高斯－克呂格投影反解的數(shù)值變換方法分析

孫衛(wèi)新，馬 俊，2，薛志偉，3，王海洋

（1.信息工程大學(xué) 測繪學(xué)院，河南 鄭州 450052；2.61363部隊，陜西 西安 710054；3.63710部隊，山西 岢嵐036301；4.61892部隊，廣東 汕頭 515071）

高斯－克呂格投影亦稱橫軸墨卡托投影，于1936年由國際大地測量和地球物理聯(lián)合會制定［1］，具有等角投影的性質(zhì)、中央經(jīng)線與赤道投影后為直線且為投影的對稱軸、中央經(jīng)線投影后沒有長度變形的特性。我國現(xiàn)有的比例尺大于1∶50萬的地形圖和工程測量平面坐標(biāo)系統(tǒng)大都采用該投影。大比例尺系列地形圖一般具有規(guī)范的中央經(jīng)線和投影分帶標(biāo)準(zhǔn)，而在工程測量和針對某一制圖區(qū)域的實踐應(yīng)用中為了降低高斯－克呂格投影帶來的長度變形，經(jīng)常將中央經(jīng)線選在制圖區(qū)域的中心，并且分帶的標(biāo)準(zhǔn)及采用的橢球體參數(shù)也會有所不同。若要對現(xiàn)有采用高斯－克呂格投影的地圖資料進(jìn)行反解變換，一般采用精度較高的解析變換法。但是當(dāng)不確定原圖投影采用的中央經(jīng)線和橢球體參數(shù)的情況下，通常采用數(shù)值變換的方法來解決這一問題［2］。

地圖投影的數(shù)值變換方法在空間數(shù)據(jù)處理中具有廣泛的應(yīng)用［3］。它的核心是構(gòu)造逼近函數(shù)，不同的變換方法在多項式逼近的穩(wěn)定性與變換精度方面存在較大的差別。同樣的變換方法，不同的共同點分布、多項式次數(shù)等因素也會對變換精度及穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。本文針對高斯－克呂格投影的反解，通過具體實驗分別采用不同的數(shù)值變換方法進(jìn)行變換，并對各方法變換的精度及穩(wěn)定性進(jìn)行對比分析。

1 地圖投影數(shù)值變換方法

地圖投影數(shù)值變換方法分為數(shù)值變換的一般方法和等角投影的數(shù)值變換方法。數(shù)值變換的一般方法主要有二元n次多項式和乘積型插值多項式，二元n次多項式多采用二元三次多項式，乘積型插值多項式多采用二元雙二次多項式。等角投影的數(shù)值變換方法主要包括正形多項式法、差商法、差分法與有限元法，其中正形多項式法因共同點需求數(shù)目少、穩(wěn)定性高、易于編程實現(xiàn)等優(yōu)勢成為以上四種方法中應(yīng)用最廣泛的方法。數(shù)值變換方法中多項式的求解包括直接求解和最小二乘法求解兩種方式。

1.1 數(shù)值變換的一般方法

1.1.1 二元三次多項式

二元三次多項式可描述為

式中：（φ，λ）為地理坐標(biāo)，（x，y）為原投影坐標(biāo)，aij，bij（i＝0，1，2，3；j＝0，1，2，3）為多項式系數(shù)。

多項式的求解所需共同點的最少數(shù)量為10個，概括為線性方程組的求解如下：

直接求解式（2）中A，e，g分別為

最小二乘法求解時，根據(jù)最小二乘法的原理和條件經(jīng)整理后可得A，e，g分別為

1.1.2 二元雙二次多項式

二元雙二次多項式的表達(dá)式為

式中：（φ，λ）為地理坐標(biāo)，（x，y）為原投影坐標(biāo)，aij，bij（i＝0，1，2；j＝0，1，2）為多項式系數(shù)。

二元雙二次多項式的求解至少需要9個共同點，其解法與二元三次多項式類似，可同樣概括為線性方程組按照直接求解或最小二乘法求解的方式進(jìn)行求解。

1.2 等角投影數(shù)值變換的正形多項式方法

以四次正形多項式為例說明正形多項式的求解。對于正形多項式的直接求解，在變換區(qū)域內(nèi)選取展開點0的坐標(biāo)（x0，y0）和（B0，l0）與四組共同點坐標(biāo)（xi，yi）和（Bi，li）（i＝1，2，3，4）。按正形多項式的性質(zhì)可得線性方程組［4］

式（6）寫成矩陣形式為

式中：

將展開點和4個已知點坐標(biāo)的緯度B換算為等量緯度q，代入式（7）求解系數(shù)ai，bi，將求解系數(shù)代入式（6）即得高斯－克呂格投影的反解公式。求得的（q，l）需將等量緯度q換算為相應(yīng)的地理坐標(biāo)B。

