對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度解耦小波算法研究

汪友明，吳 青，沈建冬

(1.西安郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 陜西西安 710121；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116023)

對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度解耦小波算法研究

汪友明1,2，吳 青1，沈建冬1

(1.西安郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 陜西西安 710121；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116023)

針對(duì)傳統(tǒng)有限元方法在求解對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)的數(shù)值震蕩和數(shù)值耗散等缺點(diǎn)，提出一種對(duì)流擴(kuò)散方程的尺度解耦小波求解方法。介紹第二代小波多分辨分析，推導(dǎo)有限元多分辨空間的兩尺度關(guān)系，提出對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度計(jì)算框架。推導(dǎo)對(duì)流擴(kuò)散方程的解耦條件，并利用提升方案構(gòu)造多尺度解耦小波。提出多尺度解耦小波算法，該方法通過(guò)向求解域添加解耦小波，逐步逼近問(wèn)題精確解。數(shù)值算例證明，解耦小波是一種求解對(duì)流擴(kuò)散方程性能優(yōu)良的小波基。

對(duì)流擴(kuò)散方程；多尺度計(jì)算；解耦小波

對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題是電子、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等學(xué)科以及水利工程、環(huán)境工程、化工、冶金、航空等應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的基礎(chǔ)問(wèn)題之一。傳統(tǒng)有限元方法在求解對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)數(shù)值震蕩和數(shù)值耗散等缺點(diǎn)[1-2]。小波數(shù)值方法是近年來(lái)出現(xiàn)的新興數(shù)值算法，其優(yōu)點(diǎn)是多尺度、多分辨、緊支撐等特性，可根據(jù)求解域的變化梯度或奇異性任意改變小波的分析尺度或提高逼近階，而小波的緊支性、正則性使得小波基函數(shù)聚焦到待求解問(wèn)題的任意細(xì)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)工程問(wèn)題的高效求解[3-6]。近年來(lái)將小波方法與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相結(jié)合出現(xiàn)了很多性能優(yōu)越的新算法，包括小波Galerkin法[7-8]，小波配置法[9]，小波Petrov-Galerkin法[10]，小波最小二乘法[11]和小波有限元法[12-13]等。

以伸縮、平移為基礎(chǔ)的第一代小波無(wú)法在有限、不規(guī)則、非結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)格上構(gòu)造，且在求解工程問(wèn)題前所選定小波的特性已無(wú)法改變，這些缺點(diǎn)常難以滿足各種工程問(wèn)題的多尺度計(jì)算要求，使得工程多尺度計(jì)算存在難以插值、強(qiáng)耦合及收斂性差等缺點(diǎn)[14]。第二代小波理論的提出有效地解決了這些問(wèn)題，它不再依賴于伸縮、平移變換來(lái)構(gòu)造小波，而是利用提升系數(shù)靈活地構(gòu)造具有期望特性的小波基，例如緊支撐、對(duì)稱、消失矩等特性，給工程問(wèn)題提供了非常豐富的小波基[15-16]。目前，第二代小波基在逐步應(yīng)用于工程數(shù)值計(jì)算方面。2004年，PINHO等應(yīng)用第二代小波基求解Maxwell方程，獲得較高的求解效率[17]。2006年，WANG等利用第二代小波構(gòu)造動(dòng)態(tài)計(jì)算網(wǎng)格求解波動(dòng)方程[18]。2007年，HE等提出基于預(yù)測(cè)算子和更新算子的第二代小波求解算法[19]。2009年，MEHRA等提出自適應(yīng)多尺度第二代小波方法，有效求解了橢球面方程[20]。

如何根據(jù)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的需要靈活、有效構(gòu)造具有期望特性的第二代小波基成為擺在數(shù)學(xué)家、工程研究人員面前的難題。為解決這些問(wèn)題，本文提出基于提升格式的解耦小波構(gòu)造方法，根據(jù)問(wèn)題來(lái)構(gòu)造解耦小波基，以求達(dá)到高效求解問(wèn)題的目的。

1 第二代小波

通過(guò)提升方案構(gòu)造的小波即為第二代小波，第二代小波多分辨分析如下。

L2(R)空間上的多分辨分析是一族閉子空間序列R={Vj?L2(R)|j∈Z}，滿足下述條件1)—條件3)[11]：

1)Vj?Vj+1；

2)所有Vj的并集在L2(R)中是稠密的，即

3)對(duì)于每一個(gè)j∈Z，Vj具有一個(gè)由尺度函數(shù){φj,k|k∈K(j)}給定的Riesz基，K(j)為j尺度k取值的集合。設(shè)Wj是Vj在Vj+1中的互補(bǔ)空間，Wj由小波函數(shù)ψj,m(x)張成，對(duì)于每個(gè)點(diǎn)m∈M(j)，有M(j)=K(j+1)K(j)，即M(j)是差集。

