一種3 階段結(jié)構(gòu)損傷診斷方法；張翌娜[3]探討了用曲率模態(tài)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)裂縫進(jìn)行損傷識(shí)別和定位的方法。

模態(tài)識(shí)別是結(jié)構(gòu)測(cè)試的重要手段之一。 根據(jù)所測(cè)物理量的不同，它分為位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)。 位移模態(tài)是通過(guò)測(cè)試位移量，得到模態(tài)參數(shù)，然后通過(guò)這些量對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)物性進(jìn)行分析。 它已經(jīng)有了一個(gè)比較成熟的體系，但在有些方面（如結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別），其作用不是很明顯。 應(yīng)變模態(tài)是通過(guò)測(cè)試結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下應(yīng)變的變化來(lái)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別。 本文基于應(yīng)變模態(tài)理論，以一混凝土懸臂梁為研究對(duì)象，通過(guò)建立不同損傷位置和不同損傷程度的模擬工況，進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷辨識(shí)研究，旨在通過(guò)結(jié)構(gòu)損傷前后的位移模態(tài)振型與應(yīng)變模態(tài)振型的比較，揭示應(yīng)變模態(tài)在結(jié)構(gòu)損傷診斷中的可行性，為大型工程結(jié)構(gòu)的損傷診斷提供技術(shù)支持。

1 應(yīng)變模態(tài)的基本理論

1.1 梁的振動(dòng)微分方程

應(yīng)變模態(tài)是位移模態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)位移模態(tài)，必定有一個(gè)應(yīng)變模態(tài)與之相對(duì)應(yīng)，二者是同一能量平衡狀態(tài)的兩種不同的表現(xiàn)形式。 以考慮黏滯阻尼和塑性變形條件的橫向彎曲振動(dòng)連續(xù)梁為例，其振動(dòng)微分方程可表示如下：

式中：u(x,t)為連續(xù)梁中心軸線上任一截面x 在t 時(shí)刻的橫向振動(dòng)位移；EI(x)為連續(xù)梁的抗彎剛度；m(x)為連續(xù)梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；α 為剛度比例系數(shù)。

1.2 模態(tài)分析求解方程

要得到上述振動(dòng)微分方程的解，首先需要了解模態(tài)分析的實(shí)質(zhì)。 簡(jiǎn)而言之，模態(tài)分析就是一種坐標(biāo)變換，其目的在于把原來(lái)在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中描述的響應(yīng)向量轉(zhuǎn)換到“模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)”中來(lái)描述。 該坐標(biāo)系統(tǒng)中的每一個(gè)基向量對(duì)應(yīng)于振動(dòng)系統(tǒng)中的每一個(gè)特征向量，利用每個(gè)特征向量之間的相互正交特性，可使待描述的振動(dòng)響應(yīng)向量的各個(gè)坐標(biāo)之間相互獨(dú)立，即在此坐標(biāo)系統(tǒng)中，上述的振動(dòng)微分方程可以表示為一個(gè)相互無(wú)耦合的方程組，每一個(gè)坐標(biāo)均可以單獨(dú)求解。

因此，根據(jù)模態(tài)實(shí)質(zhì)與振動(dòng)理論，如果振動(dòng)連續(xù)梁的各階位移模態(tài)已知，則式（1）的解可以用各階模態(tài)相互疊加的形式表示：

式中：Qr為復(fù)數(shù)變量；Φr（x）為梁的各階位移模態(tài)；Cr（x）為與位移模態(tài)相對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)；r 為模態(tài)階數(shù)，與結(jié)構(gòu)本身的自由度有關(guān)。

1.3 梁彎曲振動(dòng)的曲率函數(shù)

彈性梁在任意截面z 處的彎曲振動(dòng)的曲率變化函數(shù)可用下式表示：

式中： k（x,t）為振動(dòng)梁的曲率；ρ（x,t）為振動(dòng)梁的曲率半徑。

由材料力學(xué)知識(shí)可知， 直梁彎曲靜力關(guān)系如下：

式中： EI（x）為截面抗彎剛度； M（x,t）為截面動(dòng)彎矩。

1.4 曲率、應(yīng)變模態(tài)方程

如果已知結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的位移模態(tài)，則結(jié)構(gòu)各點(diǎn)曲率模態(tài)的中央差分[3]表達(dá)式如下：

聯(lián)合式（4）和式（5）可得：

式中：Φ＇rm為第r 階應(yīng)變模態(tài)函數(shù)；Φrm為r 階位移振動(dòng)幅值；m 為計(jì)算點(diǎn)個(gè)數(shù)；Δ 為相臨計(jì)算點(diǎn)的間距。

因此，與位移模態(tài)相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)可以表示為：

式中：h 為梁上任一截面處測(cè)點(diǎn)距中性層的距離。

該式表明了梁的曲率模態(tài)、應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)之間的相互關(guān)系。

2 懸臂梁損傷診斷仿真分析

以一混凝土懸臂梁為研究對(duì)象， 借助ANSYS有限元軟件，建立懸臂梁仿真模型。 通過(guò)建立不同損傷位置和不同損傷程度的模擬工況，進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷辨識(shí)研究。

2.1 懸臂梁損傷工況

懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸及力學(xué)參數(shù)如表1 所示，其模型如圖1 所示。

