二次B樣條修正VTEC多項(xiàng)式模型研究

周玉娟，岳桂昌

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210098）

對(duì)于GPS等無線電衛(wèi)星導(dǎo)航定位的用戶而言，電離層延遲誤差是影響導(dǎo)航定位精度和準(zhǔn)確度的主要誤差源之一，電離層總電子含量及其變化不但是電離層形態(tài)學(xué)研究的重要資料，也是精密定位、導(dǎo)航和電波科學(xué)中電離層修正的重要參數(shù)［1］。

電離層VTEC多項(xiàng)式模型是一個(gè)廣泛用于模擬區(qū)域天頂方向電離層總電子含量（VTEC）時(shí)空變化的模型［2］。該模型忽略了VTEC的局部特性，限制了建模精度，也不利于分析建模方法對(duì)模型求解精度的影響。為此，本文基于數(shù)值逼近理論，提出了一種有利于克服多項(xiàng)式函數(shù)模型的上述不足和進(jìn)一步提高TEC建模精度的新模型——電離層VTEC多項(xiàng)式展開模型和B樣條函數(shù)的組合模型。

在電離層VTEC多項(xiàng)式函數(shù)模型的解算過程中，擬合曲面的光滑度和逼近精確度之間存在著矛盾。這種矛盾的解決方法是首先得到一個(gè)比較粗糙的概略初值，通過對(duì)概略初值進(jìn)行修正以得到更精確的逼近函數(shù)。在該模型的建模過程中，將VTEC分成概略初值和修正值兩部分，模型表達(dá)式為［3］

或

1 VTEC多項(xiàng)式模型求解概略值原理

多項(xiàng)式函數(shù)模型將VTEC看作是緯度差φ－φ0和太陽時(shí)角差S－S0的函數(shù)，用一個(gè)規(guī)則的曲面來擬合各穿刺點(diǎn)處的VTEC值，其具體表達(dá)式為［4］

式中：nmax，mmax為φ和S多項(xiàng)式的泰勒展開式中的最大維數(shù)，Enm為VTEC多項(xiàng)式函數(shù)模型的系數(shù)，φ0為測(cè)區(qū)中心點(diǎn)的地理緯度，φ為穿刺點(diǎn)或者星下點(diǎn)的地理緯度，S0為測(cè)區(qū)中心點(diǎn)在該時(shí)段中央時(shí)刻t0時(shí)的太陽時(shí)角，S為穿刺點(diǎn)或者星下點(diǎn)的太陽時(shí)角，t為觀測(cè)時(shí)刻（世界時(shí)），λ為穿刺點(diǎn)或者星下點(diǎn)的地理經(jīng)度，λ0為測(cè)區(qū)中心點(diǎn)的地理經(jīng)度。

利用載波相位建立VTEC的觀測(cè)方程為

式中：z′為地心至穿刺點(diǎn)方向與接收機(jī)至衛(wèi)星方向的夾角，即穿刺點(diǎn)處的天頂距，bS，bR分別為載波相位觀測(cè)的衛(wèi)星硬件延遲和接收機(jī)硬件延遲。

通常nmax取1～2，mmax取2～4，VTEC多項(xiàng)式函數(shù)模型對(duì)單層模型的高度H在計(jì)算中一般取300～500km。每個(gè)參考站上每觀測(cè)一顆衛(wèi)星、一個(gè)歷元就有一個(gè)觀測(cè)方程，按最小二乘法解得各待定參數(shù)Enm和bS，bR，從而建立起該時(shí)段的電離層延遲模型。

2 二次B樣條模型求解修正值原理

根據(jù)B樣條曲面的定義，將修正部分用B樣條函數(shù)模型表示為

式中：mji＝2ji＋2，j1，j2為階數(shù)，dj1，j2，k1，k2為模型系數(shù)，φj1，j2，k1，k2（φ，S）為二維尺度函數(shù)，φ為穿刺點(diǎn)或者星下點(diǎn)的地理緯度，S為穿刺點(diǎn)或者星下點(diǎn)的太陽時(shí)角，φj1，j2，k1，k2（φ，S）可利用張量積方法展開為

尺度函數(shù)φj1，k1（φ），φj2，k2（S）可表示為二次樣條函數(shù)，即

其中可由式（9）推導(dǎo)得到

其中：tk為非減節(jié)點(diǎn)序列，k＝0，1，…，mj＋2。

為避免區(qū)域模型在區(qū)間［0，1］的首位節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生邊界效應(yīng)，將前3個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)置為0，最后3個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)置為1，其余節(jié)點(diǎn)設(shè)置為等間距。組成節(jié)點(diǎn)向量［0，0，0，tj，0，tj，1，…，tj，mj＋1，tj，mj＋2，1，1，1］。這 就 意味著φj，k（x）的變量x的值位于0和1之間，所以S和φ需要做如下的歸化處理：

式中：Smin，Smax和φmin，φmax表示區(qū)域模型覆蓋的范圍。

于是，式（6）可轉(zhuǎn)換為

利用載波相位建立VTEC的觀測(cè)方程為

對(duì)于式（6）的B樣條函數(shù)修正模型，選擇mj1＝mj2＝2，方程有36個(gè)待估參數(shù)，通過2h的觀測(cè)數(shù)據(jù)即可建立對(duì)應(yīng)的模型。