(1)

(2)

式中hj,k,l和gj,m,l分別為低通濾波器系數(shù)和高通濾波器系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[21]定理：如果L2(R)有限元空間中的插值函數(shù)集{φj,k}k∈K(j)是稠密完備的，那么有限元空間V可構(gòu)成一個(gè)多分辨空間Vj。令有限元插值函數(shù)為小波的尺度函數(shù)，那么對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)就是尺度函數(shù)的補(bǔ)空間中的細(xì)節(jié)插值函數(shù)。有限元多分辨空間中的尺度函數(shù)滿足式(3)的細(xì)化關(guān)系：

圖1 二次插值函數(shù)的兩尺度關(guān)系Fig.1 Two-scale relation for the quadratic interpolation function

(3)

其中g(shù)j,k,m為小波的細(xì)化系數(shù)，是通過(guò)聯(lián)立相鄰兩尺度上的尺度函數(shù)和小波函數(shù)節(jié)點(diǎn)方程組來(lái)求解的。第二代小波多分辨空間中小波函數(shù)和尺度函數(shù)滿足關(guān)系ψj,m=φj+1,m。圖1表示的是單元端點(diǎn)尺度函數(shù)和小波函數(shù)及其兩尺度關(guān)系。

二次Lagrange多分辨有限元空間的二尺度關(guān)系式為

(4)

2 對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度算法

2.1多尺度計(jì)算框架

對(duì)流-擴(kuò)散方程的雙線性弱解形式為

a(u,v)=f(v), ?v∈V，

(5)

利用小波數(shù)值求解方法對(duì)解空間V構(gòu)造任意平方可積實(shí)數(shù)空間L2(R)上的多分辨分析{Vj,j∈Z}， 對(duì)式(5)中的試探函數(shù)u和容許函數(shù)v分別選取為小波函數(shù)和尺度函數(shù)，那么可表示為式(6)形式：

a(φj+1,ψj+1)=f(φj+1)，?vj∈Vj；

(6)

若采用多分辨分析來(lái)逼近真解u(x)，則j+1尺度的小波解可以由j尺度的尺度函數(shù)和小波函數(shù)表示如下：

(7)

對(duì)應(yīng)于式(7)的j尺度的小波離散方程組為

Kj+1uj+1=fj+1，

(8)

其中

(9)

(10)

Kjuj=fj，

(11)

Ke,jrj=pj，

(12)

Ke,j+1rj+1=pj+1，…,

(13)

具有解耦特性的提升小波可為解耦小波，其優(yōu)點(diǎn)在于系統(tǒng)剛度矩陣具有沿對(duì)角線的強(qiáng)稀疏性，實(shí)現(xiàn)工程問(wèn)題在每個(gè)尺度上的獨(dú)立、快速求解，使得系統(tǒng)方程的求解效率得到迅速提高。

2.2解耦條件

(14)

式中sj,k,m為提升系數(shù)。提升方案提供了一種簡(jiǎn)單、靈活的工具，通過(guò)選擇合適的提升系數(shù)sj,k,m來(lái)獲得用戶定義的消失矩特性，可設(shè)計(jì)各種滿足問(wèn)題需要的解耦小波。解耦小波通過(guò)式(15)求解提升系數(shù)sj,k,m：

(15)

為保證多尺度剛度矩陣的解耦特性，必須根據(jù)小波的消失矩來(lái)保證尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的算子正交性。在多分辨有限元空間中，如果小波在積分邊界上為零，那么小波的導(dǎo)數(shù)將會(huì)有一階消失矩。一個(gè)n階小波必須提升到n階消失矩來(lái)保證算子正交性。具體推導(dǎo)形式如下：

(16)

(17)

2.3多尺度解耦小波算法

多尺度解耦小波算法是通過(guò)提升尺度，即在全域添加解耦小波，逐步逼近問(wèn)題精確解。具體步驟如下：

1) 給定誤差閾值γ，生成初始尺度空間Vj的有限元網(wǎng)格，并求解初始尺度的方程K0u0=f0，計(jì)算初始尺度的相對(duì)誤差η0；

2)比較相對(duì)誤差ηj(j=0)和誤差閾值γ，如果ηj≤γ，停止計(jì)算，輸出結(jié)果；

3) 提高逼近空間的尺度，j=j+1，并利用提升方法構(gòu)造j尺度的解耦小波；

4) 添加小波空間Wj+1的解耦小波到原始尺度的多尺度剛陣，回到步驟2)。

(18)

3 算 例

設(shè)對(duì)流擴(kuò)散方程為-εu″+bu′=f，設(shè)b=1，ε=0.01 ，并給定邊界條件

u(0)=0,u(1)=1 , 右端項(xiàng)為f(x)=-1,

其解析解為

該問(wèn)題在靠近邊界1處存在奇異，通過(guò)式(8)可推導(dǎo)該問(wèn)題的耦合矩陣為

(19)

