基于總體最小二乘的改進(jìn)GM（1，1）模型及其在建筑物沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

袁 豹，岳東杰，李成仁

（河海大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程系，江蘇 南京 210098）

灰色系統(tǒng)理論是研究系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測(cè)、決策和控制的理論。利用灰色數(shù)列預(yù)測(cè)方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間序列數(shù)量大小的預(yù)測(cè)，即對(duì)系統(tǒng)的主行為特征量或某項(xiàng)指標(biāo)發(fā)展變化到未來特定時(shí)刻出現(xiàn)的數(shù)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。灰色系統(tǒng)理論及其動(dòng)態(tài)GM模型已經(jīng)廣泛用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)等各個(gè)學(xué)科。1988年陳明東等首次在滑坡變形監(jiān)測(cè)中采用灰色系統(tǒng)理論中的GM（1，1）模型，此后該模型在滑坡監(jiān)測(cè)及相關(guān)變形監(jiān)測(cè)工作中得到廣泛研究和應(yīng)用［1］?；趥鹘y(tǒng)GM（1，1）模型中存在的一些缺陷，很多學(xué)者對(duì)此模型進(jìn)行了改進(jìn)。戴華將GM（1，1）和GM（1，N）模型聯(lián)合應(yīng)用于自來水廠的自動(dòng)加礬系統(tǒng)［2］；汪凡等將灰色關(guān)聯(lián)模型和主成分分析結(jié)合在一起應(yīng)用于公司績(jī)效評(píng)價(jià)和變形監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域［3－4］；李曉紅提出以優(yōu)化模型背景值為基礎(chǔ)重構(gòu)背景值的GM（1，1）模型［5］；靳曉光根據(jù)非等間距模型和優(yōu)化背景值兩個(gè)角度提出滑坡變形預(yù)測(cè)的普適灰色模型［6］；李秀珍等從改變模型背景值出發(fā)提出變形預(yù)測(cè)的中心逼近式GM（1，1）模型［7］。

上述GM（1，1）模型以及改進(jìn)的GM（1，1）模型雖然在一定程度上提高了預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度，但是都沒有考慮模型本身的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，且針對(duì)不同數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變形數(shù)據(jù)，各改進(jìn)模型的適用性有著一定的模糊性。針對(duì)傳統(tǒng)模型在求解模型或參數(shù)或是模型背景值時(shí)都采用的最小二乘方法，沒有能夠顧及所建立的微分方程中系數(shù)矩陣和觀測(cè)矩陣數(shù)據(jù)之前的自相關(guān)性，考慮采用總體最小二乘方法并對(duì)系數(shù)矩陣和觀測(cè)矩陣予以定權(quán)來求解模型灰參數(shù)，這種方法更加嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，可以獲得較為精確的預(yù)測(cè)效果。

1 GM（1，1）模型

假設(shè)有原始非負(fù)離散數(shù)列為x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，n為序列長(zhǎng)度（GM（1，1）模型處理的數(shù)據(jù)序列一般取等時(shí)間間隔序列，若原始數(shù)據(jù)為非等時(shí)間間隔序列，則可以采用線性插值或是等間距處理來保證模型具有較高的濾波精度，對(duì)x（0）序列數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成（1－AGO）處理，得到 一 個(gè) 新 的 序 列x（1）＝ ｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝。

對(duì)x（1）建立一階白化微分方程為

一般稱式（1）為GM（1，1）一階模型，式中：t為時(shí)間變量，a，u為待定灰參數(shù)，其白化值（即灰區(qū)間中可能的值）或者稱為估計(jì)值為α∧＝［a，u］T。采用最小二乘平差法求得灰參數(shù)

將灰參數(shù)代入微分方程，可得

式中：e為常數(shù)，對(duì)（k＋1）進(jìn)行一次累減生成，可得到還原數(shù)據(jù)

2 基于總體最小二乘的改進(jìn)GM（1，1）模型

從上述GM（1，1）模型求解方法可以看出，在求解灰參數(shù)時(shí)采用的是最小二乘的方法，這樣做的前提是假設(shè)系數(shù)矩陣B中數(shù)據(jù)不含有誤差而只對(duì)觀測(cè)值矩陣l進(jìn)行改正。從系數(shù)矩陣B的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

可以看出，系數(shù)矩陣中第1列數(shù)據(jù)是根據(jù)原始數(shù)據(jù)序列一次累加后的數(shù)據(jù)運(yùn)算得到，如果原始數(shù)據(jù)含有測(cè)量的偶然誤差，則系數(shù)矩陣B中第1列數(shù)據(jù)也含有測(cè)量誤差，需要在平差時(shí)進(jìn)行改正，這時(shí)就要采用能同時(shí)顧及系數(shù)矩陣和觀測(cè)值矩陣，同時(shí)含有誤差的總體最小二乘方法來求解模型灰參數(shù)。