表1 懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸及力學(xué)參數(shù)Table 1 Cantilever beam structure size and mechanical parameters

圖1 懸臂梁模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Cantilever beam model structure

假定該懸臂梁損傷的缺口寬度為5 mm，5 處損傷位置與固定端距離分別為：100 mm、200 mm、300 mm、400 mm、100&400 mm， 各處損傷深度分別為：10 mm、20 mm、30mm，共計(jì)14 個(gè)工況（如表2 所示）。

表2 懸臂梁損傷工況Table 2 Cantilever beam damage condition

2.2 懸臂梁損傷對(duì)固有模態(tài)頻率的影響

通過(guò)有限元計(jì)算，懸臂梁結(jié)構(gòu)無(wú)損傷時(shí)的前五階固有頻率如表3 所示。

表3 無(wú)損傷梁前五階固有頻率Table 3 Natural frequency of zero damaged beam of first five steps

將無(wú)損傷懸臂梁和各種工況下的有損傷懸臂梁的頻率變化率做對(duì)比分析，并對(duì)不同損傷位置處的損傷程度加密處理（其中，損傷程度用材料彈性模量的降低來(lái)模擬）。 當(dāng)懸臂梁結(jié)構(gòu)在距固定端200mm 和300mm 處存在損傷時(shí)， 頻率相對(duì)變化率[3～4]如圖2 和圖3 所示。對(duì)比研究結(jié)構(gòu)在同一位置不同損傷程度，可以得出以下結(jié)論：（1）隨著損傷程度的加劇，各階結(jié)構(gòu)固有頻率都呈下降趨勢(shì)；（2）隨著損傷程度的加劇，結(jié)構(gòu)頻率相對(duì)變化率都呈非線性增加趨勢(shì)；（3） 各階頻率相對(duì)變化率對(duì)損傷的敏感性都不相同[5～7]。

圖2 200mm處頻率變化與損傷深度的關(guān)系Fig.2 Relations of frequency changes and the damaged depth of 200mm

圖3 300mm處頻率變化率與損傷深度的關(guān)系Fig.3 Relations of frequency changes and the damaged depth of 300mm

2.3 懸臂梁的應(yīng)變模態(tài)分析

利用ANSYS 有限元分析軟件， 按表2 所示損傷工況，對(duì)不同位置、不同損傷程度的懸臂梁進(jìn)行應(yīng)變模態(tài)分析。 該懸臂梁損傷位置在100mm、200mm、300mm、400mm、100mm&400mm， 損傷程度分別為10mm、20mm、30mm、10mm&30mm、20mm&10mm 時(shí)的第一階應(yīng)變模態(tài)振型如圖4～圖8 所示。 其中，橫坐標(biāo)為懸臂梁有限元模型單元節(jié)點(diǎn)序號(hào)，0mm 代表懸臂梁固定端，800mm 代表懸臂梁末端； 縱坐標(biāo)為關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化后的應(yīng)變模態(tài)振型。

圖4 100mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.4 Strain vibration mode of damaged sites of 100mm

圖5 200mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.5 Strain vibration mode of damaged sites of 200mm

從不同損傷工況下的應(yīng)變振型圖中可以看出，對(duì)于懸臂梁構(gòu)件，無(wú)論結(jié)構(gòu)存在的是單處損傷還是多處損傷，結(jié)構(gòu)在損傷位置處的應(yīng)變振型均有突變發(fā)生。 隨著損傷程度的加大，損傷位置附近處節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變振型也產(chǎn)生了一定波動(dòng)，亦即大損傷對(duì)損傷附近的區(qū)域也會(huì)產(chǎn)生一定的影響。

圖6 300mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.6 Strain vibration mode of damaged sites of 300mm

圖7 400mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.7 Strain vibration mode of damaged sites of 400mm

圖8 100mm&400mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.8 Strain vibration mode of damaged sites of 100mm and 400mm

仿真實(shí)例中，不同損傷工況的結(jié)構(gòu)位移振型如圖9 所示。 顯而易見(jiàn)，在各種損傷工況下，損傷節(jié)點(diǎn)處的位移振型與沒(méi)有損傷處的位移振型幾乎重疊在一起，沒(méi)有明顯的突變發(fā)生。 這說(shuō)明，借助位移振型不能診斷結(jié)構(gòu)是否損傷。 所以，有限元仿真算例表明，應(yīng)變模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的敏感程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于位移模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)振型可以作為結(jié)構(gòu)損傷的敏感量指標(biāo)。

圖9 不同損傷工況下的位移模態(tài)Fig.9 Displacement mode of different damage conditions

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文闡述了模態(tài)分析的實(shí)質(zhì)及應(yīng)變模態(tài)分析理論，通過(guò)振動(dòng)微分方程與差分方法闡明了位移模態(tài)、應(yīng)變模態(tài)與曲率模態(tài)三者之間的聯(lián)系。證明了以結(jié)構(gòu)固有頻率作為損傷敏感性指標(biāo)難以確定結(jié)構(gòu)在早期是否發(fā)生損傷和損傷程度，而應(yīng)變模態(tài)振型比位移模態(tài)振型更加敏感，可以作為結(jié)構(gòu)損傷診斷的敏感性指標(biāo)。

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