基于伴隨向量系的自由振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析

劉國(guó)松，劉 瑩

（長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言

非對(duì)稱(chēng)性對(duì)系統(tǒng)的影響之一是僅使用右模態(tài)已不能滿足需要，其內(nèi)部的正交性已經(jīng)退化，因此必須引入左模態(tài)［1］。而重復(fù)頻率現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的影響是左、右模態(tài)的正交性也存在退化。這是因?yàn)槿纛l率發(fā)生重復(fù)，則這些左、右狀態(tài)向量不再能保證正交性?？梢宰C明不同特征值所對(duì)應(yīng)的左、右狀態(tài)向量之間仍然是正交的［2］，但對(duì)于重頻所對(duì)應(yīng)的那些左、右狀態(tài)向量卻無(wú)法證明它們存在正交性［3］，此時(shí)施密特正交化技術(shù)的應(yīng)用也存在困難。這是因?yàn)橄鄬?duì)于對(duì)稱(chēng)重頻系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，因?yàn)橹靥卣髦邓鶎?duì)應(yīng)的所有特征向量滿足的是同一特征方程［4］，根據(jù)酉空間理論實(shí)施正交化后是滿足原特征方程的，仍然為該重特征值的特征向量，但對(duì)于非對(duì)稱(chēng)重頻系統(tǒng)左、右狀態(tài)向量所滿足的特征方程已不同，如何進(jìn)行正交化策略還有待進(jìn)一步研究。本文指出這種情況下，需摒棄左狀態(tài)向量，直接引入右狀態(tài)向量的伴隨向量，將二階非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)入狀態(tài)空間中，將狀態(tài)方程化為系列的一階線性微分方程，在每一維坐標(biāo)下進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。本文方法不僅適用于單頻系統(tǒng)，也適合于重頻系統(tǒng)，不僅適用于對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)，也適用于非對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)。

1 基本理論

對(duì)自由度為n的阻尼系統(tǒng)，設(shè)M、C、K分別是對(duì)稱(chēng)或非對(duì)稱(chēng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

對(duì)此有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，為了討論其特征問(wèn)題，引入狀態(tài)方程［5］。對(duì)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式（1），設(shè)

代入方程（1），則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng)：

其中

稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。對(duì)一般動(dòng)力系統(tǒng)（1），把時(shí)間域上的矩陣方程變換到以λ為變量的拉氏域中，并假定初始位移和初始速度均為零，其特征方程為

下文記為

并滿足方程

狀態(tài)向量的前n維即為系統(tǒng)（1）的模態(tài)振型｛ui｝，即特征對(duì)（λi，ui）滿足方程

2 基于伴隨向量系的自由振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析

其中（·）H為（·）的共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)于完備重頻系統(tǒng)，重頻所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量之間不存在足夠的雙正交性［2］。但無(wú)論上述兩種情況的哪一種，2n個(gè)狀態(tài)向量｛g1｝，｛g2｝，…，｛g2n｝的線性無(wú)關(guān)性是必定存在的，因此G可逆，故引入狀態(tài)向量的伴隨向量系Ψ＝［｛ψ1｝，｛ψ2｝，…，｛ψ2n｝］，它們可以滿足良好規(guī)范正交關(guān)系

對(duì)方程（1）建立的狀態(tài)方程

引入坐標(biāo)變換

其中 ｛q（t）｝為模態(tài)坐標(biāo)向量，代入狀態(tài)方程（9）并左乘ΨH，根據(jù)左、右狀態(tài)向量的正交性關(guān)系（7）和式（8），則有

展開(kāi)寫(xiě)成

其中｛·｝i代表向量｛·｝的第i維。由此式（12）可表達(dá)為

這是一個(gè)可分離的微分方程，即

兩邊積分為

整理得

任意常數(shù)C由初值條件決定。解得 ｛q（t）｝，然后代入式（10）解得 ｛y（t）｝，由式（2）可知取前n維即為自由振動(dòng)響應(yīng)。

［1］Adhikari S，F(xiàn)riswell M I.Eigenderivative analysis of asymmetric non－conservative systems［J］.International－Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，51：709－733.

［2］李德葆，陸秋海.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2001：10－11.

［3］Ward H，Stefan L，Paul S.Modal Analysis Theory and Testing［M］.Brussel，Belgium：Katholieke Universiteit Levven，1997：18－19.

［4］Li L，Yu J H，Xue L W.A parallel way for computing eigenvector sensitivity of asymmetric damped systems with distinct and repeated eigenvalues［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，30：61－77.

［5］Greco A，Santini A.Comparative study on dynamic analysis of non－classically damped linear system［J］.Structural Engineering and Mechanics，2002，14（6）：679－698.