2.1 總體最小二乘基本思想

針對(duì)線性方程組AX＝L，經(jīng)典最小二乘的方法是在殘差平方和極小的條件下求出參數(shù)的最佳估計(jì)值。該方法的前提之一是假定系數(shù)矩陣A是由沒有誤差的精確值組成的，而只對(duì)觀測(cè)值L矩陣進(jìn)行改正，事實(shí)上，觀測(cè)向量、系數(shù)矩陣均有擾動(dòng)，因此，從理論上講應(yīng)該同時(shí)考慮L和A的擾動(dòng)才嚴(yán)密，這就是總體最小二乘（TLS）的基本思想［8］?？傮w最小二乘的函數(shù)模型可歸結(jié)為

且有

其中：A∈Rn×m，L∈Rn，X∈Rm，rank（A）＝m＜n，n為觀測(cè)值個(gè)數(shù)，m為待估參數(shù)個(gè)數(shù)，QL和QA分別為eL和eA的對(duì)稱非負(fù)定協(xié)因素陣，EA為系數(shù)矩陣的誤差，eL為觀測(cè)值陣的誤差，誤差矩陣屬于相互獨(dú)立的白噪聲誤差。這一模型稱為EIV（Errors－in－Variables）模型。QA＝Q0?Qx，“?”表示矩陣之間的直積，即“Kronecker－Zehfuss積”，具體表現(xiàn)為：M?N＝［mijN］，M＝［mij］，vec（）表示矩陣的列向量化運(yùn)算。QL，Q0，Qx，QA為非負(fù)正定協(xié)因素矩陣。在等權(quán)的情況下有：QL＝In，QA＝Im?In＝Inm，Qx＝In，Q0＝Im，一般稱為總體最小二乘法（TLS）；不等權(quán)的情況下有：QL＝P－1L，QA＝Q0?Qx＝P－10?P－1x＝P－1A，Qx＝P－1x，Q0＝P－10，P0為系數(shù)矩陣A的列向量權(quán)陣，Px為系數(shù)矩陣A的行向量權(quán)陣［9］。加權(quán)總體最小二乘（WTLS）的準(zhǔn)則為

隨機(jī)模型為

2.2 權(quán)陣的確定

與最小二乘平差方法一樣，在總體最小二乘模型中當(dāng)觀測(cè)值數(shù)據(jù)之間不等精度或是不相互獨(dú)立以及系數(shù)矩陣和觀測(cè)值矩陣之間存在相關(guān)性時(shí)就要考慮采用加權(quán)總體最小二乘法，對(duì)系數(shù)矩陣和觀測(cè)值矩陣予以定權(quán)處理。在加權(quán)總體最小二乘問題中，權(quán)陣的確定是一個(gè)重要的部分。

灰色模型在變形監(jiān)測(cè)等數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，所要處理的數(shù)據(jù)對(duì)象大多是具有時(shí)間特性的獨(dú)立數(shù)據(jù)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)是在不同時(shí)間點(diǎn)采用相同精度儀器或是相同采集方法獲得的一些列數(shù)據(jù)，可以近似認(rèn)為這些數(shù)據(jù)同精度，然而，GM（1，1）模型中系數(shù)矩陣中的數(shù)據(jù)來源于原始序列數(shù)據(jù)，若原始數(shù)據(jù)序列存在測(cè)量偶然誤差，則系數(shù)矩陣必然受到這種誤差的影響，即誤差傳遞。假設(shè)系數(shù)矩陣B的協(xié)因數(shù)陣為QB，觀測(cè)值矩陣l的協(xié)因數(shù)陣為Ql。設(shè)有 原 始 序 列 數(shù) 據(jù)x（0）＝ ｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，根據(jù)分析可以認(rèn)為σ1＝σi＝σn，其中σi（i＝1，2，…，n）表示該數(shù)據(jù)的中誤差，則定義σ1為單位權(quán)中誤差，則可知Ql＝I。根據(jù)系數(shù)矩陣B中數(shù)據(jù)所求得的計(jì)算方法，可知系數(shù)矩陣中的數(shù)據(jù)來源于原始數(shù)據(jù)的線性運(yùn)算，采用協(xié)因數(shù)傳播定律可以求出。則有P0＝Q0＋，Px＝Qx＋，P1＝Ql＋（＋表示偽逆），這樣便可較為精確地確定系數(shù)矩陣和觀測(cè)值矩陣的權(quán)陣，采用加權(quán)總體最小二乘方法求解參數(shù)。