3 模型解算

通過式（5）、式（12）建立的模型誤差方程為

其中：待估參數(shù)為X，A為系數(shù)矩陣，P為權(quán)陣。

對(duì)于VTEC多項(xiàng)式模型，基于最小二乘原理直接解算，其解為

精度評(píng)定

在二次B樣條模型解算的過程中，由于GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)采樣率較高以及模型構(gòu)造的原因，方程呈現(xiàn)嚴(yán)重病態(tài)，使用最小二乘估計(jì)無法得出正確結(jié)果。綜合各種因素，采用基于L曲線法選取嶺參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行嶺估計(jì)解算，其解的表達(dá)式為

式中：k＞0為嶺參數(shù)，通過L曲線法求得，嶺估計(jì)的均方誤差為

4 模型試驗(yàn)結(jié)果與分析

二次B樣條修正多項(xiàng)式模型的分析采用南京周邊的8個(gè)參考站，2009年年積日001的數(shù)據(jù)，以單站模式進(jìn)行2h時(shí)間間隔進(jìn)行VTEC計(jì)算。以NJLS和NJLT站為例，利用多項(xiàng)式函數(shù)模型、二次B樣條修正多項(xiàng)式模型解算的VTEC見圖1。

圖1 多項(xiàng)式函數(shù)模型及B樣條函數(shù)修正模型解算結(jié)果

圖1（a）、圖1（b）分別為NJLS和NJLT的多項(xiàng)式函數(shù)模型解算結(jié)果，圖1（c）、圖1（d）分別為NJLS和NJLT的B樣條函數(shù)修正模型的解算結(jié)果?？梢钥闯觯瑑煞N模型的解算結(jié)果整體趨勢(shì)是一致的，在數(shù)值上也比較接近，而多項(xiàng)式函數(shù)模型解算的各時(shí)段VTEC存在明顯的不連續(xù)性。在經(jīng)過B樣條函數(shù)修正后的VTEC可以使各時(shí)段間的不連續(xù)性得到改善。但由于B樣條函數(shù)修正模型是基于多項(xiàng)式函數(shù)模型結(jié)果的進(jìn)一步修正，另外，由于觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量等原因使得B樣條函數(shù)修正模型未能完全解決各時(shí)段間的VTEC的不連續(xù)性。對(duì)于各時(shí)段間VTEC不連續(xù)性的問題，本文采取各時(shí)段連接點(diǎn)的VTEC按解算精度取加權(quán)平均值。

由表1可知，B樣條函數(shù)修正模型的解算的VTEC精度要高于多項(xiàng)式函數(shù)模型解算的VTEC精度。采用VTEC的B樣條函數(shù)修正模型不僅可以更好地模擬各時(shí)段的VTEC，而且可以有效緩解VTEC的時(shí)段間的不連續(xù)性。

表1 多項(xiàng)式函數(shù)模型與B樣條函數(shù)修正模型解算精度 TECU

5 結(jié)束語

B樣條函數(shù)修正模型將VTEC分為概略值和修正值兩部分進(jìn)行解算。它保持了VTEC的局部特性，因而精度和可靠性均好于多項(xiàng)式函數(shù)模型，特別是可以克服利用多項(xiàng)式函數(shù)模型擬合區(qū)域VTEC時(shí)可能出現(xiàn)負(fù)值等情況，并且解決了擬合曲面的光滑度和逼近精確度之間存在的矛盾。采用L曲線法對(duì)模型進(jìn)行嶺估計(jì)解算，效果良好。B樣條函數(shù)修正模型更能反映VTEC的實(shí)時(shí)性的特征，同時(shí)可以緩解多項(xiàng)式函數(shù)模型解算的各時(shí)段VTEC的不連續(xù)性。

［1］宋茂忠，王永澄.電離層對(duì)普通GPS和位置差分GPS定位誤差的影響［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1994，26（6）：782－788.

［2］張小紅，李征航，蔡昌盛.用雙頻GPS觀測(cè)值建立小區(qū)域VTEC模型研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2001，26（2）：140－144.

［3］M Nohutcu，M O.Karslioglu，M.Schmidt.B－spline modeling of VTEC over Turkey using GPS observations［J］.Journal of Atmospheric and Solar－Terrestrial Physics，2010，72，：617－624.

［4］Rolf Dach，Pierre Fridez.Bernese GPS SoftWare Version 5.0［M］.Astronomica Institute，2007：260－261.

［5］丁士俊，靳祥升.平差不適定問題解的性質(zhì)與正則參數(shù)的確定方法［J］.測(cè)繪科學(xué)，2006，31（2）：22－24.

［6］Rodriguez G，Theis D.An Algorithm for Estimating the Optimal Regularization Parameter by theL－curve［J］.Rendiconti di Matematica，2005，25（1）：69－84.

［7］王振杰，歐吉坤.用L－曲線法確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2004，29（3）：235－238.

［8］陳希孺，王松桂.近代回歸分析［M］.合肥：安徽教育出版社，1987.