若用最小二乘法進(jìn)行求解，已知展開點0坐標(biāo)（x0，y0）和（B0，l0）及變換區(qū)域內(nèi)m（m＞4）個共同點坐標(biāo)（xi，yi）和（Bi，li）（i＝1，2，3，4，…，m）。由式（6）根據(jù)最小二乘法原理和條件經(jīng)變換后可得與式（7）相同的形式，其中A，b，i，k變?yōu)?/p>

2 實驗與分析

實驗中地圖資料采用的高斯－克呂格投影為6°分帶，變換區(qū)域范圍為經(jīng)度＋0°～＋6°，緯度＋20°～＋30°，參考橢球體選取克拉索夫斯基橢球［5］，各方法中檢查點最大點位誤差統(tǒng)一精確到小數(shù)點后第9位。以visual studio 2008為開發(fā)平臺，基于C#語言對以上數(shù)值變換方法進(jìn)行了具體實現(xiàn)。

二元三次多項式和二元雙二次多項式已知點分布的兩種方案如圖1和圖2所示。圖1與圖2中二元三次多項式的直接求解與最小二乘法求解以點1～10為已知點，二元雙二次多項式的直接求解與最小二乘法求解以點1～9為已知點。按圖2的分布方案，變換的結(jié)果產(chǎn)生“畸變”，導(dǎo)致反解結(jié)果錯誤，原因在于共同點的分布過多的對稱于中央經(jīng)線。按圖1的分布方案進(jìn)行反解，圖1中點11～20檢查點的最大點位誤差如表1所示。

圖1 分布方案1

圖2 分布方案2

表1 數(shù)值變換一般方法檢查點最大點位誤差

由表1可以看出，采用最小二乘法進(jìn)行二元三次多項式和二元雙二次多項式的求解精度要高于直接求解，但是在已知點數(shù)目為所需最少共同點數(shù)目的情況下采用最小二乘法進(jìn)行求解的優(yōu)勢不是特別明顯。二元三次多項式的反解精度高于二元雙二次多項式，并且通過對實驗過程中10個檢查點的綜合對比，發(fā)現(xiàn)二元三次多項式的穩(wěn)定性也要優(yōu)于二元雙二次多項式。

等角投影正形多項式方法的已知點分布的兩種方案如圖2、圖3所示。圖2分布方案中點5為中心點。四次正形多項式的直接求解以點1、3、7、9為展開點，三次正形多項式的直接求解以點2、7、9為展開點，四次和三次正形多項式的最小二乘法求解以除中心點以外的9個點為其他共同點。圖3分布方案中點1為中心點。四次正形多項式的直接求解以點2、4、8、10為展開點，三次正形多項式的直接求解以點3、8、10為展開點，四次和三次正形多項式的最小二乘法求解以點2～10為其他共同點。圖3分布方案中點11～20為以上兩種分布方案的檢查點。檢查點最大點位誤差如表2所示。

圖3 分布方案3

由表2可以看出，共同點數(shù)目較多的情況下采用最小二乘法進(jìn)行正形多項式求解的精度明顯高于直接求解。當(dāng)共同點分布過多的對稱于中央經(jīng)線時會降低求解的精度，但有效地避免了數(shù)值變換的一般方法中同樣的已知點分布方案所導(dǎo)致的結(jié)果錯誤。對于高斯－克呂格投影的反解變換，四次正形多項式的精度要明顯高于三次正形多項式。

表2 正形多項式方法檢查點最大點位誤差

3 結(jié)束語

本文通過對上述各數(shù)值變換方法的實現(xiàn)與結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)采用數(shù)值變換方法進(jìn)行高斯投影反解對共同點的分布狀況要求較高，應(yīng)盡量避免共同點較多對稱于中央經(jīng)線，特別是數(shù)值變換的一般方法。若不確定現(xiàn)有地圖資料的中央經(jīng)線，則要盡量避免已知點對稱于圖幅中部縱軸線。等角投影正形多項式方法反解的精度和穩(wěn)定性都要優(yōu)于數(shù)值變換的一般方法。采用最小二乘法能有效地提高反解的精度，降低對共同點原始數(shù)據(jù)的依賴。因此，在利用數(shù)值變換方法進(jìn)行高斯投影反解應(yīng)選擇正形多項式方法，并且在已知共同點數(shù)目允許的情況下盡量選擇四次正形多項式并以最小二乘法進(jìn)行求解。

［1］浦天宏，婁雅斌.GIS采用高斯－克呂格投影技術(shù)的研究［J］.鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2008，10（2）：38－41.

［2］呂曉華，劉宏林.地圖投影數(shù)值變換方法綜合評述［J］.測繪學(xué)院學(xué)報，2002，19（2）：150－153.

［3］李國建，胡鵬.通用的地圖投影數(shù)值變換［J］.地球信息科學(xué)，2001（4）：61－65.

［4］楊啟和.地圖投影變換原理與方法［M］.北京：解放軍出版社，1990.

［5］李國藻，楊啟和，胡定荃.地圖投影［M］.北京：解放軍出版社，1991.