2.3 改進(jìn)GM（1，1）模型的確定

首先采用一次累加方法對(duì)原始序列數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，建立改進(jìn)的GM（1，1）模型，此時(shí)可以表示為

其中α＝［a，u］T。根據(jù)Burkhard Schaffrin與Andreas Wieser［10］提出的迭代解算方法，求解改進(jìn)GM（1，1）模型灰參數(shù)的具體步驟如下：

3）給定迭代限差δ0，重復(fù)2）直到，此時(shí)即為所要求得參數(shù)，并且計(jì)算單位權(quán)方差，觀測(cè)值改正數(shù)和系數(shù)陣改正數(shù)。

3 應(yīng)用與實(shí)例分析

灰色理論模型近年來在滑坡預(yù)報(bào)以及經(jīng)濟(jì)、人口預(yù)測(cè)方面得到了一定的應(yīng)用，通過引入總體最小二乘的方法來對(duì)GM（1，1）模型予以改進(jìn)使得這一模型原理更加嚴(yán)謹(jǐn)，方法更加準(zhǔn)確，應(yīng)用更加廣泛。改進(jìn)的GM（1，1）模型將會(huì)受到各研究領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注并取得更加廣泛的實(shí)際應(yīng)用效果。

本文實(shí)例選取的是某一建筑物在施工期間測(cè)量得到的共18期的數(shù)據(jù)，檢測(cè)周期為1周，利用前15期數(shù)據(jù)作為建模原始數(shù)據(jù)，后3期數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測(cè)效果的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了比較采用總體最小二乘法建立的改進(jìn)GM（1，1）模型與傳統(tǒng)GM（1，1）模型的區(qū)別，分別采用最小二乘（LS）和加權(quán)總體最小二乘（WTLS）方法求得模型灰參數(shù)，見表1。

表1 模型灰參數(shù)結(jié)果

從模型灰參數(shù)來看，最小二乘法與總體最小二乘法有一定差別，比較最小二乘法與總體最小二乘法的擬合效果，計(jì)算出模型的擬合精度見表2。

表2 最小二乘法和總體最小二乘法的模型精度比較mm

建立準(zhǔn)確的模型是為了掌握數(shù)據(jù)序列的變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)序列的變化規(guī)律，以及更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)刻的變形值，從而可以及時(shí)對(duì)建筑物的安全狀態(tài)進(jìn)行評(píng)價(jià)與預(yù)警，為監(jiān)測(cè)工作的決策提供有效的依據(jù)。表3是利用已建好的GM（1，1）模型對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的16～18期沉降量進(jìn)行預(yù)報(bào)的結(jié)果。

表3 沉降量預(yù)測(cè) mm

從表3可以看出：采用總體最小二乘方法建立的改進(jìn)GM（1，1）模型具有較好的預(yù)測(cè)效果，預(yù)測(cè)精度比傳統(tǒng)的最小二乘方法高。為了直觀比較最小二乘法與總體最小二乘法的優(yōu)劣性，圖1分別繪制出二者的沉降預(yù)測(cè)效果圖。

圖1 最小二乘法與總體最小二乘法的預(yù)測(cè)效果比較

從圖1可以看出，采用（加權(quán)）總體最小二乘法的模擬值和預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差別普遍比采用最小二乘方法的小，說明前者具有較小的預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)效果較好。

4 結(jié) 論

1）改進(jìn)GM（1，1）模型灰參數(shù)求解的方法，采用嚴(yán)密的總體最小二乘法可以得到更高精度的模型灰參數(shù)，建立的改進(jìn)GM（1，1）模型可以達(dá)到更高的模型與預(yù)報(bào)精度。

2）在采用總體最小二乘方法時(shí)，如若系數(shù)矩陣和觀測(cè)值矩陣內(nèi)部以及相互之間不獨(dú)立或是存在數(shù)據(jù)相關(guān)性，則要考慮采用加權(quán)總體最小二乘法。

3）GM（1，1）模型適用于原始序列數(shù)據(jù)符合指數(shù)增長(zhǎng)形式，適用性不足，對(duì)基于總體最小二乘方法的改進(jìn)GM（1，1）模型做一些其他方面的改進(jìn)，以使得灰色系統(tǒng)理論及動(dòng)態(tài)GM模型達(dá)到更好的應(yīng)用效果，還需要進(jìn)一步研究。

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