分別采用二次和三次Lagrange解耦小波求解此對(duì)流擴(kuò)散方程，構(gòu)造解耦小波如圖2所示。給定閾值γ=0.02%，采用二次及三次Lagrange解耦小波多尺度算法求解該對(duì)流擴(kuò)散方程問(wèn)題。圖3表示的是對(duì)應(yīng)于三次Lagrange解耦小波的多尺度剛度矩陣(nz表示非零元素的個(gè)數(shù))，該剛陣是沿對(duì)角高度稀疏的完全解耦矩陣，適合高效的多尺度計(jì)算。為了分析該對(duì)流擴(kuò)散方程多尺度求解的相對(duì)誤差，給出了解耦小波解的細(xì)節(jié)圖及相對(duì)誤差圖。圖4和圖5表示的是多尺度解耦小波解的相對(duì)誤差與尺度和自由度之間的關(guān)系曲線圖。表1列出的是二次和三次解耦小波解。表2列出的是二次和三次解耦小波算法的求解時(shí)間比較。由圖可知，該問(wèn)題的三次解耦小波解比二次解耦小波解具有更快的收斂速度。因此，對(duì)流擴(kuò)散方程的解耦小波解法具有較高的求解精度。從表2分析可得出，多尺度解耦小波算法的計(jì)算時(shí)間較傳統(tǒng)自適應(yīng)有限元法少，其原因是利用解耦小波所構(gòu)造的多尺度剛度矩陣為沿對(duì)角的稀疏矩陣，提高了剛度矩陣的稀疏性，避免了重新劃分網(wǎng)格或提高插值函數(shù)的階次所帶來(lái)的大量有限元前處理工作和時(shí)間，從而提高了對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的求解效率。

圖2 解耦小波 Fig.2 Decoupling wavelets

圖3 剛度矩陣稀疏度Fig.3 Sparsity of stiffness matrix

圖4 解耦小波解的誤差-尺度Fig.4 Estimation of decoupled wavelet solution at each scale

圖5 解耦小波解的誤差-自由度Fig.5 Estimation of decoupled wavelet solution with degrees of freedom

表1 對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度解耦小波解

表2 各種自適應(yīng)方法的運(yùn)行時(shí)間

4 結(jié) 語(yǔ)

提升方案的優(yōu)點(diǎn)在于根據(jù)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的需要靈活設(shè)計(jì)各種具有緊支撐、高消失矩的解耦小波。本文提出的方法可根據(jù)對(duì)流擴(kuò)散方程求解的需要構(gòu)造不同階次的解耦小波。解耦小波的解耦特性使得系統(tǒng)剛度矩陣具有沿對(duì)角線的強(qiáng)稀疏性，實(shí)現(xiàn)解耦小波在每個(gè)尺度上獨(dú)立求解，使得系統(tǒng)方程的求解效率得到迅速提高。與傳統(tǒng)有限元相比，多尺度解耦小波算法避免了重新劃分網(wǎng)格或提高插值函數(shù)的階次所帶來(lái)的大量有限元前處理工作和時(shí)間，提高了對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的分析效率。計(jì)算結(jié)果表明，通過(guò)提高解耦小波的階次或尺度，可實(shí)現(xiàn)對(duì)流擴(kuò)散方程的高效求解。

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A multi-scale decoupling wavelet algorithm for convection-diffusion equations

WANG Youming1,2， WU Qing1， SHEN Jiandong1

(1. School of Automation, Xi′an University of Posts and Telecommunications, Xi′an Shaanxi 710121, China；2. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116023, China)

In order to solve the convection-diffusion problems of numerical oscillation and dissipation in traditional finite element method, a scaled decoupled wavelet solution method is proposed. Firstly, the multi-resolution analysis of second generation wavelets is introduced, and the finite element two multi-resolution spacial scaling relation is derived, then the multi-scale computational framework is presented for solving convection-diffusion equations. The decoupling conditions of convection-diffusion equations are developed, and the multi-scale decoupling wavelets are constructed by the lifting scheme. A multi-level decoupled wavelets algorithm is proposed for approximating the exact solution by adding the decoupled wavelets into the solving domain. Numerical example shows that the decoupled wavelets have good computational performance in solving convection-diffusion equations.

convection-diffusion equations; multi-scale computation; decoupled wavelets.

1008-1542(2013)04-0269-06

10.7535/hbkd.2013yx04023

O241.82;O242.21

A

2013-03-24；

2013-05-28；責(zé)任編輯：李 穆

國(guó)家自然科學(xué)基金(51205309, 61100165)；工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題基金(GZ1209)； 陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)(2013JK0992)

汪友明(1981-)，男，湖北黃岡人，講師，博士，主要從事小波數(shù)值分析與工程應(yīng)用方面的研究。

E-mail: xautroland@163.com